15.中考数学专题21平行弦、圆周角与圆心角的关系(解析版)

专题21平行弦、圆周角与圆心角的关系存在如下图3种情况，证明如下：①∵AO=OC ∴∠OAC=∠ACO又∵∠BOC=∠OAC+∠OCA∴∠BOC=2∠BAC②∵2∠BAO=∠BOD 2∠OAC=∠DOC∴∠BOC=2∠BAC③∵∠DOC=2∠DAC ∠DOB=2∠DAB∴∠BOC=2∠BAC（1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等∴同弧或等弧所对圆周角相等（3）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结：在同圆或等圆中，有如下关系：即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。

（3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。

（因为圆心角为180°）证明：∵∠A=90°∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径∵∠D=90°∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径∴四点共圆（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个（3）证明：连接BO，CÔ的圆周角∠D是劣弧AB̂的圆周角∵∠A是优弧AB∴∠A+∠D=180°1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【解析】【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．【详解】解：∵OD⊥BC，∴CD＝BD，∵OA＝OB，AC＝4∴OD＝12AC＝2．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若CD=1，则BE的长是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ，∴AD=DB=12在Rt △AOD 中，OA 2=(OC -CD)2+AD 2,即OA 2=(OA -1)2 )2，解得，OA=4∴OD=OC -CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键3．⊙O 的半径是13，弦AB ∥CD ，AB ＝24，CD ＝10，则AB 与CD 的距离是（ ）A ．7B ．17C ．7或17D ．34【答案】C【解析】【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD 的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.【详解】 解：如图,设E、F 为AB、CD 的中点， AE=12AB=12⨯24=12, CF=12CD=12⨯10=5,OF=①当两弦在圆心同侧时,距离=OF -OE=12-5=7;②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.所以距离为7或17.故选C.【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.4．O 的半径为10cm ，弦//AB CD ，16AB =，12CD =，则AB 、CD 间的距离是：（ ）A ．14B ．2C ．14或2D ．以上都不对 【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB 、CD 在点O 的同侧时，AB 、CD 在点O 的两侧时两种情况分别计算求出EF 即可.【详解】如图，过点O 作OF ⊥CD 于F ，交AB 于点E ，∵//AB CD ，∴OE ⊥AB ，在Rt △AOE 中，OA=10，AE=12AB=8，∴OE=6， 在Rt △COF 中，OC=10，CF=12CD=6，∴OF=8， 当AB 、CD 在点O 的同侧时，AB 、CD 间的距离EF=OF -OE=8-6=2；当AB 、CD 在点O 的两侧时，AB 、CD 间的距离EF=OE+OF=6+8=14，故选：C .【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.5．已知⊙O 的半径为5，两条平行弦AB 、CD 的长分别为6和8，求这两条平行弦AB 与CD 之间的距离（ ） A ．3B ．4C ．1或7D ．10【答案】C【解析】【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可．【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，则由垂径定理得：AE=12AB=3，CF=12CD=4，在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE2222534OE，同理可求出OF=3，∴EF=4－3=1；②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3，则EF=4+3=7；即AB与CD的距离是1或7.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理. 6．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B ．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．若一条直线与一个圆有公共点，则二者相交【答案】B【解析】【分析】利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可【详解】A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B 、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D 、若一条直线与一个圆有公共点，则二者相交或相切，故本选项错误，故选B ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理.能清楚的知道每个定理的条件和它对应的结论是解题的关键.7．已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．【答案】7或1．【解析】【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 同一侧时，当两条弦位于圆心O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE 和OF 的长度，即可得到答案．