2020届河北省衡水密卷高三第一次调研考试数学(理)试题

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（十六）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2} 答案 B解析 因为集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，所以P ∩Q ＝{0,1}．2．已知复数z 满足|z |＝2，z ＋z －＝2(z －为z 的共轭复数)(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．1＋i 或1－iD ．－1＋i 或－1－i答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，z ＋z －＝2a ，所以⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2a ＝2，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝±1，所以z ＝1＋i 或z ＝1－i.3．若a >1，则“a x >a y ”是“log a x >log a y ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由a >1，得a x >a y 等价为x >y ，log a x >log a y 等价为x >y >0，故“a x >a y ”是“log a x >log a y ”的必要不充分条件．4．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 因为a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2,0.51<c ＝0.50.2<0.50，即12<c <1，所以a <c <b .5．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 由题可得S ＝3，i ＝2→S ＝7，i ＝3→S ＝15，i ＝4→S ＝31，i ＝5→S ＝63，i ＝6，此时结束循环，输出i ＝6.6．(1－x )6(1＋x )4的展开式中含x 项的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答案 B解析 解法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3. 解法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. 解法三：在(1－x )6(1＋x )4的展开式中要出现x ，可分为以下三种情况： ①(1－x )6中选2个(－x )，(1＋x )4中选0个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 26C 04＝15；②(1－x )6中选1个(－x )，(1＋x )4中选1个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 16(－1)1C 14＝－24；③(1－x )6中选0个(－x )，(1＋x )4中选2个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 06C 24＝6.故x 项的系数为15－24＋6＝－3.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12 答案 C解析 联立⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2<m <2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →＝x 21－x 1x 2＋y 21－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝( ) A ．1 B.22 C.6－24 D.6＋24 答案 D解析 由43S ＝(a ＋b )2－c 2，得43×12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴23ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即3sin C －cos C ＝1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，∵0<C <π，∴－π6<C－π6<5π6，∴C －π6＝π6，即C ＝π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3·cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24.9．关于函数f (x )＝x －sin x ，下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增C ．x ＝0是f (x )的唯一零点D ．f (x )是周期函数 答案 D解析 f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (0)＝0，可得x ＝0是f (x )的唯一零点，故C 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 答案 D解析 由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.11．已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＋a2，x <0，ex －1＋a 2x 2－(a ＋1)x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f [－f (x )]＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋2eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋1e 答案 B解析 当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1，f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的大致图象如图所示．令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧f (t )＝e －a＋a 2，f (t )＝e t －1＋a 2，解得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2e ＋2.12．已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为( )A ．[2－3，1]B ．[1，7]C ．[7， 7＋23]D ．[1,7＋23]答案 B解析 如图，过点B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形BMNC 为直角梯形．在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E .又BM ＝AB ·sin ∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝AB ·cos ∠BAM ＝2cos π3＝1，CN ＝AC ·sin ∠CAN ＝3sin π6＝32， AN ＝AC ·cos ∠CAN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤ 7，故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(3,1)，c ＝(1,2)，若向量2a －b 与c 共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为________．答案 0解析 向量2a －b ＝(－1,2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12， ∴向量a 在向量c 方向上的投影为|a |cos 〈a ，c 〉＝a ·c|c |＝1－2×125＝0.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2ab sin C ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________．答案 3 3解析 由题意得2ab sin C2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ， 即a sin Cc ＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________．答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.16．已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎨⎧f (1)<0，m >0或⎩⎨⎧m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎨⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解，所以⎩⎨⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (3sin x －cos x )＋12. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得－1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.18．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，AB ＝1，AD ＝2，∠ADE ＝60°，沿AE ，BF 折成三棱柱AED －BFC .(1)若M，N分别为AE，BC的中点，求证：MN∥平面CDEF；(2)若BD＝5，求二面角E－AC－F的余弦值．解(1)证明：如图，取AD的中点G，连接GM，GN，在△ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，∴MG∥DE，∵DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，∴MG∥平面CDEF.由于G，N分别为AD，BC的中点，由棱柱的性质可得GN∥DC，∵CD⊂平面CDEF，GN⊄平面CDEF，∴GN∥平面CDEF.又GM⊂平面GMN，GN⊂平面GMN，MG∩GN＝G，∴平面GMN∥平面CDEF，∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面CDEF.(2)如图，连接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝3，∴BE＝2，又ED＝1，DB＝5，∴EB 2＋ED 2＝DB 2，∴DE ⊥EB ，又DE ⊥AE 且AE ∩EB ＝E ，AE ，EB ⊂平面ABFE ， ∴DE ⊥平面ABFE .以E 为坐标原点，分别以EA ，EF ，ED 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得E (0,0,0)，A (3，0,0)，F (0,1,0)，C (0,1,1)，AC →＝(－3，1,1)，AE →＝(－3，0,0)，FC →＝(0,0,1)． 设平面AFC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝－3x ＋y ＋z ＝0，m ·FC →＝z ＝0，则z ＝0，令x ＝1，得y ＝3，则m ＝(1，3，0)为平面AFC 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝－3x 1＝0，n ·AC →＝－3x 1＋y 1＋z 1＝0，则x 1＝0，令y 1＝1，得z 1＝－1，∴n ＝(0,1，－1)为平面ACE 的一个法向量． 设m ，n 所成的角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝322＝64，由图可知二面角E －AC －F 的余弦值是64.19．(本小题满分12分)为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：利润率是指一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值．(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；(2)从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利x 1万元，销售一台第二类机器获利x 2万元，……，销售一台第五类机器获利x 5万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为E (x )，设x －＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55，试判断E (x )与x －的大小．(结论不要求证明)解 (1)由题意知，本月共卖出30台机器， 利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台． 设“这台机器利润率高于0.2”为事件A ，则 P (A )＝1030＝13.(2)用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万元，第一类有5台，第三类有10台，共有15台，随机选取2台有C 215种不同方法，两台机器的利润率不同则每类各取一台有C 15C 110种不同方法， 设“两台机器的利润率不同”为事件B ，则P (B )＝C 15C 110C 215＝1021.(3)由题意可得，获利x 可能取的值为8,5,3,10， P (x ＝8)＝530＝16，P (x ＝5)＝230＝115， P (x ＝3)＝10＋830＝35，P (x ＝10)＝530＝16，因此E (x )＝16×8＋115×5＋35×3＋16×10＝7715； 又x －＝8＋5＋3＋10＋35＝295，所以E (x )<x －.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知|DF 1|＝52.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求点E 的坐标．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，c ＝1. 又因为|DF 1|＝52，AF 2⊥x 轴， 所以|DF 2|＝|DF 1|2－|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32，因此2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝4，从而a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16， 解得y ＝±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1,4)．又F 1(－1,0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2. 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋2，(x －1)2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0， 解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125， 因此B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125. 又F 2(1,0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34(x －1)，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1. 将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32. 因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.解法二：由(1)知，椭圆C ： x 24＋y 23＝1. 如图，连接EF 1.因为|BF 2|＝2a ，|EF 1|＋|EF 2|＝2a ， 所以|EF 1|＝|EB |，从而∠BF 1E ＝∠B .因为|F 2A |＝|F 2B |，所以∠A ＝∠B ， 所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴． 因为F 1(－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x 24＋y 23＝1，得y ＝±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－32. 因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x e x ＋ax (a ∈R )． (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝1，求f (x )的最大值．解 (1)由题意知，f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x )＋a ＝1x －(x ＋1)e x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(x ＋1)e x －1x 在[1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)e x －1x ，则g ′(x )＝(x ＋2)e x ＋1x 2>0， 所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝2e －1，所以a ≤2e －1. (2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x ＋x (x >0)． 则f ′(x )＝1x －(x ＋1)e x＋1＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x ，令m (x )＝1x －e x ，则m ′(x )＝－1x 2－e x <0， 所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减．由于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，m (1)<0，所以存在x 0>0满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0.当x ∈(0，x 0)时，m (x )>0，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )<0，f ′(x )<0. 