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弧、弦、圆心角教案教学目标：1. 理解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 学会使用圆规和量角器画弧、弦和圆心角。
3. 能够运用弧、弦、圆心角解决实际问题。
教学重点：1. 弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 画弧、弦和圆心角的方法。
教学难点：1. 弧、弦、圆心角在实际问题中的应用。
教学准备：1. 圆规、量角器、直尺、铅笔。
2. 教学PPT。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察圆，提问：圆上有什么特殊的部分？2. 学生回答：弧、弦。
3. 教师讲解弧、弦的定义，并展示PPT中的图片和实例。
二、探究弧、弦、圆心角的关系（10分钟）三、画弧、弦和圆心角（10分钟）1. 教师示范如何使用圆规和量角器画弧、弦和圆心角。
2. 学生动手实践，画出给定半径的圆的弧、弦和圆心角。
3. 学生互相检查，教师巡回指导。
四、解决问题（10分钟）1. 出示实际问题，如：在一个半径为5cm的圆中，求弧长为10πcm的弧对应的圆心角大小。
2. 学生独立思考，解答问题。
3. 学生分享解题过程和答案，教师点评。
2. 出示拓展问题，如：在同一个圆中，如果两个圆心角的度数相等，它们对应的弧和弦是否相等？3. 学生思考拓展问题，下节课讨论。
教学反思：六、深化理解：圆心角、弧、弦的定量关系教学目标：1. 掌握圆心角、弧、弦的定量关系。
2. 能够运用定量关系解决相关问题。
教学重点：1. 圆心角、弧、弦的定量关系。
教学难点：1. 定量关系在实际问题中的应用。
教学准备：1. 圆规、量角器、直尺、铅笔。
2. 教学PPT。
教学过程：1. 复习上节课所学的弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
2. 引导学生探究圆心角、弧、弦的定量关系。
七、实际应用：解决圆相关问题教学目标：1. 能够运用圆心角、弧、弦的定量关系解决实际问题。
2. 提高解决实际问题的能力。
教学重点：1. 运用圆心角、弧、弦的定量关系解决实际问题。
教学难点：1. 实际问题中的数据处理和运用。
24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆的旋转不变性．2、掌握圆心角的概念和圆心角定理．3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学过程：一、情境创设：1、按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．二、新课讲授1．定点在圆心的角叫做圆心角。
如：∠AOB2．如图1，由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知弧AB=弧A’B’.定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．注意：（1）“同圆或等圆”的条件不能少；若去掉这个前提，如图所示的是两个同心圆，弦AB与弦CD相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等)（2）定理的作用：在同圆或等圆中证：圆心角、弧、弦相等；（3）“等弧对等弦”是假命题；※（4）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用）※（5）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
中学数学《弧线与圆心角》教案设计第一章：导入1.1 教学目标让学生了解弧线和圆心角的基本概念。
引导学生通过观察和思考，发现弧线和圆心角之间的关系。
1.2 教学内容介绍弧线的定义和特点。
介绍圆心角的定义和特点。
通过实例让学生理解弧线和圆心角之间的关系。
1.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解弧线和圆心角的概念。
引导学生进行观察和思考，发现弧线和圆心角之间的关系。
1.4 教学评估通过学生对弧线和圆心角概念的理解程度，评估学生对这部分知识的学习情况。
第二章：弧线的长度2.1 教学目标让学生掌握弧长公式，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学内容介绍弧长公式的推导过程。
通过实例让学生运用弧长公式解决实际问题。
2.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生理解弧长公式的推导过程。
引导学生进行实际问题的解决，巩固弧长公式的运用。
2.4 教学评估通过学生对弧长公式的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。
第三章：圆心角的大小3.1 教学目标让学生了解圆心角的大小与所对弧长的关系。
3.2 教学内容介绍圆心角的大小与所对弧长的关系。
通过实例让学生观察和理解圆心角大小与所对弧长的关系。
3.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解圆心角大小与所对弧长的关系。
引导学生进行观察和思考，发现圆心角大小与所对弧长的关系。
3.4 教学评估通过学生对圆心角大小与所对弧长的关系的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。
第四章：圆周角定理4.1 教学目标让学生掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。
4.2 教学内容介绍圆周角定理的定义和证明过程。
通过实例让学生运用圆周角定理解决实际问题。
使用多媒体演示和实物模型，帮助学生理解圆周角定理的证明过程。
引导学生进行实际问题的解决，巩固圆周角定理的运用。
4.4 教学评估通过学生对圆周角定理的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。
一、教案设计概述1. 教学目标：（1）让学生理解弧线、圆心角的概念及它们之间的关系。
（2）培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
（3）提高学生对数学美的欣赏能力，培养学生的空间想象能力。
2. 教学内容：（1）弧线的基本概念。
（2）圆心角的基本概念。
（3）弧线与圆心角的关系。
（4）弧长及圆心角的应用。
3. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生主动探究弧线与圆心角的关系。
（2）利用多媒体手段，展示弧线与圆心角的动态关系，提高学生的空间想象能力。
（3）开展小组合作活动，培养学生的团队协作能力。
4. 教学手段：（1）多媒体课件。
（2）几何模型。
（3）练习题。
二、教学过程1. 导入：（1）利用多媒体展示各种圆弧形状的物体，引导学生关注弧线的美感。
（2）提问：这些物体有什么共同特点？它们与数学中的弧线有什么关系？2. 新课导入：（1）介绍弧线的定义及特点。
（2）介绍圆心角的定义及特点。
（3）引导学生探究弧线与圆心角的关系。
3. 案例分析：（1）分析实际问题，引入弧长及圆心角的概念。
（2）讲解弧长及圆心角的计算方法。
4. 实践操作：（1）让学生利用几何模型测量弧长及圆心角。
（2）引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 巩固练习：（1）发放练习题，让学生巩固所学知识。
（2）解答学生疑问，给予个别指导。
三、教学评价1. 课堂表现：（1）观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度。
（2）评价学生在小组合作中的表现。
