1.2命题及其关系

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，6)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·四川，5)设p ：实数x ，y 满足x>1且y>1，q ：实数x ，y 满足x ＋y>2，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·浙江，6)已知函数f(x)＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015·山东，5)若m ∈R, 命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤05.(2015·天津，4)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.(2015·重庆，2)“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.(2015·福建，12)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ksin xcos x ＜x”是“k ＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.(2015·安徽，3)设p ：x<3，q ：－1<x<3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.(2015·湖南，3)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.(2015·浙江，3)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12.(2014·陕西，8)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假13.(2014·新课标全国Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件14.(2014·北京，5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15.(2014·广东，7)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件16.(2015·四川，15)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝f(x1)－f(x2)x1－x2，n＝g(x1)－g(x2)x1－x2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)若p ：φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，q ：f(x)＝sin(x ＋φ)是偶函数，则p 是q 的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·成都市高三一诊)命题“若x≥a 2＋b 2，则x≥2ab”的逆命题是( )A.若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2abB.若x≥a 2＋b 2，则x ＜2abC.若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2D.若x≥2ab ，则x≥a 2＋b 23.(2016·河南三市一调)若x ，y ∈R ，则x>y 的一个充分不必要条件是( )A.|x|>|y|B.x 2>y 2C.x>yD.x 3>y 34.(2016·江西重点中学盟校一联)b ＝－1是直线y ＝x ＋b 过抛物线y 2＝4x 焦点的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2015·惠州市一调)命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( )A.若x 2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1＜x ＜1，则x 2＜1C.若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1D.若x≥1或x≤－1，则x 2≥16.(2015·邢台市高三摸底)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(2016·江西九校联考)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为________.8.(2015·河源模拟)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b”是“ac ＝bc”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a ＞b”是“a 2＞b 2”的充分条件；④“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件.其中真命题的序号是________.9.(2016·烟台诊断)已知命题p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.答案 A2.解析 当11x y >>，时，+2x y >一定成立，即p q ⇒；当+2x y >时，可以=-1=4x y ，，即q p ⇒， 故p 是q 的充分不必要条件.答案 A3.解析 由题意知f(x)＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f(x)min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx≥－b 24， 则f(f(x))＝f(t)＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f(f(x))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”； 当b ＝0时，f(f(x))＝x 4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.答案 A4.解析 原命题为“若p ，则q”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”．答案 D5.解析 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案 A6.解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜31＜x ＜2，故选A.答案 A7.解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 答案 A8.解析 ∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ksin xcos x ＜x ⇔∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k ＜2x sin 2x， 令f(x)＝2x －sin 2x.∴f′(x)＝2－2cos 2x ＞0，∴f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0. ∴2x ＞sin 2x ，∴2x sin 2x＞1，∴k≤1，故选B. 答案 B9.解析 ∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C. 答案 C10.解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cosα＝±sinαsinα＝cosα，故选A.答案 A11.解析 由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C.答案 C12.解析 当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故充分性不成立；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，而a ＋b ＜0.故必要性不成立．故选D.答案 D13.解析 设f(x)＝x 3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x ＝0处不存在极值， 故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C.答案 C14.解析 可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2， 即条件“a ＞b”不能推出结论“a 2＞b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ， 即结论“a 2＞b 2”不能推出条件“a ＞b”．故选D.答案 D15.解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，故a≤b ⇔sin A≤sin B ，选A. 答案 A16.解析 设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))，C(x 1，g(x 1))，D(x 2，g(x 2))，对于①：从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②：直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确；对于③：由m ＝n 得f(x 1)－f(x 2)＝g(x 1)－g(x 2)，即f(x 1)－g(x 1)＝f(x 2)－g(x 2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x －x 2－ax ，则h′(x)＝2x ·ln 2－2x －a ，由h′(x)＝0，∴2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f(x 1)－g(x 1)＝f(x 2)－g(x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ；对于④：由m ＝－n ，得f(x 1)－f(x 2)＝g(x 2)－g(x 1)，即f(x 1)＋g(x 1)＝f(x 2)＋g(x 2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x ＋x 2＋ax ，则F′(x)＝2x ln 2＋2x ＋a ，由F′(x)＝0，得2x ln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x 1，x 2使F(x 1)＝F(x 2)，得m ＝－n.故①④正确．答案 ①④B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 当φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)时，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2kπ＋π2＝cos x ， 当f(x)＝sin(x ＋φ)是偶函数时，φ＝kπ＋π2(k ∈Z). 所以p 是q 的充分不必要条件.答案 B2.解析 原命题条件和结论对换得到逆命题，可知选D.答案 D3.解析 由|x|>|y|，x 2>y 2未必能推出x>y ，排除A ，B ；由x>y 可推出x>y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x>y 的充要条件，故选C.答案 C4.解析 抛物线的焦点坐标为(1，0)，y ＝x ＋b 过点(1，0)⇔b ＝－1，所以是充要条件，故选C.答案 C5.解析 根据原命题和逆否命题条件和结论的关系，可知命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题为“若x≥1或x≤－1，则x 2≥1”.答案 D6.解析 由两直线平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3×1，a×1≠3×1，即a ＝－1，当a ＝－1时，两直线分别为 x －3y －3＝0和x －3y ＋1＝0，可知两直线平行.答案 C7.解析 不等式x 2＋x －6<0的解集为A ＝(－3，2)，函数y ＝lg(x －a)的定义域为B ＝(a ，＋∞).由“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，得实数a 的取值范围为(－∞，－3].答案 (－∞，－3]8.解析 ①中“a ＝b”可得ac ＝bc ，但c ＝0时ac ＝bc ⇒a ＝b ，所以不是充要条件； ②正确；③中a ＞b 时a 2＞b 2不一定成立，所以③错误；④中“a ＜5”得不到“a ＜3”，但“a ＜3”可得出“a ＜5”，“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，正确. 答案 ②④9.解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件.对于命题p ，依题意知Δ＝(－2a)2－4·4(2a ＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0，∴－2≤a≤10，令p ：P ＝{a|－2≤a≤10}，q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m ，m>0}，由题意知P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m>10，解得m≥9.因此实数m 的取值范围是{m|m≥9}.。