所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x0＋x 0，因为e x0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0，所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1，所以f (x )max ＝－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ， 所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线． (2)设点M (x 1，y 1)，点N (x 2，y 2)，直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝2＋t 化为一般方程为y＝12x ＋2，代入曲线C 的直角坐标方程，得x 2－4x －16＝0，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－16， 所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1－x 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·42－4×(－16)＝10. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M . (1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )． 解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式， 整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8， 解得x <－103，所以x ≤－4；②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x<－2，所以－4<x<－2；③当x≥1时，不等式转化为x＋4＋2x－2>8，解得x>2，所以x>2.综上，M＝{x|x<－2或x>2}．(2)证明：因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（一)数学•理★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B =I （ ）A. (][),23,-∞⋃+∞B. 1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. [)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由题意得{}{}{}21|560|23,2102A x x x x x x B x x x x⎧⎫=-+≥=≤≥=-=⎨⎬⎩⎭或， ∴1|232A B x x x ⎧⎫⋂=<≤≥⎨⎬⎩⎭或．选D ． 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii i⋅=-+，则3z +=（ ）A.B.C.D. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘法和除法运算求得z ，进而求得3z +的模. 【详解】依题意()()()()()3215515i i i i i z ii i i i +----====--⋅-，所以325z i +=-==故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.4.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A ，AB 为体对角线，MN ，MQ ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB 垂直于MN ，MQ ，NQ ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于B ，AB 为上底面的对角线，显然AB 垂直于MN ，与AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于C ，AB 为前面的面对角线，显然AB 垂直于MN ，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB 所在的面，即有AB 垂直于QN ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于D ，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与AB 所成角为60o ， 则AB 不垂直于平面MNQ ． 故选D ．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．5.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( ) A. a b c >> B. b c a >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系. 详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D .点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.6.已知,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则1z x y =+-的最小值为（ ）A. 2B.2 C.2D. 1【答案】D 【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为122x y z +-=所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=02倍，由可行域可知点A （2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.z =故选D.点睛：本题的关键是找到1z x y =+-的几何意义，要找到1z x y =+-的几何意义，必须变形，12,2x y z +-=⋅所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.7.电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）A.1027B.448729C.100243D.4081【答案】B 【解析】 【分析】先求,A C 连通的概率，再求,B D 连通的概率，然后求,A B 连通的概率. 【详解】先考虑,A C 没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为111339P =⨯=. 所以,A C 连通的概率18=199P -=. ,E F 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为224339P =⨯=, 所以,E F 没有连通的概率为：45=199P -=. 则,B D 之间没有连通的概率5525=9981P =⨯所以,B D 连通的概率255618181P =-=， 所以,A B 连通的概率. 568448=819729P =⨯ 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.8.有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）A. 8种B. 16种C. 32种D. 48种【答案】B 【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧， 选出一人排在左侧，有：1122C A 种方法， 另外一人排在右侧，有12A 种方法，余下两人排在余下的两个空，有22A 种方法，综上可得：不同的站法有1112222216C A A A =种.本题选择B 选项.9.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.12B. 12-C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的最小正周期求得ω，由()1fα=列方程，利用诱导公式求得32f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由于()f x 的最小正周期为π，所以()2ππ0T ωω==>，所以2ω=.所以()()sin 2f x A x ϕ=+.由()1f α=得()()sin 21f A ααϕ=+=.所以[]()33sin 2sin 23πsin 2122f A A A ππααϕαϕαϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A. 22πB.82C.142D. 2π【答案】B 【解析】 【分析】根据11B A ACC -体积的最大值求得此时,AC BC 的长，判断出球心的位置，求得111ABC A B C -的外接球的半径，进而求得球的体积. 【详解】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==+=所以外接球的体积为34π82π23⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.11.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，结合基本不等式求得423a a +的最小值. 【详解】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦()43216181q q ≥⨯-⋅=-.