命题及其关系、充分条件和必要条件-知识点和题型归纳

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考点整合：1．命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系：(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件：(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．问题思考？1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，其真命题的个数能否为1或3? 提示：由于原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4，不可能为1或3.2．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．基础练习：1．(2014·安徽高考)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．34．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3答案：1.B 2.C 3.D 4.B 5.A考点一 四种命题的关系[例1] (1)命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( )A ．若x ＞1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ≤1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜0(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案： (1)C (2)C互动探究：试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数．是假命题．否命题：若x ，y 不都是偶数，则x ＋y 不是偶数．是假命题．变式训练1．命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b ＞2 012且a ＞－b ”的逆否命题是 ( )A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a ＜bB ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a ＞bC ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ＜bD ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ≤b2．(2014·湖州模拟)下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题 答案 1.C 2.A考点二 命题的真假判断[例2] (1)下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2 (2)(2014·陕西高考)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假答案： (1)A (2)A变式训练.给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R )不可能是偶函数；②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列；③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数； ④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)． 答案：③ 考点三 充要条件[例3] (1)(2014·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是“A ∩B ＝∅”的( )A．充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件(2)(2014·北京高考)设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．答案：(1)C(2)D(3)①④变式训练1．(2014·宁波模拟)如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知p：1x－1<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是() A．(－2，－1]B．[－2，－1] C．[－3,1] D．[－2，＋∞) 3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案：1.A 2.A 3.3或4课堂归纳——通法领悟1个区别——“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．2条规律——四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．3种方法——判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法．。

《第2节命题及其关系、充分条件与必要条件》高考考点汇总一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2，k ∈Z，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2，k ∈Z， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m ·n <0成立；当θ＝π时，m ·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1， 则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， 所以{ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：选B 当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③ D．①②③解析：选A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8. 故实数m 的取值范围为[3,8)． 答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。