专题1.2 四种命题和充要条件一、自主检测1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．答案 若tan α≠1，则α≠π42．命题：“若x ＞1，y ＞1，则xy ＞1”的否命题为 ． 答案 若x ≤1或y ≤1，则 xy ≤13．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．答案 必要不充分4．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a >－6，则a >－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此四个命题中有2个假命题．答案 25．(2017·扬州中学检测)已知函数f (x )的定义域为R ，则命题p ：“函数f (x )为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f (x 0)＝f (－x 0)”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．答案 充分不必要二、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q且q pp q且q⇒pp q且q p4即条件的充分性)题成立(即条件的必要性)．三、例题精讲题型一四种命题的关系及其真假判断【例1】（1）命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的________（填写“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”）．（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为________．解析(1)“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果原命题是“若p则q”，那么这个命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则，非q”可见否命题既否定条件，又否定结论，而命题的否定只否定结论．(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．答案(1)否命题；(2)假，假，真规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．变式训练已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________(填序号)．①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案④考点二充分条件与必要条件的判定【例2】（1）函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).（2）(2017·衡阳一模改编)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析(1)由极值的定义，q⇒p，但p q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．因此p是q的必要不充分条件．(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．答案(1)必要不充分(2)充分不必要规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．变式训练已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案充分不必要题型三充分条件、必要条件的应用【例3】(经典题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P 是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．变式训练1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.2．本例条件不变，若綈P 是﹁S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵﹁P 是﹁S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞)．规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验．3．【经典题】已知p ：|x -a |<4，q ：(x -2)(3-x )>0，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析 由题知p ：a -4<x <a +4，q ：2<x <3，因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件等价于q 是p 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧-≥+≤4243a a ，解得61≤≤-a 答案 [-1,6]四、自主归纳（你学到了什么？还想继续研究什么？）1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}；若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[易错防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.五、巩固训练1．设m ∈R , 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是______________． 答案 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β”是“α∥β ”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 答案 必要不充分解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴“m ∥β”是“α∥β ”的必要不充分条件．3．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．4．“若α≠π4，则tan α≠1”的_________．条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．答案 必要不充分解析 显然正面出发不好判断；考虑原命题与其逆否命题同真假.命题“若α≠π4，则tan α≠1”的逆否命题为“若tan α＝1，则tan α＝π4”又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0.所以“tan α＝1”是“tan α＝π4”的必要不条件．5．若命题“存在R x ，ax 2＋4x +a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是_________． 答案 （2，+∞）6．给出以下结论：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”． 则其中错误的是________(填序号)．答案 ③解析 ③中命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题．①②④均正确．7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．答案 充分不必要解析 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <31<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．8．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.9．(2017·南京模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．答案 必要不充分解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立．10．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．答案 (0,3)解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 11．设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 答案 充分不必要解析 若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，所以q p . 因此p 是q 的充分不必要条件．12．(2017·苏北四市联考)已知m ∈R ，则“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．答案 必要不充分解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1.由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．13．已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<R x x x ，8221，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<R x x x ，8221＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A ⊆B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.14．(2016·泰州模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)．①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误．对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确．对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误．对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32，∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．答案 ②15．设A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--021x x x ，B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<---022a x a x x ，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析 A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}，因为q 是p 的必要条件，所以p ∈q ，A ∈B ，从而有a ≤1且a 2＋1≤2，解得a ≤－1或a ＝1，所以a 的取值范围是{1}∈{a |a ≥－1}．16．已知a ＞0，设p ：不等式x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∈，q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解析：“x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∈”等价于“x 2＋2ax ＋a ≥0的解集为R ”，所以当p 成立，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1.又a ＞0，∈0＜a ≤1“不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ”等价于：方法1 函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为1∈x ＋|x －2a |＝⎩⎨⎧<≥-ax a a x a x 2,22,22 ∈函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ，于是由2a ＞1，得a ＞21. 方法2 |x －2a |＞1－x 恒成立，即y ＝|x －2a |的图象恒在y ＝1－x 图象的上方，如图所示，得2a ＞1，所以a ＞12. 如果p 正确q 不正确，则0＜a ≤12；如果p 不正确q 正确，则a ＞1. ∈a 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0∈(1，＋∞)． 17.【2010江苏高考.15题】在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,－2)、B (2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值.【解】（1） 方法1由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为、方法2 设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则：E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=；（2）由题设知：OC ＝(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。