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12.若关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则3122312111x x x xx xe e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. eB. 1m -C. 1m +D. 1【答案】D 【解析】 【分析】 设x x t e =即101t m t ++=-所以2(1)10t m t m +-+-=,令g()x x x e=,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t ，且120t t <<，且则31231212,x x x x x x t t e e e ===即可求解. 【详解】由方程0x x x x e m e x e++=-，有101xxx m x e e ++=- 设x xt e =即101t m t ++=- 所以2(1)10t m t m +-+-= 令g()xx x e =，则1()x x g x e '-= 所以g()x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减, 且g(0)0=，1(1)g e=，当0x >时，()0>g x 其大致图像如下.要使关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ， 且1230x x x <<<.结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t且120t t <<, 12121,1t t m t t m +=-⋅=- 则31231212,x x x x x x t t e e e===. 所以()()31222231212111=11x x x x x x t t e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2212121211][+1][t t t t t t -+=--=2[1(1)+1]1m m =---=故选：D【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分.13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________. 【答案】52 【解析】 【分析】利用根与系数关系，等差数列前n 项和公式，求得13S 的值.【详解】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：52【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.14.已知向量a r 与b r 的夹角是56π，且a a b =+r r r ，则向量a r 与a b +r r 的夹角是_____.【答案】23π【解析】 【分析】首先根据a a b =+r r r ，求得3b a =r r ，由此利用夹角公式计算出向量a r 与a b +r r的夹角的余弦值，由此求得向量a r 与a b +r r的夹角. 【详解】由a a b=+r r r 两边平方并化简得22222,20a a a b b a b b =+⋅+⋅+=r r r r r r r r ，即25π2cos 06a b b ⋅⋅+=r r r ，即3b a =r r .所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=⋅+r r r r r r r r r 2225πcos 61a b a a b a a⋅⋅+⋅==+r r r r r r r 31122=-=-，由于[],0,πa a b +∈r r r ，所以2π,3a a b +=r r r .故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.15.已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则1211a a a +++L 的值为 . 【答案】 【解析】 试题分析：令，得，令，得，联立得：，故答案为.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求的值．16.已知函数()2x xx xe ef x e e---=++，若有()(2)4f a f a +->，则实数a 取值范围是__________．【答案】()1,+∞ 【解析】∵222221(1)22()2223111x x x x x x x x x e e e e f x e e e e e ----+-=+=+=+=-++++， ∴函数()f x 在R 上为增函数，由题意得()()2(2)4x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e-------+=+++=++， ∴()4()f x f x =--， ∵()()24f a f a +->，∴()()42(2)f a f a f a >--=-． ∴2a a >-，解得1a >． ∴实数a 的取值范围是()1,+∞． 答案：()1,+∞点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()f x f x =--是解题的关键，在此基础上将不等式化为()f a >(2)f a -的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数()2x xx x e e f x e e---=++为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+. （1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若cos :cos :cos 2:2:7A B C =，求sin B ；（2）若sin :cos :tan 2:2:7A B A =，试判断ABC ∆的形状. 【答案】（1）sin B = （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac =，再利用余弦定理求得cos B 的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）结合已知条件得到sin cos A B =，2tan 7sin A A =， 结合A 为锐角，求得π2A B +=，由此证得三角形ABC 是直角三角形.【详解】（1）∵cos :cos :cos 2:2:7A B C =，∴a b =，222222:2:722b ca abc bc ab +-+-=，∴22222:2:722c a c ac a-=， ∴224720a ac c --=， ∴()()420a c a c +-=， ∴2ac =或4c a =-（舍去）， ∴2221cos 24a cb B ac +-==，∴215sin 1cos B B =-=. （2）∵sin :cos :tan 2:2:7A B A =， ∴sin cos A B =，2tan 7sin A A =， ∴2A B π+=或2A B π-=，2cos 07A =>，A 为锐角. ∴2A B π-=（舍去）， ∴2A B π+=，∴ABC ∆为直角三角形.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱台ABC DEF -中，二面角B AD C --是直二面角，AB AC ⊥，3AB =，112AD DF FC AC ====．（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】分析：（1）由勾股定理可得CD AD ⊥，由面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABED ，从而可得AB CD ⊥，结合AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面ACFD ；（2）在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB u u u v ，AC u u uv ，AH u u u v 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，330,,2CD =-u u u v（）是平面BED 的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面FBE 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，3DG =，32CG =，所以3CD =，所以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥，又二面角B AD C --是直二面角，CD ⊂平面ACFD ，所以CD ⊥平面ABED ，又AB ⊂平面ABED ，所以AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C ⋂=，AC 、CD ⊂平面ACFD ，所以AB ⊥平面ACFD ．（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB u u u v ，AC u u u v，AH u u u v的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -． 