2. 练习反馈：（1）分析学生练习题的完成情况。
（2）针对学生错误较多的题目，进行讲解和辅导。
3. 课后总结：（1）让学生总结本节课所学内容。
（2）教师进行点评，指出优点和不足，提出改进措施。
四、教学反思1. 反思教学设计：（1）是否符合学生的认知规律。
（2）是否激发学生的学习兴趣。
（3）是否注重培养学生的动手操作能力。
2. 反思教学过程：（1）是否充分调动学生的积极性。
（2）是否关注学生的个体差异。
（3）是否达到预期的教学目标。
弧弦圆心角教案教案内容：一、教学内容本节课的教学内容来自人教版初中数学九年级上册第17章“圆”，具体是第1节“弧、弦、圆心角”。
本节课主要讲解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
二、教学目标1. 理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们之间的关系。
2. 能够运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
三、教学难点与重点重点：弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。
难点：如何运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、量角器。
学具：每人一份弧、弦、圆心角的模型，一份练习题。
五、教学过程1. 情景引入：教师展示一个圆形，引导学生观察并思考：圆上有哪些特殊的点？特殊的线段？特殊的角？2. 讲解弧、弦、圆心角的定义：教师用粉笔在黑板上画出弧、弦、圆心角的模型，并讲解它们的定义。
3. 实践操作：学生分组讨论，用量角器、圆规等工具测量弧、弦、圆心角的大小，并记录下来。
4. 例题讲解：教师选择一道关于弧、弦、圆心角的例题，引导学生思考解题思路，并讲解解题步骤。
5. 随堂练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。
7. 作业布置：教师布置一道关于弧、弦、圆心角的作业，要求学生独立完成，并提交答案。
六、板书设计板书内容：弧、弦、圆心角的定义弧：圆上任意两点间的部分。
弦：圆上任意两点间的线段。
圆心角：以圆心为顶点的角。
七、作业设计作业题目：1. 请根据下列图形，计算圆心角∠ACB的大小。
答案：圆心角∠ACB的大小为90°。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：1. 本节课学生对弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系有了初步的了解。
2. 学生在实践操作中掌握了测量弧、弦、圆心角的方法。
3. 学生在例题讲解和随堂练习中能够运用弧、弦、圆心角的知识解决问题。
拓展延伸：1. 研究弧、弦、圆心角在圆周角定理中的作用。
2. 探索弧、弦、圆心角在圆的内接四边形中的性质。
24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.教学难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.教学导入一、知识链接1.已知△AOB，作出绕O点旋转45°，60°的图形.2.想一想圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？教学过程二、要点探究探究点1：圆心角的定义问题1 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？概念学习.顶点在圆心的角，叫做圆心角，如∠AOB.判一判判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.如图,圆心角∠AOB所对的弧为«Skip Record If...».圆心角∠AOB所对的弦为AB.想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？探究点2：圆心角、弧、弦之间的关系观察1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？问题1在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？问题2如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？要点归纳：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？辨一辨1.等弦所对的弧相等. ( )2.等弧所对的弦相等. ( )3.圆心角相等，所对的弦相等. ( )探究点3：圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用典例精析例1 如图，AB是⊙O的直径，«Skip Record If...»，∠COD=35°，求∠AOE的度数.例2 (教材P84例3)如图，在⊙O中，«Skip Record If...»，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.例3 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，«Skip Record If...».求证：AB＝CD.变式1 如图，在⊙O 中，AD =BC ，求证：DC =AB ．变式2 如图，在⊙O 中，DC =AB ，求证：AD =BC ．三、课堂小结1.如果两个圆心角相等，那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于.3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．(1) 如果AB=CD，那么，．(2) 如果«Skip Record If...»，那么_________，．(3) 如果∠AOB=∠COD，那么，．(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？4.已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．5.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：«Skip Record If...»．如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么«Skip Record If...»成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？参考答案自主学习一、知识链接1.解：图略；2.解：是，对称中心为圆心.课堂探究二、要点探究探究点1：圆心角的定义问题1：顶点在圆心上判一判①②③不是圆心角，因为三个角的顶点均不在圆心上；④是圆心角，探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系观察：1. 重合，圆是中心对称图形.2.重合，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性问题1 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，弦AB=弦CD.问题2 成立.想一想不能去掉；如图，显然，«Skip Record If...»＞«Skip Record If...»，弦AB＞弦CD.辨一辨：1.× 2.√ 3.×探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用例 1 解：∵«Skip Record If...»，∴∠BOC =∠COD =∠DOE =35°，∴∠AOE =180°-3×35°=75°.例2:证明：«Skip Record If...»,∴ AB =AC ．