2014年高考一轮温习热点难点精讲精析：命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断一、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判毕命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必需保留大前提，大前提不动。

二、例题解析〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再按照四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可按照原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若a≤b，则a-1≤b-1(3)1〖例2〗以下列命题为原命题，别离写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处置．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并别离判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定一、相关链接（1）利用概念判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(没必要要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(没必要要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱp q ⇒⇔q p ⌝⇒⌝，即无q 必然无p ，可见q 对于p 来讲必不可少。

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( )(4)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．( )(5)(2014·上海改编)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的充分条件．( )(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．( )1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．43．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2014·安徽)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型一 四种命题及真假判断例1 (1)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④(2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数题型二 充要条件的判断例2 (1)(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件(1)(2014·湖北)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型三 根据充要条件求解参数的取值范围例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1(2)已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值范围为( )A ．m <4B ．m >4C ．0<m <4D ．0≤m <4(1)条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．[4，＋∞) (2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题2．“如果x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是( )A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 全不为0B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x 、y ∈R 且x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠03．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”6．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．08．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝19．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件． 11．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．。

2021年高考数学总复习 第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教案 理 北师大版考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．知识梳理1．命题能够__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中__________的命题叫作真命题，__________的命题叫作假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________． 基础自测1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．a ＜0，b ＜0的一个必要条件是( )． A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞C ．a b ＞1D ．a b＜－14．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )．A．l1∥平面α，l2∥平面αB．直线l1⊥直线l3，直线l2⊥直线l3C．l1平行于l2所在的平面D．l1⊥平面α，l2⊥平面α5．命题“如果x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为__________．思维拓展1．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？提示：逆命题为真即q⇒p，逆否命题为假，即pq，故p是q的必要不充分条件．2．“命题的否定”与“否命题”一样吗？提示：不一样．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则q”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若p，则q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．3．如何理解充分条件与必要条件的传递性与对称性？提示：传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件；对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．一、四种命题及其关系【例1】命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是__________．方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．请做[针对训练]1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】已知各个命题A，B，C，D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的__________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．【例2－2】是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？方法提炼判断充分条件、必要条件的方法1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必要不充分条件；(3)若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．3．等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．请做[针对训练]2三、充分条件与必要条件的证明及应用【例3－1】“x＞0”是“3x2＞0”成立的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【例3－2】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．【例3－3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }成等比数列的充要条件是p ≠0，p ≠1且q ＝－1.方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节：一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．3．解决例3－2之类问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．请做[针对训练]3考情分析从近两年的高考试题看，充要条件的判定、命题真假的判断等是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属中低档题目．本节知识常和函数、不等式、向量、三角函数及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系判定的掌握程度．预测xx 年高考仍将以充要条件的判定、判断命题的真假为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力．针对训练1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )． A ．x ＜0 B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥33．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)·(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则a 的取值范围为( )．A ．－1＜a ＜6B ．－1≤a ≤6C ．a ＜－1或a ＞6D ．a ≤－1或a ≥64．(xx 江西六校联考)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(xx 陕西高考，理12)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．判断真假 正确 错误2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 p ⇔q 基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由数的性质知：a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＜0，所以选A.4．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破【例1】 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数解析：原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．【例2－1】 必要不充分 解析：∵A ⇒B ⇒C ⇔D ， 而DDA ，∴D 是A 的必要不充分条件． 【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．【例3－1】 A 解析：∵x ＞0⇒3x 2＞0，而3x 2＞0Dx ＞0，∴x ＞0是3x 2＞0成立的充分不必要条件．【例3－2】 解：(1)由x 2－8x －20≤0， 得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9. ∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 【例3－3】 解：先证充分性：当p ≠0，p ≠1，且q ＝－1时，S n ＝p n－1. ∴S 1＝p －1，即a 1＝p －1， 又n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴a n ＝(p －1)p n －1(n ≥2)． 又n ＝1时也满足，∴a n ＝(p －1)·p n －1(n ∈N ＋)， ∴{a n }是等比数列．再证必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)·p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使{a n }(n ∈N ＋)是等比数列，则a 2a 1＝p ，即(p －1)p ＝p (p ＋q )，∴q ＝－1，即{a n }是等比数列的充要条件是p ≠0且p ≠1且q ＝－1.演练巩固提升 针对训练1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－12或x ≥3，∴对于A ，当x ＝－13时，2x 2－5x －3＜0.同理，B 选项也可用特殊值验证，而D 选项是它的充要条件，故选C.3．B 解析：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B. 4．A 解析：设[x ]＝[y ]＝n ，n ∈Z ，则x ，y ∈[n ，n ＋1)，x －y ∈(－1,1)，即|x －y |＜1，所以[x ]＝[y ]⇒|x －y |＜1，反之，若x ＝2.1，y ＝1.9，满足|x －y |＜1，但是[x ]＝2，[y ]＝1，所以[x ]≠[y ]．故|x －y |＜1 [x ]＝[y ]．因此，选A.5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0.∴n ≤4，原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数．又∵n ∈N ＋，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数.。