则3,0,0B （），130,2D （，3302F （，，，0,2,0C （），所以=3,2,0)BC -u u u v （，10,2CF ⎛=- ⎝⎭u u u v ，设(),,n x y z =v是平面FBE 的一个法向量，则n BC n CF⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，所以320x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 取2x =，则3y =，z =即n v，由（1）可知CD ⊥平面BED ，所以30,,22CD =-u u u v（）是平面BED 的一个法向量， 所以cos ,n CD n CD n CD ⋅=⋅u u u v v u u u v vu u uv v==， 又二面角F BE D --的平面角为锐角， 所以二面角F BE D --点睛：本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20.已知函数()()2xf x e ex ax a R =-+∈.（1）若()f x 在()0,1上单调，求a 的取值范围.（2）若()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围. 【答案】（1）(][),1,e -∞-+∞U （2）()0,∞+ 【解析】 【分析】(1)求出()2xf x e ex a '=-+，()f x 在()0,1上单调，则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,1上恒成立，只需要讨论出函数()f x '在()0,1上的单调性，求出其最值即可.(2) ()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方,即ln x ea ex e x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立，设()ln xe h x ex e x x=--，再对函数()h x 求导讨论出在()0,∞+的单调性，求出其最大值即可.【详解】（1）由题意得x ∈R ，()()2xf x e ex a a R '=-+∈.()f x 在()0,1上单调，即()()2x f x e ex a a R '=-+∈在()0,1上大于等于0或者小于等于0恒成立.令()()2xg x e ex a a R =-+∈，则()2xg x e e '=-.()0g x '=时，ln 2x e =.当01ln 2x e <<<时，()0g x '<，∴()g x 在()0,1上单调递减， ∴由题意得()10g ≥，或()00g ≤. ∴a 的取值范围是(][),1,e -∞-+∞U .（2）2ln x y e ex ax ex x =-++的图像恒在x 轴上方，也即当()0,x ∈+∞时，0y >恒成立.也即ln xe a ex e x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立.令()ln x e h x ex e x x =--，()()()()22211xx ex e x ex ex e x x h x x-----='=， 由()10h '=可得：当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； ∴()10h =为极大值. 所以()(1)0h x h ≤=.∴a 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数的范围和不等式恒成立求参数的范围问题，用分离参数的方法是常用方法,属于中档题.21.某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个x 元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x 的最小值； （3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计x 的最小值（精确到0.01） . 【答案】（1）7.9个 （2）9 （3）8.67 【解析】 【分析】(1)用样本的平均值估计总体的平均数，即求出100个样本的平均数即可. (2) 一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子：602100210051400100x ⎛⎫⋅-÷⨯≥ ⎪⎝⎭可解出答案. (3) 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,求出需要制作的零件总数，然后再计算满足利润条件x 的值.【详解】解：（1）设机器制造零件的质量指标值的平均数为m ；由题意得：()1667188609121047.9100m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.（2）一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子：602100210051400100x ⎛⎫⋅-÷⨯≥ ⎪⎝⎭，解得：9x ≥， ∴x 的最小值为9；（3）依题意得，准合格品加工后有13能合格，用于销售， 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭， 解得3000y =，故要使获利达到1400元，需要3210052140010x y y ⋅-⋅-⋅⋅≥， 解得263x ≥， ∴x 的最小值为8.67.【点睛】考查利用样本估计总体，考查利用样本平均数估计总体平均数，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,曲线221C :x y 1+=经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 的极坐标方程为ρ2sin θ=-. (1)求曲线23C ,C 的参数方程;(2)若P,Q 分别是曲线23C ,C 上的动点,求PQ 的最大值.【答案】（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（2【解析】(1)曲线221:1C x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩,可得曲线2C 的方程为2214x y +=,∴其参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数);曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-,即22sin ρρθ=-,∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-,即()2211x y ++=,∴其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数). (2)设()2cos ,sin P αα,则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d ===,∵[]sin 1,1α∈-,∴当1sin 3α=时,max d =.∴max max1PQ d r =+=+=. 选修4-5：不等式选讲23.已知3a b c ++=，且a 、b 、c 都是正数. （1）求证：2223a b c ++≥； （2）求证：11132a b b c c a ++>+++. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)将3a b c ++=两边平方，在由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，可证.(2)由111111=6a b b c a c a b b c a c a b b c a c +++++⎛⎫++++⨯ ⎪++++++⎝⎭可证. 【详解】（1）证明：由已知得()239a b c a b c ++=⇒++=，2222229a b c ab ac bc ⇒+++++=，又222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，∴()()22222a b c ab bc ac ++≥++，∴()22222229a b c a b c +++++≥， ∴2223a b c ++≥.（2）证明：由已知得3a b c ++=， ∴()11116a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭11116a ba b b c b c a c a c b c a c a b a c c b b c ++++++⎛⎫=++++++++ ⎪++++++⎝⎭(1131119662≥+++=⨯=.【点睛】本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.。