命题及其关系、充分条件与必要条件◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[知识感悟]1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B 的充要条件．[知识自测]1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题[解析] 对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .[答案] A2．(2017·天津)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以是充分不必要条件，选A.[答案] A3．在下列三个结论中，正确的是 ________ .(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，△＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析] 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． [答案] ①②题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．[答案]C(2)(2018·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.[答案]A思维升华1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对补偿】1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]C2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案]D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件； (3)与命题的真假性相交汇命题． 考向一 与不等式有关的题型1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＜⎝⎛⎭⎫x 2＋12x －32min ， 令f (x )＝x 2＋12x －32，则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－12”是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.[答案] B考向二 与三角有关的题型2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案] A考向三 与向量有关的题型3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－12或2.∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B. [答案] B考向四 与数列有关的题型4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥32，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.[答案] A考向五 与几何问题有关的题型5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A. [答案] A考向六 与函数有关的题型6．(2018·合肥一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ＜0[解析] 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.[答案] D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断与平面向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理与三角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、a n与S n的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断【针对补偿】3．(2018·东北三省四市联考)“x＜2”是“x2－3x＋2＜0”成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由x2－3x＋2＜0，解得1<x<2，因为{x|1<x<2}{x|x<2}，所以“x<2”是“x2－3x ＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.[答案]A4．(2018·广西名校联考)在△ABC中，命题p：“B≠60°”，命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]命题p：“B≠60°”则(A＋C)－2B＝π－B－2B≠0，⇔命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，故选C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，最小值为－b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24，t ≥－b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.[答案] A题型三 充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析] ∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.[答案] B(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ________ .[解析] 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.故答案为⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【针对补偿】6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ＜－1，3－m ＞4，解得m ≤－4或m ≥4，选C.[答案] C7．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是______．[解析] 由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1， 若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.[答案] ⎣⎡⎦⎤－12，43 ◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二)[A 基础巩固练]1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定[解析] 命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．[答案] B2．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若x >|y |，则x >y 或x >－y ，若x >y ，当y >0时，x >|y |，当y <0时，不能确定x >|y |.故选C.[答案] C3．(2018·河北保定二模)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1[解析] 由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m <0，即m >14.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m >0，故选C.[答案] C4．(2018·北京市朝阳区二模)“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy ≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy≥2”的充分而不必要条件．故选：A.[答案] A5．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac”，则a，b，c不成等比数列[解析]根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模) 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p⇒q，但q⇒p不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p是q的充分不必要条件．故选A.[答案]A7．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：______.[解析]原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．[答案]“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”8．(2018·湖南常德一中月考)若“x2－2x－3＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a 的最小值为________.[解析]由x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.因为“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－1或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.[答案]39．有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．其中真命题的序号为________.[解析]命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a＞b，则a 2＞b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x ＞－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．[答案] ①10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. [B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 由函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数可得：f (－x )＝f (x )⇒g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，充分条件成立，当函数g (x )是奇函数时，有g (－x )＝－g (x )，又g (x )＝11－2x －12f (x )，可得函数f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，即必要条件也成立，所以p 是q 的充要条件．[答案] C2．(2018·长春市质监二)已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由p 成立，则a ≤1，由q 成立，则a >1，所以綈p 成立时a >1是q 的充要条件．故选C.[答案] C3．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确的是________.[解析]由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由|AB|2＋|AC|2＝|BC|2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．[答案]①④4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，此时x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要5．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．[解]A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a } 则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }， 则a ≤2或a ≥43，即a ＜0.当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)． [C 尖子生专练](2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件[解析] 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.[答案] B。