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答案包括选修2-1 2-2 2-3 4-4极坐标与参数方程4-5 不等式- 7 左整合人教版数学选修2—1第一章常用逻辑用语1．1．命题及其关系1．1．1命题1．1．2 四种命题1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B 5．① 6．逆7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。

以上均为真命题9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b＜0，真命题．证明略11．甲1．1．3 四种命题间的相互关系1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个 5．原命题和逆否命题6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题10．真┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0， =>－3/2＜a＜－l└4a2+8a＜0 所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/21．2 充分条件与必要条件1．2．1 充分条件与必要条件1．A 2．B 3．A 4．(1) ≠> (2) ≠> (3) ≠> (4)≠> 5．充分不必要6．必要不充分 7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件 8．充分条件，理由略9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜010．m≥9 11．是1．2．2 充要条件1．C 2．B 3．D 4．假；真 5．C和D 6．λ+μ=1 7．略 8．a=－39．a≤l 10．略 11．q=－1，证明略1．3 简单的逻辑联结词1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．A 2．C 3．C 4．真 5．①③ 6．必要不充分7．(1)p:2＜3或q:2=3；真 (2)p:1是质数或q:1是合数；假 (3)非p,p:0∈φ；真(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词1．4．1 全称量词1．4．2 存在量词1．D 2．C 3．(1)真 (2)真 4，③5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真7．(1)x，x^2≤0 (2)对x，若6｜x则3｜x (3)正方形都是平行四边形8．(1)全称；假 (2)特称；假 (3)全称；真 (4)全称；假9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假10．(1)存在，只需m＞一4即可 (2)(4，+∞) 11．a≥一21．4．3 含有一个量词的命题的否定1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形 5．假6．所有的三角形内角和都不大于180°7．(1)全称；┑p假 (2)全称；┑p假 (3)全称；┑p真8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假⑵┑p: 所有的质数都是偶数；假 (3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假9．(1)假 (2)真 (3)假 (4)真 10．a≥3 11．(一√2，2)单元练习1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D11．5既是17的约数，又是15的约数：假 12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 14．充要；充要；必要 15．b≥016．既不充分也不必要 17．①③④ 18．a≥319．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假20．充分不必要条件21．令f(x) = x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤－＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．└ f (1)＞0，22．(－3，2]10．a√3/3第一章导数及其应用第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入。

命题及其关系知识点：1. 命题：1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：真命题 假命题 1.3 关系： 原命题逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题。

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若 p ，则 q ” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）规律：1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分必要条件： 2.1 概念：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝若p 是真命题，则p ⌝必是假命题若p 是假命题，则p ⌝必是真命题2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝． 全称命题的否定是特称命题．练习：1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)02. 设m ∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m ≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m ≤03. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4. 设x ∈R,则“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ． 存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ·n<0”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a ·b=|a|·|b|”是“a ∥b ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b ”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x ≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.6. 答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.7. 答案A∵a·b=|a|·|b|·cos<a,b>,∴a·b=|a|·|b|时,有cos<a,b>=1,即<a,b>=0,∴a∥b.而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.8. 答案D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

人教版数学选修2—1作业本答案与提示第一章常用逻辑用语1．1．命题及其关系1．1．1命题1．1．2 四种命题1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B5．①6．逆7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。