【详解】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE ⊥CD ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OC ，OA ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点，∴CE=DE=12CD=3cm ，AF=BF=12AB=4cm ， 在Rt △AOF 中，OA=5cm ，AF=4cm ，根据勾股定理得：OF=3cm ，在Rt △COE 中，OC=5cm ，CE=3cm ，根据勾股定理得：OE ═4cm ，则EF=OE -OF=4cm -3cm=1cm ；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm ，综上，弦AB 与CD 的距离为7cm 或1cm ．故答案为：7或1．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．8．已知O 的半径为5cm ，弦AB CD ∥，6AB cm =，8CD cm =，则AB 与CD 之间的距离为______．【答案】1cm 或7cm【解析】【分析】根据题意画出符合要求的两种情况，过O 作OE AB ⊥于E ，交CD 于F ，连接OA 、OC ，根据垂径定理求出AE 、CF ，根据勾股定理求出OE 、OF ，结合图形求出EF 即可．【详解】解：①当AB 和CD 在圆心O 的同一侧时，过O 作OE AB ⊥于E ，交CD 于F ，连接OA 、OC ，如图：∵AB CD ∥，OE AB ⊥∴OF CD ⊥∵6AB cm =，8CD cm =∴132AE AB cm ==，142CF CD cm == ∵5OA OC cm ==∴在Rt OAE △中，4OE cm =在Rt OCF 中，3OF cm ===∴1EF OE OF cm =-=②当AB 和CD 在圆心O 的两侧时，过O 作OE AB ⊥于E ，交CD 于F ，连接OA 、OC ，如图：∵AB CD ∥，OE AB ⊥∴OF CD ⊥∵6AB cm =，8CD cm = ∴132AE AB cm ==，142CF CD cm == ∵5OA OC cm ==∴在Rt OAE △中，4OE cm =在Rt OCF 中，3OF cm ===∴7EF OE OF cm =+=∴综上所述，AB 与CD 之间的距离为1cm 或7cm ．故答案是：1cm 或7cm【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB 、CD 的位置关系有两种，不要漏解．9．已知⊙O 的半径为2，⊙O 中有两条平行的弦AB 和CD ，AB ＝2，CD ＝，则两条弦之间的距离为__．+11【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝∴AF＝1，CE∵OA＝OC＝2，∴EO＝1，OF∴EF＝OF﹣OE-1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝∴AE＝1，CF∵OA＝OC＝2，∴EO OF＝1，∴EF＝OF+OE＝；综上所述：AB和CD．．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【答案】1或5．【解析】【分析】分两种情况：两条平行弦在圆心的同侧时和两条平行弦在圆心的两侧时，分情况进行讨论即可. 【详解】两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．故答案为:1或5．【点睛】本题主要考查两条平行弦之间的距离，注意分情况讨论.1．一副直角三角板如图放置（90ACB ADB ∠=∠=︒），30CAB ∠=︒，45BAD ∠=︒，AB 交CD 于E ，则CEB ∠的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】D【解析】【分析】 根据90ACB ADB ∠=∠=︒得到A 、B 、C 、D 四点共圆，根据圆周角定理得到45ACD ABD ∠=∠=︒，然后利用三角形的外角即可求解．【详解】∵90ADB ∠=︒，45BAD ∠=︒∴DAB 是等腰直角三角形∴45DAB ADB ∠=∠=︒∵90ACB ADB ∠=∠=︒∴A 、B 、C 、D 四点共圆，且AB 为直径∴根据圆周角定理得45ACD ABD ∠=∠=︒∴75ACD CAB CEB AED ∠+∠=︒∠=∠=故选D ．【点睛】本题考查了圆的相关知识：四点共圆，圆周角定理，三角形外角的性质，题目综合性较强，熟练掌握四点共圆是本题的关键．2．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内⊙C 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径为（ ）A．6B．5C．3D 【答案】C【解析】【详解】∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，∴∠BAO=60°，∵点A的坐标为（0，3），∴AO=3，∴cos∠BAO=AO AB，∴AB=3cos60=6，∴⊙C的半径为3，故选：C．3．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝35°，则∠OBA的度数是（）A．35B．30°C．25°D．20°【答案】D根据垂径定理，可得AC BC =，∠OEB ＝90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【详解】解：连接AO ，如图：由OC ⊥AB ，得AC BC =，∠OEB ＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠2＝2∠1＝2×35°＝70°．∴∠3＝70°，在Rt △OBE 中，∠OEB ＝90°，∴∠B ＝90°﹣∠3＝90°﹣70°＝20°，故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出AC BC =，∠OEB ＝90°是解题关键，又利用了圆周角定理． 4．如图，在平面直角坐标系中，P 经过三点()A 8,0，()O 0,0，()B 0,6，点D 是P 上一动点，则点D 到弦OB 的距离的最大值是( )A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C先求出圆的直径，当点D 在所在直线垂直OB 时，此时点D 到弦OB 的距离的最大，求出此时的值即可．【详解】如图，连接AB ，AOB 90∠=，AB 为直径，此时AB 10==，当直线CD 垂直AB 时，此时此时点D 到弦OB 的距离的最大为PD ．BCP AOB 90∠∠==，PC//OA ∴，又P 是AB 的中点，PC ∴是AOB 的中位线．1PC OA 42∴==，此时PD PC PD 459=+=+=. 故选C ．【点睛】此题主要考查坐标与图形的计算，圆周角定理，三角形的中位线等，关键考查坐标和圆的结合的灵活应用． 5．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C= 45º，AB=4，则⊙O 的半径为（ ）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】A【解析】解：连接OA ，OB∵∠C=45°∴∠AOB=90°又∵OA=OB ，AB=4∴OA=．故选A ．6．如图，点C 为半圆的中点，AB 是直径，点D 是半圆上一点，AC ，BD 交于点E ．