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件复习目标学法指导1.命题的概念.2.命题的否定,命题的逆命题、否命题、逆否命题.3.四种命题间的相互关系.(1)四种命题间的相互关系.(2)利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判断命题的真假.会列举四种命题的相互转化. 4.充分条件与必要条件:必要条件、充分条件的含义.5.充要条件:充要条件的含义. 会证明具体问题中的必要性和充分性. 1.明确命题的结构与类型是解决命题问题的前提.本节涉及三种类型:若p则q型、量词型. 2.命题真假的判定与应用是重点,关键在于掌握不同类型的判定法则.3.善于利用逆否命题的等价性化难为易地解决问题.4.理解充分条件、必要条件的定义,明确充分性、必要性的相对性.5.掌握充分性、必要性的判定方法,能灵活选择、准确应用.6.能利用充分性、必要性解决参数求值问题.一、命题1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的逆否关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有确定的关系.1.概念理解(1)判断一个语句是否为命题,首先确定是否为陈述句,否则一定不是命题.(2)改写命题为“若p则q”形式时,应使p,q构成完整的叙述部分,同时注意大前提的存在.(3)四种命题之间的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题、否命题、逆否命题”.2.与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提,其他三种命题需保留大前提;(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题:前者既否定条件,又否定结论,后者只否定命题的结论;(3)常见词语的否定形式有:词语是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假3.与命题真假相关联的结论(1)给出一个命题,要判定它是真命题,需经过严格的推理证明或转化为等价命题后再判定,而要说明它是假命题,只需举一反例即可;(2)命题与命题的否定真假相反;(3)互为逆否关系的命题真假相同,所以四种命题的真假个数一定为偶数.二、充要条件1.相关概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q﹁pp是q的必要不充分条件p q且q⇒p p是q的充要条件p⇔q p是q的既不充分也不必要条件p q且q p 2.集合与充要条件p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分不必要条件(p⇒q且q p ) A是B的真子集(A B) p是q的必要不充分条件(p q,q⇒p) B是A的真子集(B A) p是q的充要条件(p⇔q) A=B p是q的既不充分也不必要条件A,B互不包含1.概念理解(1)要弄清先后顺序:“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B,且B不能推出A;而“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A 不能推出B.(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.2.与充要条件的判定相关的结论判断充分必要条件的常用方法(1)定义法.(2)集合法.(3)等价转化法:利用p⇒q与﹁q⇒﹁p,q⇒p与﹁p⇒﹁q,p⇔q与﹁q ⇔﹁p的等价关系.对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价转化法.1.下列命题中为真命题的是( A )(A)命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题(B)命题“若x>1,则x 2>1”的否命题 (C)命题“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题 (D)命题“若x 2>0,则x>1”的逆否命题解析:对于A,其逆命题:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|=(0),(0),y y y y ≥⎧⎨-<⎩必有x>y;对于B,其否命题:若x ≤1,则x 2≤1,是假命题,如x=-5,x 2=25>1;对于C,其否命题:若x ≠1,则x 2+x-2≠0,因为x=-2时,x 2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x 2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.故选A.2.(2019·金华十校高考模拟)已知a,b ∈R,下列四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( B ) (A)a>b-1 (B)a>b+1 (C)|a|>|b| (D)2a >2b解析:a>b+1⇒a>b,反之a>b 不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b 的充分不必要条件. 故选B.3.(2019·北京卷)设函数f(x)=cos x+bsin x(b 为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( C ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为f(x)=cos x+bsin x 为偶函数, 所以对任意的x ∈R 都有f(-x)=f(x),即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x, 所以2bsin x=0. 由x 的任意性,得b=0.故f(x)为偶函数⇒b=0.必要性成立.反过来,若b=0,则f(x)=cos x 是偶函数.充分性成立. 所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件. 故选C.4.若“m ≤a ”是“方程x 2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .解析:因为一元二次方程x 2+x+m=0有实数根的充要条件是Δ=1-4m ≥0,即m ≤14,而“m ≤a ”是“方程x 2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,所以a>14. 答案:(14,+∞)考点一 四种命题及其真假判断 [例1] (1)原命题为“若12nn aa ++<a n ,n ∈N +,则{a n }为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性依次如下,正确的是( ) (A)真、真、真 (B)假、假、真 (C)真、真、假 (D)假、假、假(2)以下说法正确的有 (填写所有正确命题的序号). ①“若log 2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题为真命题.解析:(1)原命题即“若a n+1<a n,n∈N+,则{a n} 为递减数列”为真命题,则其逆否命题为真,逆命题是“若{a n}为递减数列,n∈N+ ,则a n+1<a n”为真命题,所以它的否命题也为真命题. 故选A.(2)对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=log a x在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,否命题为“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”,是假命题.答案:(1)A (2)②(1)在判定四个命题之间的关系时,首先要分清命题的“大前提、条件、结论”,再进行比较.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质,当一个命题的真假不易判定时,可转化为判断其等价命题的真假.考点二充分必要条件的判断[例2] 如果x,y∈R,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:设p:x≠y,q:cos x≠cos y,所以﹁p:x=y,﹁q:cos x=cos y,显然﹁q是﹁p的必要不充分条件,所以p是q的必要不充分条件,故选B.(1)在求解这类问题时应注意以下三点:一要分清条件与结论分别是什么;二要从充分性、必要性两个方面进行判断;三直接判断比较困难时,可举出反例说明.(2)等价转化法:当命题的条件与结论带有否定性词语时,常转化为其逆否命题来判断真假.(2019·浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为a>0,b>0,若a+b≤4,所以ab a+b≤4.所以ab≤4,此时充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,这与a+b ≤4矛盾,因此必要性不成立.综上所述,当a>0,b>0时,“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件. 故选A.考点三 充分条件、必要条件的探求与应用[例3] (1)(2018·台州中学模拟)设a,b ∈R,则使a>b 成立的一个充分不必要条件是( )(A)a 3>b 3 (B)1a <1b(C)a 2>b 2 (D)a>b+|b|(2)已知命题p:x 2+2x-3>0,命题q:1x a x a --->0,且﹁q 的一个必要不充分条件是﹁p,则a 的取值范围是( ) (A)[-3,0] (B)(-∞,-3]∪[0,+∞) (C)(-3,0) (D)(-∞,-3)∪(0,+∞)解析:(1)选项A 是充要条件,在选项B 和C 中,当a 取负数,b 取正数时,显然不能推出a>b,选项D,由|b|≥0,b+|b|≥b,又因为a>b+|b|,所以a>b 成立,由a>b 不能得到a>b+|b|.故选D. (2)x 2+2x-3>0的解集为x>1或x<-3, 故﹁p:-3≤x ≤1;1x ax a --->0的解集为x>a+1或x<a,故﹁q:a ≤x ≤a+1;﹁q 的一个必要不充分条件是﹁p, 所以[a,a+1][-3,1],故11,3a a +≤⎧⎨≥-⎩且等号不能同时取到,解得a ∈[-3,0],故选A.解决由充分必要条件求参数范围问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解,要注意区间端点值的检验.直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( C )(A)-3<m<1 (B)-4<m<2 (C)0<m<1 (D)m<1解析:若直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点,12m 2即|m+1|<2,解得-3<m<1,这是直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点的充要条件,因此直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件可以是0<m<1, 故选C.考点四 易错辨析[例4] 条件p:-2<x<4,条件q:(x+2)(x+a)<0;若q 是p 的充分条件,则a 的取值范围是 .解析:设集合A={x|-2<x<4},B={x|(x+2)(x+a)<0}, 因为q 是p 的充分条件, 所以B ⊆A.①当a=2时,B={x|(x+2)2<0}=∅,显然B ⊆A.②当a ≠2时,因为B ⊆A,所以B={x|-2<x<-a},所以4,2,a a -≤⎧⎨->-⎩得4,2,a a ≥-⎧⎨<⎩即-4≤a<2. 综上可知,a ∈[-4,2].答案:[-4,2](1)误将“充分条件”理解为“充分不必要条件”,造成漏解端点值,得到错误答案;(2)易忽略∅的情形,得到错误答案;(3)列举不等关系时忽略非空集合B 存在的前提-a>-2,导致错解.1.(2019·浙江“五校联考”高考模拟)已知x+y>0,则“x>0”是“2|x|+x 2>2|y|+y 2”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:取特殊值,“x=2,y=3”推出2|x|+x 2<2|y|+y 2,所以充分性不成立.构造函数f(x)=2|x|+x 2,为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,若f(x)>f(y),则|x|>|y|,又x+y>0,所以x>0,必要性得证.故选B.2.已知p:51x +≥1,q:x 2-2x+1-m 2<0(m>0),若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .解析:由51x+≥1移项通分得41xx-+≥0,解得-1<x≤4;由x2-2x+1-m2<0得[x-(1-m)][x-(1+m)]<0,因为m>0,所以解得1-m<x<1+m;因为p是q的必要不充分条件,则11,14,0,mmm-≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得0<m≤2.答案:(0,2]。

