2017年高考数学专题一集合与常用逻辑用语第1练集合的关系与运算练习

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语专项训练题单选题1、设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4答案：B分析：由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 求解二次不等式x 2−4≤0可得：A ={x|−2≤x ≤2}，求解一次不等式2x +a ≤0可得：B ={x|x ≤−a 2}. 由于A ∩B ={x|−2≤x ≤1}，故：−a 2=1，解得：a =−2. 故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2] 答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C3、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（ ）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x2＝2时，只能得到x为±√2，由此可判断；对于③，方程x2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.5、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.6、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A7、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.8、已知集合满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，则集合A可以是（）A．{3}B．{1,3}C．{2,3}D．{1,2}答案：D分析：由题可得集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.∵{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，∴集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.故选：D.多选题9、下列存在量词命题中真命题是（）A．∃x∈R,x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D．∃x0∈Z,1<5x0<3答案：ABC分析：结合例子，逐项判断即可得解.对于A，∃x=0∈R，使得x≤0，故A为真命题.对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；对于C，若x=π，则x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，故C为真命题.对于D，∵1<5x0<3,∴15<x0<35，∴∃x0∈Z,1<5x0<3为假命题.故选：ABC.10、对任意实数a、b、c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案：CD分析：利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误.对于A，因为“a=b”时ac=bc成立，ac=bc且c=0时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a=−1，b=−2，a>b时，a2<b2；a=−2，b=1，a2>b2时，a<b.所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；对于D“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.故选：CD.小提示：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于基础题.11、非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则xy∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A.下列选项正确的是（）A．−1∉A B．20202021∉AC．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x−y∉A答案：AC分析：若−1∈A，利用条件可得当x=−1∈A，y=0∈A时，不满足xy∈A，可判断A，利用条件可得若x≠0且x∈A，进而得2020∈A，2021∈A，可判断B，利用题设可得若x，y∈A，则xy∈A，x−y=1∈A可判断CD.对于A，若−1∈A，则−1−1=1∈A，此时−1+1=0∈A，而当x=−1∈A，y=0∈A时，−1显然无意义，不满足xy∈A，所以−1∉A，故A正确；对于B，若x≠0且x∈A，则1=xx∈A，所以2=1+1∈A，3=2+1∈A，以此类推，得对任意的n∈N∗，有n∈A，所以2020∈A，2021∈A，所以20202021∈A，故B错误；对于C，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，又1∈A，所以1y ∈A，所以xy=x1y=∈A，故C正确；对于D，取x=2，y=1，则x−y=1∈A，故D错误.故选：AC.填空题12、设集合A={1,2,a}，B={2,3}.若B⊆A，则a=_______.答案：3分析：由题意可知集合B是集合A的子集，进而求出答案.由B⊆A知集合B是集合A的子集，所以3∈A⇒a=3，所以答案是：3.13、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k= 0，1，2，3，4；给出下列四个结论:①2015∈[0]；②−3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a−b∈[0]”.其中，正确结论的个数．．是_______.答案：3分析：根据2015被5除的余数为0，可判断①；将−3=−5+2，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令a=5n1+m1，b=5n2+m2，根据“类”的定理可证明④的真假.①由2015÷5=403，所以2015∈[0]，故①正确；②由−3=5×(−1)+2，所以−3∉[3]，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，故③正确；④假设a=5n1+m1，b=5n2+m2，a−b=5(n1−n2)+m1−m2，a，b要是同类.则m1=m2，即m1−m2=0，所以a−b∈[0]，反之若a−b∈[0]，即m1−m2=0，所以m1=m2，则a，b是同类，④正确；所以答案是：3小提示：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.14、设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是________答案：②④解析：①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2(k1+k2)∈A,x−y=2(k1−k2)∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y=3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；所以答案是：②④小提示：关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P”，灵活运用举例法.解答题15、已知集合A={x|x=m+√6n,其中m,n∈Q}．(1)试分别判断x1=−√6，x2=√2−√3+√2+√3与集合A的关系；(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．答案：(1)x1∈A，x2∈A(2)x1x2∈A，理由见解析分析：（1）将x1，x2化简，并判断是否可以化为m+√6n，m,n∈Q的形式即可判断关系.（2）由题设，令x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，进而判断是否有x1x2=m+√6n，m,n∈Q的形式即可判断.(1)x1=−√6=0+√6×(−1)∈A，即m=0,n=−1符合；x2=√(√3−1)22+√(√3+1)22=√6=0+√6×1∈A，即m=0,n=1符合.(2)x1x2∈A．理由如下：由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，∴x1x2=(m1+√6n1)(m2+√6n2)=(m1m2+6n1n2)+√6(m1n2+m2n1)，其中m1m2+6n1n2，m1n2+ m2n1∈Q，∴x1x2∈A.。