△ABC 是等腰三角形．又∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，AB =BC =CA .∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .例3：证明：∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AB =CD .变式1：证明：∵AD =BC ，∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴DC =AB .变式2：证明：∵DC =AB ，∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AD =BC .当堂检测1.D2.60°3.（1）«Skip Record If...» ∠AOB =∠COD（2）AB =CD ∠AOB =∠COD(3)«Skip Record If...» AB =CD（4）解：OE =OF .理由如下：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，AE =«Skip Record If...»AB ，CF =«Skip RecordIf...»CD .∵AB =CD ，∴AE =CF .∵OA =OC ，∴Rt △AOE =Rt △COF .∴OE =OF .4.证明：∵AB =CD （已知），∴«Skip Record If...».∴∠AOB =∠COD ，∴∠AOB -∠BOC =∠COD -∠BOC ，即∠AOC =∠BOD ．5.证明：∵OB =OD ，∴∠D =∠B ，∵BD ∥OC ，∴∠D =∠COD ，∠AOC =∠B ，∴∠AOC =∠COD ，∴«Skip Record If...»能力提升答：«Skip Record If...»成立，CD =2AB 不成立.如图：取«Skip Record If...»的中点E ，连接OE .那么∠AOB =∠COE =∠DOE ，所以«Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»，弦AB =CE =DE ，在△CDE 中，CE +DE >CD ，即CD ＜2AB .。
中考数学人教版专题复习：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系一、教学内容弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系1.圆心角、圆周角的概念.2.弧、弦、圆心角之间的关系.3.圆周角定理及推论.二、知识要点1.弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.（2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.︵︵︵︵如图所示，（1）若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，AB＝CD；（2）若AB＝CD，︵︵则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；（3）若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD.190ABOCD2. 圆周角（1 ）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.CC CO1 2 OOA①BA②DBEA③B（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， °的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例 1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：︵ ︵（1）DB ＝AC ；（2）BD ＝AC .2AO BCD︵︵︵︵︵︵分析：（1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＋BC＝AB＋BC，∴BD＝AC.（2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD＝AC.︵︵解：（1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＝AB，︵︵︵︵︵︵∴DC＋BC＝AB＋BC，即BD＝AC.︵︵（2）由（1）得BD＝AC，∴BD＝AC.︵例2.如图所示，C是AB的中点，与∠ADC相等的角的个数是（）A.7个B.3个C.2个D.1个BCA OD分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC＝∠ABC＝∠CAB＝∠CDB，故与∠ADC相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.3︵例3.如图所示，BC为半圆O的直径，G是半圆上异于B、C的点，A是BG的中点，AD⊥BC于点D，BG交AD于点E，请说明AE＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE与BE相等，可转化为说明∠BAD＝∠ABE，︵圆周角∠ABE所对的弧为AG，连结AB、AC即可解决问题.A GECBD O︵︵解：连结AB、AC.∵AB＝AG，∴∠ABE＝∠ACB.又∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAE＝90°.∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠BAE.∴∠BAE＝∠ABG，∴AE＝BE.例4.如图所示，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC、∠ADC、∠EBC的度数，并判断∠A BC和∠ADC、∠EBC和∠ADC的度数关系.EBOα150°A CD分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC所对的圆心4角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，优弧ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC＝150°，1∠AOC＝75°.∴∠ABC＝2∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，1∴∠ADC＝∠α＝105°，2∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°.∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等.评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5.如图所示，AB、CD是⊙O的弦，∠A＝∠C.求证：AB＝CD.D BA CO分析：此题的证明方法很多，由于AB和CD在圆中，且为弦，可证明A B和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB和CD相等.等等.解法一：如图（1）所示，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F.∴AB＝2AE，CD＝2CF，∠AEO＝∠CFO＝90°.514又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF . ∴AB ＝CD .D BAEFCO(1)解法二：如图（2）所示，连结 OB 、OD .∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D .∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D . ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD .D BD BACA2OO(2) (3)解法三：如图（3）所示，连结 AC .∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4.︵ ︵ ∴BC ＝AD .︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵∴BC ＋BD ＝AD ＋BD ，即AB ＝CD ，∴AB ＝CD .3C61例 6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到 AB 的距离 OE 等于2AB ，求∠C的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.AAECEB OBOCm(1)(2)解：如图（1）所示，连结 AO 、BO .1因为 OE ⊥AB ，所以 EB ＝AE ＝2AB .1又 OE ＝2AB ，所以 EB ＝OE ＝AE .所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.1 1 1所以∠C ＝2∠AOB ＝2（∠AOE ＋∠EOB ）＝2×90°＝45°.如图（2）所示，由（1 ）得∠AOB ＝90°，所以优弧 A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为 45°或 135°.评析：图（△1）中， ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（△2）中， ABC 为钝角三角形，圆心 O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】7A.5cm 51.圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性.利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2.在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3.圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握.同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1.一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（）A.150°，210°B.75°，105°C.60°，120°D.120°，240°2.已知AC为⊙O的直径，弦AB＝10cm，∠BAC＝30°，那么⊙O的半径为（）B.2cm103C.3cm203D.3cm3.如图所示，⊙O的弦AB、CD相交于点E，已知∠ECB＝60°，∠AED＝65°，那么，ADE的度数为（）8A.40°B.45°C.55°DD.65°BOEA C︵*4.如图所示，劣弧AE所对的圆心角为40°，则∠B＋∠D等于（）A.320°B.160°C.300°CBOD.260°DA E5.如图所示，AB为⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A.75°B.72°C.70°D.65°CO A DB6.如图所示，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数为（）A.80°B.100°C.120°D.130°O BAC**7.已知⊙O的半径为6cm，⊙O的一条弦AB的长为63cm，则弦AB9所对的圆周角是（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°二、填空题1.如图所示，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB弧长的大小关系是__________.C BA EDO2.如图所示，点A、B、C、E都在圆周上，AE平分∠BAC交BC于点D，则图中相等的圆周角是__________.AODB CE︵︵3.如图所示，AB是⊙O的直径，BC＝B D，∠A＝30°，则∠BOD＝__________.CAO BD4.如图所示，已知⊙O的半径为2，圆周角∠ABC＝30°，则弦AC的长是__________.10BOCA︵5.如图所示，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是__________.CDA O B**6.如图所示，A、B、C、D、E是⊙O上顺次五点，且AB＝BC＝CD，如果∠BAD＝50°，那么∠AED＝__________.DCBOEA三、解答题1.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F.（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？︵︵（2）如果OE＝OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？11A CE FB DO2.如图所示，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD＝CE，BE 与CE的大小有什么关系？为什么？B ECOD A*3.如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC ＝PC.PB的延长线交⊙O于D.求证：AC＝DC.DBOA C P*4.如图所示，已知A、B、C、F、G是⊙O上的五点，AF交BC于点D，AG交BC于点E，且BD＝CE，∠1＝∠2.求证：AB＝AC.A12OBD ECF G12【试题答案】一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么 OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，1 1所以 AB ＝CD . 因为 OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以 AE ＝2AB ，CF ＝2CD ，所以 AE ＝CF .又因为 OA ＝OC ，所以 R △t OAE ≌R △t OCF . 所以 OE ＝OF . （2）如果 OE ＝OF ，︵ ︵那么 AB ＝CD ，AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为 OA ＝OC ，OE ＝OF ，所1以 R △t OAE ≌R △t OCF . 所以 AE ＝CF ，又因为 OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以 AE ＝2AB ，1 ︵ ︵CF ＝2CD . 所以 AB ＝2AE ，CD ＝2CF . 所以 AB ＝CD . 所以AB ＝CD ，∠AOB ＝∠ COD .2. BE ＝CE . 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE .13. 连结 AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝2AP .134. ∵∠1＝∠2，∴⌒＝CG ，∴BF ＝CG ，BG ＝⌒，∴∠FBC ＝∠GCE . 又 BD BF CF ＝ ，∴△CE BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G . ∴AB ＝AC ，∴AB ＝AC .1∴CD ＝AC ＝2AP . ∴AC ＝DC .⌒ ⌒⌒ ⌒14。