命题：两直线平行，同位角相等.1．四种命题之间的关系2．四种命题的真假关系（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆命题“若0ab=，则0a=”是假命题．（2）原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0a≠，则0ab≠”是假命题．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆否命题“若0ab≠，则0a≠”是真命题．（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．3．否命题及命题的否定否命题是对原命题既否定其条件，又否定其结论；即“若p⌝，则q⌝”命题的否定是只否定命题中的结论. 即“若p，则q⌝”4．常见的一些词语和它的否定词语对照表原词语等于（=）大于（>）小于（<）是都是至多有一个否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是至少有两个原词语至多有n个至少有一个任意的能p或q否定词语至少1n+个一个也没有某个不能p⌝且q⌝[例1]若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q与r的关系是____________.（互为逆命题，互为否命题，知识模块2四种命题的关系精典例题透析解析：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)原命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0. 逆命题：若x 2－2x －3＝0，则x ＝3； 否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0； 逆否命题：如果x 2－2x －3≠0，那么x ≠3.[巩固]下列四个命题：①“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题；④若“m >2，则x 2－2x ＋m >0，x ∈R”．其中真命题的个数为________.1个题型三：命题的否定与否命题[例]写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．（1）若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数； （2）若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0； （3）若一个数是质数，则这个数是奇数．解析：(1)命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题． 原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，是假命题． (2)命题的否定：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0，为假命题． 原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题． (3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题． 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题． [巩固]命题“若a ＝－1，则a 2＝1”的逆否命题是__________________．答案：若a 2≠1，则a ≠－1题型四：充要条件的判断[例] （1）(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的_____________条件.（2）如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的____________条件.解析 (1)将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，(2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[巩固]（1）(2014·湖北)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的___________条件.（2）(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件.解析(1)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．(2)当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．题型五：根据充要条件求解参数的取值范围[例]函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x>0，－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是________________.a<0解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.观察选项，{a|a<0}[巩固]（1）条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是() (－∞，－4)（2）设p：|x－1|＜1，q：x(x－a)＜0，若p是q的充分不必要条件，试求实数a的取值范围．(2，＋∞)1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A2．“如果x、y∈R，且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是_________________.答案若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为03．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”夯实基础训练解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0， 即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的___________条件.解析 当a ＝2时，因为B ＝{1,2，b }，所以A ⊆B ；反之，若A ⊆B ，则必有2∈B ，所以a ＝2或b ＝2，故“a ＝2”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．选A.5．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是________________.解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．6．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的_____________条件.解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ，所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”； 当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是__________.解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”， 显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是__________.m ＝－2 =9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．11．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．13．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的___________条件. 解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．14．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的_________________条件. 解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1. 又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．15．给定两个命题p 、q ，若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的__________条件. 答案 充分不必要条件解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．16．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围 为______________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 将两个命题化简得，命题p ：x >m ＋3或x <m ，命题q ：－4<x <1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4，或m ≥1，故m 的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (2，＋∞)能力提升训练解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件． 正确的是________． 答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确． 由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零， 反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0， 所以③不正确，④正确．。