以上均为真命题9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b ＜0，真命题．证明略11．甲1．1．3 四种命题间的相互关系1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个5．原命题和逆否命题6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题10．真┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0，=>－3/2＜a＜－l└4a2+8a＜0所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/21．2 充分条件与必要条件1．2．1 充分条件与必要条件1．A 2．B 3．A 4．(1) ≠> (2) ≠> (3) ≠> (4)≠>5．充分不必要6．必要不充分7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件8．充分条件，理由略9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜0 10．m≥911．是1．2．2 充要条件1．C 2．B 3．D 4．假；真5．C和D 6．λ+μ=17．略8．a=－39．a≤l10．略11．q=－1，证明略1．3 简单的逻辑联结词1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．A 2．C 3．C 4．真5．①③6．必要不充分7．(1)p:2＜3或q:2=3；真(2)p:1是质数或q:1是合数；假(3)非p,p:0∈φ；真(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词1．4．1 全称量词1．4．2 存在量词1．D 2．C 3．(1)真(2)真4，③5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真7．(1)x，x^2≤0(2)对x，若6｜x则3｜x (3)正方形都是平行四边形8．(1)全称；假(2)特称；假(3)全称；真(4)全称；假9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假10．(1)存在，只需m＞一4即可(2)(4，+∞)11．a≥一21．4．3 含有一个量词的命题的否定1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形5．假6．所有的三角形内角和都不大于180°7．(1)全称；┑p假(2)全称；┑p假(3)全称；┑p真8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假⑵┑p: 所有的质数都是偶数；假(3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假9．(1)假(2)真(3)假(4)真10．a≥311．(一√2，2)单元练习1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D11．5既是17的约数，又是15的约数：假12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角14．充要；充要；必要15．b≥0 16．既不充分也不必要17．①③④18．a≥319．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假20．充分不必要条件21．令f(x) = x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤－＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．└ f (1)＞0，22．(－3，2]10．a√3/3。