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·山东四校联考)已知集合A＝{x|log2x<1}，集合B＝{y|y＝2－x}，则A∪B＝()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(0,2) D．[0，＋∞)答案 D解析由题意得A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝[0，＋∞)．故选D.2．(2019·湖南桃江一中5月模拟)复平面内表示复数z＝6＋2i2－i的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 A解析∵z＝6＋2i2－i＝6＋2i2＋i2－i2＋i＝10＋10i5＝2＋2i，∴z 在复平面对应的点(2,2)在第一象限．故选 A.3．(2019·北京师范大学附中模拟三)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则()A ．AD →＝43AB →＋13AC →B ．AD →＝43AB →－13AC →C ．AD →＝13AB →－43AC →D ．AD →＝－13AB →＋43AC→答案 D解析如图，AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(BA →＋AC →)＝43AC →－13AB →.故选D.4．(2019·广东梅州总复习质检)若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x答案 D解析由题意得e ＝1＋b a 2＝3，得ba＝2，又因为双曲线焦点在y 轴上，所以渐近线方程为y ＝±a b x ＝±22x.故选D.5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数．素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为()A ．13B ．14C．15D．16答案 D解析10以内的素数有2,3,5,7，共4个，从中任取2个构成的素数对有A24个．根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，知10以内的素数组成的素数对(3,5)，(5,7)为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率P＝2A24＝16，故选D.6．若正项等比数列{a n}满足a n a n＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是() A． 2 B．－16 2C．2 D．16 2答案 D解析因为a n a n＋1＝22n(n∈N*)，所以a n＋1a n＋2＝22n＋2(n∈N*)，两式作比可得a n＋2 a n＝4(n∈N*)，即q2＝4，又a n>0，所以q＝2，因为a1a2＝22＝4，所以2a21＝4，所以a1＝2，a2＝22，所以a6－a5＝(a2－a1)q4＝16 2.7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．4 3 B．103 3C．2 3 D．83 3答案 B解析由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H－EFG，三角形ABC的面积S＝1 2×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V＝3×4－13×3×2＝1033.8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是()A．i<10? B．i<9?C．i>8? D．i<8?答案 B解析由程序框图的功能可得S＝1×1－122×1－132×…×1－1i＋12＝1－12×1＋12×1－13×1＋13× (1)1i＋11＋1i＋1＝12×32×23×43×…×ii＋1×i＋2i＋1＝i＋22i＋2＝59，所以i＝8，i＋1＝9，故判断框中可填入i<9？.9．已知函数f(x)＝－x3－7x＋sinx，若f(a2)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(－1,2) D．(－2,1)答案 D解析因为f′(x)＝－3x2－7＋cosx<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，又因为f(x)是奇函数，所以由f(a2)＋f(a－2)>0得f(a2)>－f(a－2)＝f(2－a)，即a2<2－a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.10. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝()A．2∶ 3 B．1∶ 2C．1∶3 D．1∶ 3答案 C解析由椭圆的光学性质可知，直线l′平分∠F1PF2，因为S△PF1MS△PF2M＝|F1M||F2M|，又S△PF1MS△PF2M＝12|PF1||PM|sin∠F1PM12|PF2||PM|sin∠F2PM＝|PF1||PF2|，故|F1M||F2M|＝|PF1||PF2|.由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.11．设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlog a x－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围是()A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)答案 D解析令f(x)＝x－a－x＝0，则1x＝a x，所以x1是指数函数y＝a x(a>1)的图象与y＝1x的图象的交点A的横坐标，且0<x1<1，同理可知x2是对数函数y＝log a x(a>1)的图象与y＝1x的图象的交点B的横坐标．由于y＝a x与y＝log a x互为反函数，从而有x1＝1x2，所以x1＋4x2＝x1＋4x1.由y＝x＋4x在(0,1)上单调递减，可知x1＋4x2>1＋41＝5.故选D.12．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：①△ABC被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是153 2.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①②③D．②③④答案 B解析由已知可设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，则a＝72k，b＝52k，c＝32k，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正确．又a，b，c的值不确定，所以①错误．在△ABC中，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，A＝2π3，所以②正确．因为b＋c＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝12bcsinA＝1534，所以④错误．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 (1)6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案19解析由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．在(x 2＋2x ＋y)6的展开式中，x 3y 2的系数为________(用数字作答)．答案60解析(x 2＋2x ＋y)6＝[(x 2＋2x)＋y 12]6，它展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r6(x 2＋2x)6－ry r 2，令r2＝2，则r ＝4，T 5＝C 46(x 2＋2x)2y 2＝C 46(x 4＋4x 3＋4x 2)y 2，∴x 3y 2的系数为C 46×4＝60. 15．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案22解析由题设得抛物线方程为y 2＝8x ，设P 点坐标为P(x ，y)，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|y －42＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·广东深圳外国语学校第一次热身)已知函数f(x)＝x 2cos πx2，数列{a n }中，a n ＝f(n)＋f(n ＋1)(n ∈N *)，则数列{a n }的前40项和S 40＝________.答案1680解析由题意得a 1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a 2＝f(2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，a 3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a 4＝f(4)＋f(5)＝16，a 5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a 6＝f(6)＋f(7)＝－36，…可得数列{a n }为－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…即有数列{a n }的前40项和S 40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)＋…＋(－1444－1444＋1600＋1600)＝24＋56＋88＋…＋312＝12×10×(24＋312)＝1680.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ≠π2，且3sinAcosB ＋12bsin2A ＝3sinC.