命题及其关系、充分条件与必要条件_知识点与题型归纳(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题原词语等于（=）大于（>）小于（<）是否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是原词语都是至多有一个至多有n个或否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且原词语至少有一个任意两个所有的任意的否定词语一个也没有某两个某些某个知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念（1）充分条件：qp 则p是q的充分条件即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。

（2）必要条件： q p ⇒ 则q 是p 的必要条件q p ⇒⇔q p ⌝⇒⌝即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)（3）充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当p ”等(补充)2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义：若q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；（2）必要但不充分条件定义：若 p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的必要但不充分条件（3）充要条件定义：若 q p ⇒，且 p q ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；（4）既不充分也不必要条件定义：若q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法：①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）． 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若B A =，则p 是q 的充要条件（4）若B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件 （2）大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例1.(1) 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数例1.(2)下列命题中正确的是( )①“若a ≠0，则ab ≠0”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④例1.(3)(2014·陕西卷)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．例2．(1)(补充)（2011山东文5)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3， 则222a b c ++≥3”的否命题．．．是（ ） (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3(D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3例2．(2)(补充)命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否定．．是：________注意：命题的否定与否命题的区别（二）充要条件的判断与证明例1.(1)(补充) （07湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

1.4充分条件与必要条件（基础知识+基本题型）知识点一 充分条件与必要条件 1． 命题“若p ，则q ”经过推理证明，当断定是真命题时，就说由p 可以推出q ，记作p q ⇒，读作“p 推出q ”；当断定是假命题时，就说p 由推不出q ，记作p q ⇒，读作“p 推不出q ”．2． 充分条件与必要条件的定义拓展（1）p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立”，但是没有p 成立，q 也可能成立．（2）q 是p 的必要条件是指“要使p 成立，必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”，但即使有q 成立，p 也未必会成立．（3）从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件p ：(){}A x p x =成立q ：(){}B x q x =成立若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A B =，则p ，q 互为充分条件和必要条件若A B ⊄，且B A ⊄，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件时，要注意A B ⊆与AB 对结果的影响是不一样的． 若，则为真命题 是充分条件是必要条件知识点二 充要条件1．充要条件的定义一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．2．互为充要条件的定义若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同，因为这两个命题的条件与结论不同． 3．充要条件的等价说法“p 是q 的充要条件”又常说成“q 当且仅当p ”或“p 与q 等价”提示（1）判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下：条件p 与结论的关系 结论p q ⇒，但q p ⇒ p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ⇒p 是q 的必要不充分条件 p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件 p q ⇒，且q p ⇒ p 是q 的既不充分也不必要条件（2）灵活利用集合关系判断充分条件与必要条件，可使问题变得易于理解．知识点三 充要条件的探求与证明证明p 是q 的充要条件，分两步：（1）充分性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ；（2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p ．综上可得，p 是q 的充要条件． 提示（1）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，那么也可以直接求出充要条件．（2）充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①若p 是q 的充要条件，则由p q ⇒证的是充分性，由q p ⇒证的是必要性．②若p 的充要条件是q ，则由p q ⇒证的是必要性，由q p ⇒证的是充分性．考点一 充分条件与必要条件的判断例1．下列各题中，p 是q 的什么条件？（在“充分条件不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）（1）p ：A B A =，q ：U U B A ⊆；（2）对于实数x ，y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠；解：（1）A B A =U U A B A B ⇒⊆⇔⊇．①所以p 是q 的充要条件．（2）8x y +≠⇒2x ≠或6y ≠，但是，2x ≠或6y ≠ 8x y +≠．②所以p 是q 的充分不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法 （1）定义法：（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． （3）逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若p q ⌝⇒⌝，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；若p q ⌝⇒⌝，且q ⌝ p ⌝，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⌝⇔⌝，则p 与q 互为充要条件；若p ⌝ q ⌝，且q ⌝ p ⌝，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）集合法：写出集合{|()}A x p x =，及{|()}B x q x =，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． 考点二 充分、必要条件的传递性例2．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：（1）s 是q 的什么条件？ （2）r 是q 的什么条件？ （3）p 是q 的什么条件？分析：按p ，q ，r ，s 的关系画出用“⇒”与“⇐”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系．解：p ，q ，r ，s 的关系如图1．2-2所示．（1）由关系图，知q s ⇒，且s r q ⇒⇒，所以s 是q 的充要条件．（2）因为r q ⇒，q s r ⇒⇒，所以r 是q 的充要条件．（3）由关系图，知q r p ⇔⇒，但p q ，所以p 是q 的必要不充分条件．总结：（1）充分条件、充要条件具有传递性：若A B ⇒，B C ⇒；若A B ⇔，B C ⇔，则A C ⇔．（2）对于较复杂的关系，常用“⇒，⇐， ”等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．考点三 充要条件的证明例3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．证明：必要性：因为1a b +=，即1b a =-，所以 33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a ++--=+-+----323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．所以必要性成立．充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即2222()()()0a b a ab b a ab b +-+--+=，所以22(1)()0a b a ab b +--+=．又因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，从而220a ab b -+≠． 所以10a b +-=，即1a b +=．所以充分性成立．故原命题成立．考点四 充要条件的探求 例4．已知关于x 的方程22(21)0x k x k +-+=，求使方程有两个大于的实数根的充要条件．分析：一元二次方程有两个实数根等价于判别式0∆≥，从相应的二次函数的图象上看，两根均大于等价于对称轴在的右侧，并且(1)0f >．解：令22()(21)f x x k x k =+-+，由()f x 的图象（如图1．2-3），知方程原方程有两个大于的实数根等价于22(21)402112(1)0k k k f ⎧∆=--≥⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩， 即241021020k k k k -≤⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得2k <-．因为以上过程每一步都是等价的，所以2k <-是使方程22(21)0x k x k +-+=有两个大于的实数根的充要条件．考点五 充分条件、必要条件及充要条件的综合考例5．已知p ：关于x 的不等式|23|x m -<，q ：(3)0x x -<．若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．分析：可借助集合间的关系进行判断，设不等式|23|x m -<，(3)0x x -<的解集分别为A ，B ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ．解析：由题意，知{|03}B x x =<<．当0m ≤时，A =∅，符号题意； 当0m >时，33{}22m m A x -+=<<． 因为当302m +=，即3m =时，332m +=，A B =，所以要使A B ，应有 3023320m m m -⎧>⎪⎪+⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得03m <<．综上知，实数m的取值范围是(,3)。