第 2 讲命题及其关系、充足条件与必需条件一、选择题1．若a∈ R，则“a＝1”是“ |a|＝1”的()A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件 D ．既不充足又不用要条件分析若 a＝ 1，则有 |a|＝ 1 是真命题，即 a＝ 1? |a|＝1，由 |a|＝1 可得 a＝±1，所以若 |a|＝ 1，则有 a＝ 1 是假命题，即 |a|＝1? a＝ 1 不建立，所以 a＝1 是 |a|＝1 的充足而不用要条件．答案 A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的抗命题是()A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”分析原命题的抗命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案B13．已知会合 A ＝{x ∈ R|2<2x<8} ，B＝ {x ∈R|－ 1<x<m＋1} ，若 x ∈B 建立的一个充足不用要的条件是x∈A ，则实数 m 的取值范围是 ()A ．m≥ 2B． m≤2C．m>2D．－ 2<m<21分析 A ＝ {x ∈R|2<2x<8} ＝ {x| －1<x<3}∵ x∈ B 建立的一个充足不用要条件是x ∈A∴∴m＋1>3，即 m>2.答案 C4．命题：“若 x2<1，则－ 1<x<1”的逆否命题是 ()A ．若 x2≥1，则 x≥1或 x≤－1B．若－ 1<x<1 ，则 x2<1C．若 x>1 或 x<－ 1，则 x2>1D．若 x≥1或 x≤－1，则 x2≥1分析 x2<1 的否认为： x2≥1；－1<x<1 的否认为 x≥1或 x≤－1，故原命题的逆否命题为：若 x≥1或 x≤－1，则 x2≥1. 答案 D5．命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是 ()．A ．若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数B．若 f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D．若 f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数分析否命题既否认题设又否认结论，应选 B.答案B6．方程 ax2＋2x＋ 1＝ 0 起码有一个负实根的充要条件是()．A ．0<a≤ 1B．a<1C．a≤1D．0<a≤ 1 或 a<0分析法一(直接法 )当 a＝0 时， x＝－12切合题意．当 a≠ 0 时，若方程两根一正一负(没有零根 )，＝4－4a>0，a<1，则1?? a<0；a<0a<0＝4－4a≥ 0，2?a≤1，若方程两根均负，则－a<0，? 0<a≤ 1.1a>0a>0综上所述，所求充要条件是a≤1.法二(清除法 )当 a＝0 时，原方程有一个负实根，能够清除 A ，D；当 a＝1时，原方程有两个相等的负实根，能够清除B，所以选 C.答案C二、填空题7．已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题2πp1： |a＋b|＞1? θ∈ 0，32πp2： |a＋b|＞1? θ∈3 ，ππp3： |a－b|＞1? θ∈ 0，3πp4： |a－b|＞1? θ∈3，π此中真命题的个数是 ____________．分析由 |a＋ b|＞1 可得 a2＋2a·b＋b2＞ 1，由于 |a|＝1，|b|＝1，所以 a·b＞－1，2 2π2π1故θ∈ 0，3 .当θ∈ 0，3时， a·b＞－2， |a＋b|2＝ a2＋2a·b＋b2＞ 1，即 |a ＋b|＞ 1，故 p1 正确．由 |a－b|＞1 可得 a2－2a·b＋ b2＞1，由于 |a|＝1，|b|＝1，所以 a·b＜1，故θ∈π正确．，π，反之也建立， p423答案 28．若“ x2>1是”“ x<a的”必需不充足条件，则 a 的最大值为 ________．分析由 x2>1，得 x<－1 或 x>1，又“x2>1是”“x<a的”必需不充足条件，知由“ x<a可”以推出“ x2>1，”反之不建立，所以a≤－1，即 a 的最大值为－ 1.答案－119．已知会合 A ＝ x 2<2x<8，x∈R，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈ R}，若x∈B成立的一个充足不用要的条件是x∈ A，则实数 m 的取值范围是 ________．1x分析A＝ x 2<2 <8，x∈R＝{ x|－1<x<3}，∵x∈B 建立的一个充足不用要条件是 x∈A，∴A B，∴m ＋1>3，即 m>2.答案(2，＋∞ )1210．“ m< 4”是“一元二次方程x＋x ＋m ＝0 有实数解”的 ________条件．21 分析x ＋x ＋m ＝0 有实数解等价于 ＝1－4m ≥0，即 m ≤ 4.答案充足不用要三、解答题11．写出命题 “已知 a ， b ∈ R ，若对于 x 的不等式 x2＋ ax ＋b ≤0有非空解集，则a2≥ 4b 的”抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 (1)抗命题：已知 a ， b ∈ R ，若 a2≥4b ，则对于 x 的不等式 x2 ＋ax ＋ b ≤0 有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知 a ，b ∈R ，若对于 x 的不等式 x2＋ ax ＋b ≤0没有非空解集，则 a2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知 a ，b ∈R ，若 a2<4b ，则对于 x 的不等式 x2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程 ax2＋2x ＋1＝0 的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解 方程 ax2＋2x ＋ 1＝ 0 有且仅有一负根．1当 a ＝ 0 时， x ＝－ 2合适条件．当 a ≠0时，方程 ax2＋2x ＋ 1＝ 0 有实根，则 ＝4－4a ≥0，∴ a ≤1，当 a ＝ 1 时，方程有一负根 x ＝－ 1.1当 a<1 时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝ a <0，∴ a<0.综上，方程 ax2＋2x ＋1＝0 有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或13．分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若 ab ＝0，则 a ＝0 或 b ＝0；(2)若 x2＋y2＝ 0，则 x ， y 全为零．a ＝ 1.解 (1)抗命题：若 a ＝0 或 b ＝ 0，则ab ＝0，真命题．否命题：若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0，真命题．逆否命题：若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0，真命题．(2)抗命题：若 x， y 全为零，则 x2＋y2＝ 0，真命题．否命题：若 x2＋ y2≠0，则 x， y 不全为零，真命题．逆否命题：若 x，y 不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．14．已知 p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若 p 是 q 的充足不用要条件，务实数 a 的取值范围．解 p： x2－ 8x－20≤0? －2≤x≤10，q：x2 －2x＋ 1－a2≤0? 1－a≤ x≤1＋a.∵p? q，q? / p，∴{ x|－2≤x≤10} { x|1－ a≤ x≤1＋a} ．1－ a≤－ 2，故有1＋ a≥ 10，且两个等号不一样时建立，解得a≥ 9.a>0，所以，所务实数 a 的取值范围是 [9 ，＋∞ )．15．已知会合 M ＝{x|x< －3，或 x>5} ，P＝{x|(x － a) ·(x－ 8) ≤ 0}．(1)求 M∩P＝ {x|5<x ≤ 8}的充要条件；(2)务实数 a 的一个值，使它成为 M∩P＝{x|5<x ≤ 8}的一个充足但不用要条件．解 (1)由 M∩P＝{x|5<x ≤8}，得－ 3≤a≤5，所以 M∩P＝ {x|5<x ≤8}的充要条件是－ 3≤a≤5；(2)务实数 a 的一个值，使它成为 M∩P＝{x|5<x ≤ 8}的一个充足但不用要条件，就是在会合 {a|－ 3≤a≤5}中取一个值，如取 a＝0，此时必有 M∩P＝{x|5<x ≤8}；反之， M∩P＝{x|5<x ≤8}未必有 a＝0，故 a＝ 0 是 M∩P＝{x|5<x ≤8}的一个充足不用要条件．。