若AD=1，BD=7，则CE 的长为_____.【答案】154.【解析】【分析】直径所对应的的圆周角为90°，再利用勾股定理求出AB 的值，然后利用C 点为半圆的中点判断出ΔABC 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC 的值，最后利用三角形相似，对应边成比例求出DE 的长度.【详解】∵ 点C 为半圆的中点 ，∴AC=BC,∵ AB 是直径 ,∴∠C=∠D=90°,在Rt △ADB 中， AD=1，BD=7 ，∴AB=5√2,在等腰Rt △ACB 中，∴AC=BC=5,∵∠CBE=∠CAD,∠C=∠D,∴△ADE ∽△BCE ，∴BC AD =CE DE ， 即51=CE DE,∴CE=5DE,∴BE=7-DE,在Rt △CEB 中,利用勾股定理得：52+（5DE ）2=(7-DE)2,解得 :DE=-43(舍去）或DE=34， ∴CE=154故答案为154. 【点睛】直径所对的圆周角等于90°；两个角对应相等的三角形相似，相似三角形线段成比例；勾股定理a 2+b 2=c 2. 7．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，AC ＝BC ，AD 与CB 交于点E ．∠DAB ＝25°，则∠E ＝___．【答案】20°．【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ABC＝45°，根据三角形外角性质求出即可．【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵∠DAB＝25°，∴∠E＝∠CBA﹣∠DAB＝20°，故答案为20°．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE 和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是．1【解析】【分析】先证得点P在运动中保持∠APD=90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求出QC，继而求得PC的长即可．∵动点F，E的速度相同，∴DE=CF，又∵AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE=∠CDF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CDF+∠AED=90°，∴∠DPE=∠APD=90°，∴点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，==∴CP=QC-1，1．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，能综合运用相关知识进行推理是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，AB=E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面⊥于点G，连接DG，则线段DG的最小值为______．积分为相等的两部分，过点A作AG EF【分析】连接AC ，BD 交于O ，得到EF 过点O ，推出点G 在以AO 为直径的半圆弧上，设AO 的中点为M ，连接DM 交半圆弧于G ，则此时，DG 最小，根据正方形的性质得到AC 8=，AC BD ⊥，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD 交于O ，过点E 、F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，EF ∴过点O ，AG EF ⊥，AGO 90∠∴=︒，∴点G 在以AO 为直径的半圆弧上，则AM OM GM 2===设AO 的中点为M ，连接DM 交半圆弧于G ，则此时，DG 最小，四边形ABCD 是正方形，AB =AC 8∴=，AC BD ⊥，1AO OD AC 42∴===，1AM OM AO 22∴===，DM ∴=，∴DG DM GM 2=-=故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】解：设圆心是O，连接OP，OQ．∵P、Q所表示的读数分别是70°，30°，∴∠POQ=40°．∵∠P AQ与∠POQ是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠P AQ=12∠POQ=20°．故选B．11．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为_________．【答案】61°【解析】【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD=12∠BOD=29°，继而求得∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．【详解】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD＝58°，∴∠BCD＝12∠BOD＝29°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝61°．故答案为61°．考点：圆周角定理12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为( )A．15B．28C．29D．34【答案】B【解析】【分析】先由题意求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.【详解】由题意得∠AOB=86°-30°=56°则∠ACB∠AOB=28°故选B.【点睛】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理进行解答即可．【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55°B．110°C．120°D．125°【答案】D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．详解：根据圆周角定理，得∠ACB=12（360°-∠AOB）=12×250°=125°．故选D．点睛：此题考查了圆周角定理．注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．4．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°【答案】C【解析】分析：作AC对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．详解：作AC对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=12∠AOC=12×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°【答案】D【解析】分析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°。