命题及其关系、充要条件知识点一：命题（一）命题的定义：做命题。

其中判断为真的语句叫命题，判断为假的语句叫命题。

要点诠释：（1）任何语句都是命题，不能确定真假的语句命题（填是或者不是）。

举例：。

（2）只有能够判断真假的陈述句才命题。

祈使句，疑问句，感叹句都命题（填是或者不是）。

举例：。

（3）语句能否确定是判断其是否是命题的关键。

一个命题要么是，要么是，不能既真又假，模棱两可。

命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的性。

（二）命题的表达形式：命题可以改写成的形式，其中p是命题的条件，q是命题的结论。

知识点二：四种命题（一）四种命题的形式原命题：若p，则q；逆命题：；实质是将原命题的条件和结论；否命题：；实质是将原命题的条件和结论；逆否命题：；实质是将原命题的条件和结论；要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。

（二）四种命题之间的关系（三）四种命题之间的真假关系表⌝⌝否命题若p则q（1）互为逆否命题的两个命题 ；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假 。

知识点三：充要条件（一）符号p q ⇒与p q ⇒/的含义 “若p ，则q ”为 命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为 命题，记作：p q ⇒/。

（填真或者假）（二）充分条件、必要条件与充要条件（1）若p q ⇒，称p 是q 的 ，q 是p 的 。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作 ，称p 是q 的 。

（三）充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系 （1）若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件； （2）若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件； （3）若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为 条件； （4）若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的 条件。