第一章§2：命题及其关系、充分条件与必要条件(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是A．3 B．2 C．1 D．02．已知P＝{x|xx－2<0，x∈R}，Q＝{x|x>x2，x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件3．设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l24．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；③在△ABC中“若A＝B，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题；④“若向量a∥b，则a＋b＝0”的逆命题．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．35．有限集合S中元素的个数记作card(s)，若A，B都是有限集合，给出下列命题：①A∩B＝∅的充要条件是card(A＋B)＝card(A)＋card(B)②A⊆B的充要条件是card(A)≤card(B)③A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．“α＝π6”是“cos2α＝12”的________条件． 7．命题“若c ＞0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴有两个交点”的否命题是__________．8．设p ：log a x ＜0，q ：(12)1-x ＞1，则p 是q 的充分不必要条件时，a 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Φ；命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．10．（本小题满分16分）求证：△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(a ，b ，c 是△ABC 的三条边)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：当f(x)是幂函数时，f(x)＝x α，而x ＞0时，f(x)＝x α＞0，∴原命题为真命题．同时逆否命题为真．原命题的逆命题是：若函数y ＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y ＝f(x)是幂函数．当y ＝f(x)＝x ＋1时，f(x)图象不过第四象限，但f(x)不是幂函数，因此逆命题为假，则否命题也为假．答案：C2．解析：由已知P ＝{x|0<x<2}，Q ＝{x|0<x<1}，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要不充分条件． 答案：C3．解析：∵m ∥l 1且n ∥l 2时l 1∥α，l 2∥α.又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时，不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，故B 项正确．答案：B4．解析：对于①，当x ，y 互为相反数时，x ＋y ＝0显然成立，即逆命题为真命题，∴否命题为真命题．对于②，若x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2，∴逆命题为假，∴否命题为假． 对于③，原命题显然为真，∴逆否命题为真．对于④，当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，从而a ∥b ，∴逆命题为真．故真命题有3个． 答案：D5．解析：①显然正确，对②是A ⊆B 时一定有card(A)≤card(B)，但当card(A)≤card(B)时A ⊆B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2,3}，对③当card(A)＝card(B)时A ＝B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2}．因此只有①正确．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：当α＝π6时，cos2α＝cos π3＝12；当α＝－π6时，cos2α＝cos(－π3)＝12. 即当cos2α＝12时，α除π6外还可以取其他的值．故α＝π6是cos2α＝12的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．解析：把条件、结论都否定就可得到否命题．答案：若c ≤0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴最多有一个交点8．解析：由已知q ：x ＜1.当a ＞1时，p ：0＜x ＜1，符合条件．当0＜a ＜1时，p ：x ＞1，不符合条件．答案：(1，＋∞)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a>13，或a<－1， 乙命题为真时，2a 2－a>1，即a>1，或a<－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<－12，或a>13； ∴甲、乙至少有一个是真命题时a 的取值范围是{a|a<－12，或a>13}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1； 当甲假乙真时，－1≤a<－12. ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值集合为{a|13<a ≤1，或－1≤a<－12}． 10. （本小题满分16分）证明：(必要性)∵△ABC 是等边三角形，且a ，b ，c 是其三边，∴a ＝b ＝c ，∴a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(充分性)由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，得12(a －b)2＋12(b －c)2＋12(a －c)2＝0，(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∵a ，b ，c 是△ABC 的三边，∴△ABC 是等边三角形．∴△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.。

第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件A 基础巩固训练1.【2017浙江台州一模】若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当 ，而，反过来也成立，所以是充要条件，故选C.2.【2017河北唐山二模】“2560x x +->”是“2x >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B3.【2017湖南衡阳二联】已知集合{}1A x x =-， {|1}B x x =≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ）A. 11x -<≤B. 1x ≤C. 1x >-D. 11x -<< 【答案】D【解析】由已知条件：若满足x A ∈，则1x >-，若x B ∉，则1x <-，所以满足题意的即： 11x -<< 4. 已知x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】()()()()21,111,11,,11,1x x x x <∴+-<∴-<<∴-∞⊇- , 1x ∴< 时， 21x <的必要不充分条件，故选B.5.【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】 充要条件B 能力提升训练1.设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.2．【2017届辽宁锦州一模】设命题p ：实数,x y 满足： ()()22112x y -+-≤，命题：实数,x y 满足：1{11y x y x y ≥-≥-≤，则p 是的（ ）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】命题p 表示一个实心圆, 命题表示一个三角形及其内部,如图,所以p 是的必要不充分条件3．【2017届山东日照三模】命题:sin21p x =，命题:tan 1q x p q =，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由sin21,x =得π2+2π,2x k k Z =∈，即π+π,4x k k Z =∈，由tan 1,x =得π+π,4x k k Z =∈，∴p 是的充要条件．故选：C ．4．【2017湖南娄底二模】“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A5．设命题()43120:0,,0312x y p k x x y k R k x y +-⎧⎪-∈>⎨⎪+⎩且≥≥≤;命题()()22:327,q x y x y R -+∈≤，若p 是q 的充分不必要条件.则k 的取值范围是 . 【答案】(0,6]【解析】命题p 表示的范围是图中ABC ∆内部（含边界），命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心，半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，说明ABC ∆在圆内，实际上只须,,A B C 三点都在圆内（或圆上）即可.CBA k1234OyxC 思维拓展训练1．设角A,B,C 是ABC ∆的三个内角,则 “C B A <+”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若 C B A <+,则.2π>C 若ABC ∆是钝角三角形,则C 不一定为钝角,C B A <+不一定成立,故选A.2．【2017浙江台州期末】已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C3．设,a b 是两个非零向量，则“0a b ⋅>"是“,a b 夹角为锐角”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,a b 为非零向量,所以0,0a b >>,则当,a b π<>=时,满足0a b a b =>,但是,a b 向量的夹角为π,不是锐角,所以"0"a b >⇒",a b 的夹角为锐角”,当,a b 向量的夹角为锐角时,即cos ,0a b <>>,又因为0,0a b >>,所以cos ,0a b a b a b =<>>,即",a b 的夹角为锐角”"0"a b ⇒>,则“a b >0"是“,a b 夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B 4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题：①已知m ，表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件；②不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题．正确的命题序号是 ． 【答案】①。