(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解(1)由3sinAcosB ＋12bsin2A ＝3sinC ，得3sinAcosB ＋bsinAcos A ＝3sinC ，由正弦定理，得3acosB ＋abcosA ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a22bc＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB 代入条件变形即可)6分(2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c)2－bc ≥(b ＋c)2－b ＋c 22＝34(b ＋c)2，所以34(b ＋c)2≤9，即(b ＋c)2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·广东潮州二模)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.5分(2)X可能的取值为400,500,800，6分并且P(X＝800)＝14，P(X＝500)＝116，P(X＝400)＝1－116－14＝1116，故X的分布列如下：X 400500800P 111611614故E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD 中，P A⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD＝λBC，AD∥BC，∠BCD＝90°，M为线段PB上一点．(1)若λ＝13，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知PA ＝2，AD ＝1，若异面直线P A 与CD 成90°角，二面角B －PC －D 的余弦值为－1010，求CD 的长．解(1)延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE?平面PCD ，若AM ∥平面PCD ，由平面PBE ∩平面PCD ＝PE ，AM?平面PBE ，则AM ∥PE ，2分由AD ＝13BC ，AD ∥BC ，则PM PB ＝EA EB ＝13，故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点.4分(2)∵PA ⊥AD ，P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD?平面ABCD ，CD?平面ABCD ，则P A ⊥平面ABCD ，5分以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面P AD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设CD ＝t ，则P(0,0,2)，D(0,1,0)，C(t,1,0)，B t ，1－1λ，0，则BC →＝0，1λ，0，PC →＝(t,1，－2)，CD→＝(－t,0,0)，7分设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1⊥BC →，n 1⊥PC →，得n 1·BC →＝0，n 1·PC →＝0，即1λy 1＝0，tx 1＋y 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝t2，故n 1＝1，0，t2.同理可求得n 2＝(0,2,1)，9分则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，则t 21＋t 22·5＝1010，解得t ＝±2(负值舍去)，故t ＝2.∴CD ＝2.12分20．(2018·北京高考)(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.3分(2)证明：抛物线C 的焦点为F(0，－1)．设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由y ＝kx －1，x 2＝－4y 得x 2＋4kx －4＝0.4分设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x. 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.7分设点D(0，n)，则DA →＝－x 1y 1，－1－n ，DB →＝－x 2y 2，－1－n ，DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2－x 214－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.9分令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3).12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x －ax －x(a ∈R )．(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数g(x)＝e mx ＋x 2－mx(x>0，m ∈R )，若存在x 1≠x 2，使f(x 1)＝f(x 2)，证明：g(x 1·x 2)<g(e 2a )．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x －a ，令f ′(x)＝0，所以x ＝e a ，当0<x<e a 时，f ′(x)<0；当x>e a时，f ′(x)>0.所以f(x)在(0，e a )上单调递减，在(e a ，＋∞)上单调递增，所以f(x)极小值＝f(e a )＝－e a ，所以函数f(x)的极小值为－e a ，无极大值.4分(2)证明：g ′(x)＝me mx ＋2x －m ＝m(e mx －1)＋2x ，当m>0时，由于x>0，所以e mx >1，e mx －1>0，即g ′(x)>0，当m<0时，由于x>0，所以e mx <1，e mx －1<0，即g ′(x)>0，当m ＝0时，g ′(x)＝2x>0，综上，g ′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，6分故只须证明x 1x 2<e 2a ，即证ln x 1＋ln x 2<2a ，由f(x 1)＝f(x 2)，可知x 1ln x 1－ax 1－x 1＝x 2ln x 2－ax 2－x 2，故a ＝x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1－1，即证ln x 1＋ln x 2<2×x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1－2，即ln x 1＋ln x 2－2×x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1<－2，即x 2ln x 1＋x 2ln x 2－x 1ln x 1－x 1ln x 2－2x 2ln x 2＋2x 1ln x 1x 2－x 1<－2，即x2ln x1－x1ln x2＋x1ln x1－x2ln x2x2－x1<－2，即x2ln x1－ln x2＋x1ln x1－ln x2x2－x1<－2，即ln x1x2·x1＋x2x2－x1<－2，即ln x1x2·x1x2＋11－x1x2<－2.9分不妨设x1>x2，t＝x1x2>1，即证ln t·t＋11－t<－2，ln t>－2×1－tt＋1，即证ln t＋2×1－tt＋1>0，设h(t)＝ln t＋2×1－t1＋t(t>1)，则h′(t)＝1t＋2×－1－t－1＋t1＋t2＝1t－4t＋12＝t－12t t＋12>0，故h(t)在(1，＋∞)上单调递增．因而h(t)>h(1)＝0，即ln t＋2×1－tt＋1>0，因此结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为x22＋y2＝1，曲线C2的参数方程为x＝cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)，曲线C3的方程为y＝xtanα0<α<π2，x>0，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)求|OP|2·|OQ|2的取值范围．解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ2＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝21＋sin2θ，2分由x＝cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)，消去φ，即得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化简，可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.5分(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝αρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP|2＝21＋sin2α，|OQ|2＝4sin2α，即|OP|2·|OQ|2＝8sin2α1＋sin2α＝81sin2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sinα<1，所以|OP|2·|OQ|2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|.(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)记函数f(x)的最大值为m，若a>0，b>0，e a·e4b＝e2ab－m，求ab的最小值．解(1)当x≤－3时，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；当－3<x<5时，由5－x－x－3≥x＋1，得x≤13，所以－3<x≤13；当x≥5时，由x－5－x－3≥x＋1，得x≤－9，无解.4分综上可知，x≤13，即不等式f(x)≥x＋1的解集为－∞，13.5分(2)因为|x－5|－|x＋3|≤|x－5－x－3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8.6分因为e a·e4b＝e2ab－8，所以a＋4b＝2ab－8.