命题及其关系、充分条件与必要条件02命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p?q且q p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且q?p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p?q，则p是q的充要条件；(5)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．要点整合1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A?B与非B?非A；B?A与非A?非B；A?B与非B?非A的等价关系，特别对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．3．利用集合间的包含关系判断设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A?B，则p是q的充分条件或q 是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．题型一. 四种命题的关系及真假性判断例1. (1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是() A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0(2)命题p：“矩形的对角线相等”的逆命题为q，则p与q的真假性是()A．p真q假B．p真q真C．p假q真D．p假q假解析：(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.(2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p真，q假．[答案](1)D(2)A(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题为假命题时举反例即可．变式1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数B ．若一个数的平方是正数，则它是负数C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：选B.根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案，故选B.变式2．若m <0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根的逆否命题及其真假性为( )A ．若方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根，则m <0，真命题B ．若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m ≥0，真命题C ．若方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根，则m ≥0，假命题D ．若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m <0，假命题解析：选B.按逆否命题的定义，即得原命题的逆否命题为“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m ≥0”，且1－4m <0，即m >14，而14，＋∞?[0，＋∞)，所以逆否命题为真．故选B.题型二. 充分条件、必要条件的判断例2. (1)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析： (1)若a ·b ＝|a ||b |，则a 与b 的方向相同，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ·b ＝|a ||b |，或a ·b ＝－|a ||b |，所以“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，故选A.(2)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案] (1)A (2)①④充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ?q 及q ?p 的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A ?B ，则p 是q 的充分条件；②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；③若B ?A ，则p 是q 的必要条件；④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；⑥若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．变式1．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＞5B ．a ≥5C ．a ＜5D ．a ≤5解析：选D.由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}?{x |x ＞a }．∴a ≤5，故选D.变式2．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切的充要条件是( )A ．D 2＝4F ，E ≠0B ．D 2＝4E ，F ≠0C ．D 2＝4F D ．D 2＝4E解析：选A.当圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切时，因为圆心为－D 2，－E 2. 半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，则－E 2＝12D 2＋E 2－4F ，即D 2＝4F . 且r ＝12|E |>0，即E ≠0.当D 2＝4F 时，x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋D 24＝0，即x ＋D 22＋y ＋E 22＝E 22，由D 2＋E 2－4F ＝E 2＞0知，圆是以点－D 2，－E 2为圆心，E 2为半径的圆，圆心到x 轴的距离为E 2，此时圆与x 轴相切．所以圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切的充要条件是D 2＝4F ，E ≠0.故选A.题型三. 充分条件、必要条件的应用例3.设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ( )A.0，12B.0，12 C ．(－∞，0)∪12，＋∞ D ．(－∞，0)∪12，＋∞ 解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a＋1，∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，有a ≤12，a ＋1>1，或a <12，a ＋1≥1，得0≤a ≤12.故选A.[答案] A利用充分条件、必要条件求参数范围的思路若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}．当p 是q 的充分条件时，A ?B ，再转化为含参数的不等式，求参数范围．当p 是q 的必要条件时，B ?A ，再转化为含参数的不等式，求参数范围．当p 是q 的充要条件时，A ＝B ，列出含参数的等式，求参数的值．变式1．已知命题p ：|1－x －13|≤2，q ：(x －1＋m )·(x －1－m )≤0(m >0)，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，9]B ．[3，＋∞)C ．[9，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选C.由|1－x －13|≤2?－2≤x －13－1≤2?－2≤x ≤10，由(x －1＋m )(x －1－m )≤0，得x ∈[1－m ，1＋m ]，又q 是p 的必要不充分条件，即p ?q ，q p ，所以1－m ≤－21＋m ≥10，(等号不同时成立) 得m ≥9，即实数m 的取值范围为[9，＋∞)．故选C.变式2．已知函数f (x )＝2sin ? ????2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈π4，π2，q ：m －3<="" ＋3.若p="">解析：∵p ：x ∈π4，π2?2x －π3∈π6，2π3，∴f (x )∈[1，2]，又∵p 是q 的充分条件，∴m －3<1，m ＋3>2，解得－1<="">答案：(－1，4)【真题演练】1.【重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】12log (2)0211x x x +?>-，因此选B .2.【湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“A B A = ”是“AB ?”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =?? ，反之，A B A B A =?? ，故为充要条件，选C.3.【2014·湖北卷】U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ?C ，B ??U C ”是“A ∩B ＝?”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若存在集合C 使得A ?C ，B ??U C ，则可以推出A ∩B ＝?；若A ∩B ＝?，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ?C ，B ??U C ，故“存在集合C 使得A ?C ，B ??U C ”是“A ∩B ＝?”的充要条件．故选C.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【天津卷】设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .。