第一章《常用逻辑用语》教材分析与教学建议（一）本章的重点和难点（1）本章内容的重点是命题及其关系，充分条件、必要条件、充要条件的意义，逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，全称量词与存在量词。

（2）本章的主要难点是理解必要条件的意义，能正确的对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定。

（二）内容安排及说明1．本章有四节内容，共8课时，具体分配如下（供参考）：1．1命题及其关系约2课时1．2充分条件与必要条件约2课时1．3简单的逻辑联接词约2课时1．4全称量词与存在量词约2课时2．本章知识框图（三）通过大量数学实例的介绍，加强对基本概念意义的理解在大量的数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识，是本章内容的突出特色。

本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。

1．给学生提供充分的思考、探究的空间这样的编写意图贯穿本章内容始终，本章突出了对数学实例进行“思考、探究、发现、总结规律、得出结论、实际运用”的特点。

2．强调数学知识间的前后联系本章知识内容的学习注重了几个方面的联系：（1）新内容的学习建立在大量的学生已经学过或熟悉的数学实例的基础上，也即联系已学过的数学实例学习新内容；（2）联系物理中的串联、并联电路及其开通情况，更加形象地理解和学习逻辑联结词“且”“或”的含义及判断由它们联结的命题的真假，体会新知识内容的含义；（3）联系并类比集合“交”“并”“补”运算，进一步体会逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，以及由它们联结得到一个新命题的过程。

通过前后知识内容的关联，使学生更好的理解新知识，体会新知与旧知间的联系及新知识的运用。

3．注重数学符号语言的运用大量的借助符号语言表述数学内容，也是本章的特色之一。

符号语言作为数学的基本语言，具有表述的简洁、准确的特点。

本章借助大量的符号语言，使我们进一步体会了运用常用逻辑用语表达和交流的简洁与准确。

1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( )(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( )(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．()1．(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x≤y，则x2≤y2”C．“若x>y，则x2>y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．2 C．3 D．43．(2015·重庆)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的()12A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(教材改编)下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．题型一命题及其关系例1(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，假，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． A ．①③ B ．② C ．②③D ．①②③题型二 充分必要条件的判定例2 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围． 引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0<a≤1 B．a<1C．a≤1 D．0<a≤1或a<0(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．1．等价转化思想在充要条件中的应用典例(1)已知p：(a－1)2≤1，q：∀x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]温馨提醒(1)本题用到的等价转化①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．[失误与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．(2015·天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．04．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”5．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设U 为全集．A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >19．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件． 12．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)13．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．(2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件15．(2015·浙江)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )，( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．17．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件． 18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件． 正确的是________．。

专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题回放1.【2017年全国一卷理数（3）】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2.【2017年卷理数第6题】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 3.【2017年某某卷理数第4题】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A4.【2017年某某数学第6题】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 +S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性 考点分析考点 了解A 掌握B 灵活运用C命题的概念 A 四种命题的相互关系 B 全称命题与特称命题 B 充分条件与必要条件C高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值X 围． 融会贯通题型一 四种命题的关系及真假判断【典例1】【2017届某某某某市高三理一诊】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >， 则a c b c +≤+ 【答案】A 【解析】试题分析：“若p 则”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.考点：四种命题【例2】有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题，其中真命题的序号是________.【答案】②③解题方法与技巧：(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(4) 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【变式训练】【2017届某某抚州市七校高三理上学期联考】,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C考点：原命题与它的逆否命题之间的关系． 知识： 一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p ⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。