又a>0，b>0，所以a＋4b≥24ab＝4ab，当且仅当a＝4b时，等号成立，7分所以2ab－8－4ab≥0，即ab－4－2ab≥0.所以有(ab－1)2≥5.8分又ab>0，所以ab≥1＋5或ab≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试（十）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{|lg 0}A x x =<，{|31}x B x =<，则（ ） A. {|0}A B x x =<I B. A B R =U C. {|1}A B x x ⋃=< D. A B =∅I【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的单调性求解集合,A B ,再判定即可.【详解】{|lg 0}{|01}A x x x x =<=<<,{|31}{|0}xB x x x =<=<.所以A B =∅I .故选：D【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与指对数函数的不等式求解.属于基础题. 2.设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于 A. 0B. 4C. 2D.【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()1212111i i i ii i i i i i i i------====+⋅，所以故答案为D ．考点：复数的运算．3.下列各式中错误．．的是（ ） A. 330.80.7> B. lg1.6lg1.4>C. 0.50.5log 0.4log 0.6>D. 0.10.10.750.75-<【答案】D 【解析】 【分析】构造基本初等函数，结合函数的单调性判断.【详解】函数3y x =为增函数，所以330.80.7>，故选项A 正确； 函数lg y x =为增函数，所以lg1.6lg1.4>，故选项B 正确；函数0.5log y x =为减函数，所以0.50.5log 0.4log 0.6>，故选项C 正确； 函数0.75xy =为减函数，所以0.10.10.750.75->，故选项D 错误. 故选D.【点睛】本题主要考查指数式和对数式的大小比较，构造合适的函数是求解的主要策略，结合函数的单调性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.4.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，双曲线C 的一条渐近线方30x y +=，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221412x y -=D. 221124x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线与抛物线的基本量求解即可.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0,故双曲线2c =.又渐近线为30x y +=,即3y x =-,故3b a =,故221334b a a b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩ ,故双曲线方程2213y x -=.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线中的基本量求解,属于基础题. 5.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0,0A ω>>，π2<ϕ）的部分图象如图所示，则⋅=ωϕ（ ）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，将点()0,1代入结合||2ϕπ<，可得ϕ，将点11,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得ω的值，进而可求得结果.【详解】由函数图象可得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又()01f =，所以1sin 2ϕ=， 结合图象可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=， 又因为11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即11sin 0126ππω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合图得112,126k k Z ππωπ⋅+=∈， 又因为21112T ππω=>，所以24011ω<<，故=2ω 所以π3ωϕ⋅=，故选C. 【点睛】本题给出了函数()sin y A ωx φ=+的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的知识点，属于中档题． 6.已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A.15 B.14C.12D.34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.7.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()(){}()2222224,11{(,)|11}0x y x y x y x y x y x ⎧+≤⎪⎪Ω=+-≤⋃++≥⎨⎪≤⎪⎩，设点(,)∈x y A ，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. 15,25⎡⎤--⎣⎦B. 552,2-⎡⎤⎣⎦C. 25,15⎡⎤-+⎣⎦D. 4,15⎡⎤-+⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据线性规划的方法,分析目标函数直线方程2z x y =+与阴影部分相切时的临界条件即可. 【详解】作直线20x y +=,当直线上移与圆()2211x y +-=相切时, 2z x y =+取最大值；此时圆心()0,1到20x y z +-=的距离为1,即221121z -=+,即最大值51z =+.当直线下移与圆224x y +=相切时, 2z x y =+取最小值；此时圆心()0,0到20x y z +-=的距离为2,即22221z -=+,即最小值25z =-故2z x y =+的取值范围是25,15⎡⎤-+⎣⎦故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划与直线与圆相切的问题综合运用,需要根据题意分析出临界条件,再根据圆与直线相切利用公式求解即可.属于中档题.8.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 36种B. 42种C. 48种D. 54种【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：一是甲排在第一位，二是甲排在第二位，然后利用排列组合思想求出这两种情况各自的排法种数，利用分类计数原理可得出结果.【详解】分以下两种情况讨论：一是甲排在第一位，丙排在最后一位，则乙可在中间四个位置任选一个来放置，有134324C A=种；二是甲排在第二位，丙排在最后一位，则乙可在中间三个位置任选一个来放置，有133318C A=种.综上所述，由分类计数原理可知，共有241842+=种编排方案，故选B.【点睛】本题考查分类计数原理，考查排列组合综合问题，本题一些元素有限制条件，要利用有限制条件的元素优先排列的原则来进行，考查计算能力，属于中等题.9.灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色.春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】【分析】根据四句话中的提及到同一人的中奖情况进行突破口分析即可.【详解】由甲说：“我或乙能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；且只有一位同学的预测结果正确可知,乙没有中奖.又甲说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.故甲丁两人中必有一人预测正确.故乙,丙预测不正确.故乙,丙,丁均未中奖.故甲为中奖者.故选：A【点睛】遇到逻辑推理的问题一般是找语句中均谈到的同一个人中奖情况进行分析,从而进行排除分析.属于基础题. 10.函数ln 1()xf x ex=+的大致图象为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：考查函数的符号和函数的奇偶性排除错误选项即可求得最终结果. 详解：利用排除法： 当0x >时，ln 0x e >，10x>，则函数()0f x >，据此可排除AB 选项； 且：()()ln 1xf x ef x x-=-≠-，即函数的图象不关于坐标原点对称，排除D 选项. 本题选择C 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.已知二面角l αβ--为060,动点P 、Q 分别在α、β内，P 到β3Q 到α3则PQ 两点之间距离的最小值为（ ） 3 B. 12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】画图分析,根据三角形中的边角关系求得对应的线段长度,再分析最值即可.【详解】如图,分别作QA α⊥于A ,AC l ⊥于C ,PB β⊥于B ,PD l ⊥于D , 连,CQ BD 则60ACQ PDB ∠=∠=︒,32AQ =,3BP =∴1BD CQ == 又∵22233PQ BQ BP BQ =+=+≥当且仅当0BQ =,即点B 与点Q 重合时取最小值。