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲解读1．理解命题的概念.2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 知识点精讲 一、命题可以荆断真假的语句叫做命题.注：判断一个语句是否为命题包含以下两个要素：①必须是陈述句；②必须能判断真假. 二、四种命题1．四种命题的表述只有“若p ，则q ”形式的命题才有以下四种命题： 原命题：若p ，则q ； 逆命题：若q ，则p ； 否命题：若p ⌝，则q ⌝； 逆否命题：若q ⌝，则p ⌝.2．四种命题的关系（1）原命题为真(假)，其逆命题不一定为真(假)； （2）原命题为真(假)，其否命题不一定为真《假)； （3）原命题为真(假)，其逆否命题一定为真(假)；（4）若命题的逆命题为真(假)时，其否命题一定为真（假）（两者互为逆否命题）.如图1-6所示，根据互为逆否命题的两个命题的真值相同，可知四种命题中实质不同的命题只有原命题和逆命题两类.另外两类只是它们的不同表示形式.三、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)； （4）若p q ¿且q p ¿，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立).注：根据互为逆否命题等价.若有p q ⇒，则一定有q p ⌝⇒⌝. 3．从集合与集合之间的关系上看 设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B 躡，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ¿；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； （3）若A B =，则p 与q 互为充要条件.题型归纳及思路提示题型4 四种命题及真假关系 思路提示互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真同假，即一个命题与其逆否命题同真同假；一个命题的逆命题和否命题同真同假.当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断.例 1.12 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，有命题：若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-. （1）写出命题的否命题，判断真假，并证明你的结论；（2）写出命题的逆否命题，判断真假，并证明你的结论.分析：“已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈”为大前提，写否命题时，要保证大前提不变.理清命题的结构，分清命题的条件与结论，写出否命题和逆否命题，然后判断真假，并证明.解析：（1）否命题：已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，若0a b +<，则()()()()f a f b f a f b +<-+-.该否命题为真命题，证明如下：因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，若0a b +<，则,a b b a <-<- 所以()(),()()f a f b f b f a <-<-所以()()()()f a f b f a f b +<-+-，故否命题为真命题.（2）逆否命题：已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，若()()()(f a f b f a f b +<-+-，则0a b +<.该逆否命题为真命题，证明如下：由()()()()f a f b f a f b +<-+-，得()()()()0f a f a f b f b --+--<.令()()()g x f x f x =--，x R ∈，函数()g x 在R 上为单调递增的奇函数.由()()0g a g b +<得()()()g a g b g b <-=-，所以a b <-，即0a b +<.评注：当命题有大前提，写该命题的逆命题、否命题和逆否命题时，应保持大前担不变. 变式1 命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥ 变式2 命题“若,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是( )A.若a b +不是偶数，则,a b 都不是奇数B.若a b +不是偶数，则,a b 不都是奇数C.若a b +是偶数，则,a b 都是奇数D.若a b +是偶数，则,a b 不都是奇数 题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 思路提示条件与结论的呈现有两种方式：（1）题中出现“A 是B 的……条件”时，则A 是条件，B 是结论.（2）若出现“A 成立的……条件是B ”，则B 是条件，A 是结论.若由条件可以推出结论，就是充分性成立；若从结论可以推出条件，就是必要性成立.例1.13 “0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：本题利用函数的图像确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断. 解析：当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.变式1 设x R ∈，则1x =是3x x =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 变式2 若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 变式3 已知0a >，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是（ ）A ．220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- B ．220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≤- C ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- D ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-题型6 充分条件、必要条件中的含参数问题思路提示求解充要条件中的含参问题，往往要先求出必要条件所需满足的参数范围，再证明其充分性. 例1.14设非空集合{}{}|2,|23,A x x a B yy x x A=-≤≤==+∈，{}2|,C z z x x A ==∈，求使C B ⊆的充要条件.分析：利用集合与命题之间的关系求解.解析：由2x a -≤≤得12323x a -≤+≤+，即{}|123B y y a =-≤≤+当20a -≤<时，{}2|4C z a z =≤≤；当02a ≤≤时，{}|04C z z =≤≤当2a >时，{}2|0C z z a =≤≤所以，当22a -≤≤时，123422C B a a ⊆⇒+≥⇒≤≤，反之亦真 当2a >时，22323C B a a a ⊆⇒≤+⇒<≤，反之亦真所以132C B a ⊆⇔≤≤，即使C B ⊆的充要条件是132a ≤≤. 变式1 是否存在实数p ，使40x p +<是220x x -->的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围.变式2 已知21:|1|2,:210(0)3x p q x x m m 2--≤-+-≤>，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.最有效训练题2（限时45分钟）1．以下命题中：①函数()ln 2f x x x =+-的图像与x 轴有2个交点；②向量,a b不共线，则关于x 的方程20ax bx += 有唯一实根；③函数y =y 轴对称.真命题是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．②③2．设,a b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b =”的逆否命题是（ ） A ．若a b ≠- ，则||||a b ≠ B ．若a b =- ，则||||a b ≠C ．若||||a b ≠ ，则a b ≠-D ．若||||a b =，则a b =-3．以下四个命题中，真命题的个数是（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“1x ≠，则2320x x -+≠”；②若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，都有210x x ++≥；④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知集合{}1|28,|112x A x R B x R x m ⎧⎫=∈<<=∈-<<+⎨⎬⎩⎭，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．(2,2)-6．已知a b <，函数()sin ,()cos f x x g x x ==.命题:()()0p f a f b <，命题:()q g x 在(,)a b 内有最值，则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．给定下列命题:①若0k >，则方程220x x k +-=有实数根； ②“若a b >，则a c b c +>+”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若0xy =，则,x y 中至少有一个为0"的否命题. 其中真命题的序号是 .8．已知对数函数21()log a f x x +=，命题21:()log a p f x x +=是增函数.则p ⌝为真时，a 的取值范围是 .9．已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是 . 10．已知集合{}1|0,|||1x A x B x x b a x -⎧⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是 .11．设命题2:(43)1p x -≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.12．已知全集U R =，非空集合2|0(31)x A x x a ⎧⎫-=<⎨⎬-+⎩⎭，22|0x a B x x a ⎧⎫--=<⎨⎬-⎩⎭.（1）当12a =时，求()U B A ⋂ð； （2）集合:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.参考答案例1.12 变式1解析“若，则”的逆否命题形式是“若，则”，由此可知“若，则”的逆否命题为“若，则”。