A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．A1[2017·天津卷] 设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}1．B[解析] (A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩{x∈R|－1≤x≤5}＝{1，2，4}．1．A1、B1、E3[2017·山东卷] 设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1，2) B．(1，2]C．(－2，1) D．[－2，1)1．D[解析] 由4－x2≥0得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}；由1－x>0得x<1，所以B＝{x|x<1}．故A∩B＝{x|－2≤x<1}，故选D.2．A1[2017·全国卷Ⅱ] 设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}2．C[解析] 因为A∩B＝{1}，所以方程x2－4x＋m＝0有一个根为1，得m＝3，此时方程为x2－4x＋3＝0，得方程的另一个根为3，故B＝{1，3}．1．A1[2017·全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅1．A[解析] 集合B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜0}．图1­11．A1[2017·北京卷] 若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－2<x <3}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}1．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，x <－1或x >3，得－2<x <－1，所以A ∩B ＝{x |－2<x <－1}，故选A. 1．A1[2017·浙江卷] 已知P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |－2<x <0}，则P ∪Q ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(－2，－1)1．A [解析] 利用数轴可得P ∪Q ＝(－2，1)，因此选A.1．A1[2017·江苏卷] 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1．1 [解析] 由题意可得1∈B ，又a 2＋3≥3，故a ＝1，此时B ＝{1，4}，符合题意．A2 命题及其关系、充分条件、必要条件4．A2[2017·天津卷] 设θ∈R ，则“|θ－π12|<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A [解析] 当|θ－π12|<π12时，可解得0<θ<π6，即0<sin θ<12，故充分性成立；由sin θ<12可取θ＝0，但此时不满足条件|θ－π12|<π12，故必要性不成立．故选A.6．A2、F3[2017·北京卷] 设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．A [解析] 若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2<0成立，所以为充分条件；当“m ·n <0”时，m 与n 不一定共线，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”不一定成立，所以为不必要条件．综上可知，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件，故选A.13．A2[2017·北京卷] 能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________．13．－1，－2，－3(答案不唯一) [解析] 应用拼凑法，找出特例即可．比如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3.6．A2、D2[2017·浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．C [解析] 由题意，得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，则S 4＋S 6－2S 5＝(4a 1＋6d )＋(6a 1＋15d )－2(5a 1＋10d )＝d .因此当d >0时，S 4＋S 6－2S 5>0，则S 4＋S 6>2S 5；当S 4＋S 6>2S 5时，S 4＋S 6－2S 5>0，则d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．因此选C.A3 基本逻辑联结词及量词3．A3[2017·山东卷] 已知命题p ：∀x>0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q3．B [解析] 因为x>0时，x ＋1>1，所以ln (x ＋1)>0，所以p 为真命题．若a>b ，可取a ＝1，b ＝－2，此时a 2<b 2，所以q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，故选B .A4 单元综合1．A4[2017·全国卷Ⅲ] 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．01．B [解析] A 表示圆x 2＋y 2＝1上所有点的集合，B 表示直线y ＝x 上所有点的集合．∵直线y ＝x 过圆心，∴直线与圆的交点有两个，故选B.1年模拟1. 2017·南充月考若集合M ＝{}x |()x －1()x －4＝0，N ＝{}x |()x ＋1()x －3<0，则M ∩N ＝( )A. ∅B. {}1C. {}4D. {}1，41. B [解析] M ＝{1，4}，N ＝(－1，3)，所以M ∩N ＝{1}．5. 2017·佛山质检已知全集为R ，集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{x |x 2－2x ＞3}，则M ∩(∁R N )＝( )A. {}－1，1，2B. {}1，2C. {}4D. {x |－1≤x ≤2}图K1­15. A [解析] N ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以M ∩(∁R N )＝{－1，1，2，4}∩[－1，3]＝{－1，1，2}．3. 2017·砀山模拟已知a ，b ∈R ，则“a ＝－b ”是“a 2＋b 2≥－2ab ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. A [解析] a 2＋b 2≥－2ab ⇔(a ＋b )2≥0.a ＝－b 时，不等式a 2＋b 2≥－2ab 成立，反之不一定成立．故选A.7. 2017·南阳一中月考“命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0为假命题”是“－16≤a ≤0”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7. A [解析] 由题知“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题，则a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0，故为充要条件．2. 2017·聊城一中检测设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2，命题q ：函数y ＝cosx 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列说法正确的是( ) A. p 为真B. 綈q 为假C. p ∧q 为假D. p ∨q 为真2. C [解析] 命题p 和命题q 均为假命题，故选C.4. 2017·通州质检已知命题p ，q ，那么“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. A [解析] p ∧q 为真命题⇒p ∨q 为真命题；p ∨q 为真命题⇒/p ∧q 为真命题．故选A.5. 2017·百校联盟模拟对于命题“∃x 0>0，x 20>2x 0”，下列说法正确的是( ) A. 真命题，其否定是∃x 0≤0，x 20≤2x 0B. 假命题，其否定是∀x >0，x 2≤2xC. 真命题，其否定是∀x >0，x 2≤2xD. 真命题，其否定是∀x ≤0，x 2≤2x5. C [解析] 易知原命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是“∀x >0，x 2≤2x ”．。

A. 4
√B. 3
C. 2
D. 1
解析 11 答案
热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假. 2.若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为 充要条件.
13
例2 (1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A， B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则 A，B，C都没有及格.在下列四个命题中，为p的逆否命题的是 A.若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B.若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
√C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析 14 答案
(2)(2017 届四川雅安中学月考)“m≤ʃ 21(4－3x2)dx”是“函数 f(x)＝2x＋
2x1＋m的值不小于 4”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√C.“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D.命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析 18 答案
(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC中，“A<B<C”是“cos 2A>cos 2B
>cos 2C”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
(2)(2017 届安徽百校论坛联考)已知命题 p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－22x>0， 则下列叙述正确的是 A.綈 p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－22x≤0

分层限时跟踪练(二)(限时40分钟)[基础练]扣教材练双基一、选择题1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( )A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确【解析】原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C不正确．【答案】D2．(2015·浙江高考)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】特殊值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b>0，ab<0，故a＋b>0⇒/ab>0；当a＝－2，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，所以ab>0⇒/a＋b>0.故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】D3．(2015·文登二模)设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1【解析】 法一 对于A ，当x ＝1，y ＝1时，不能得到x ，y 中至少有一个数大于1；对于C ，x ＝－1，y ＝－2，不能得到x ，y 中至少有一个数大于1；对于D ，当x ＝－1，y ＝－2，不能得到x ，y 中至少有一个数大于1；对于B ，若x ，y 都小于等于1，即x ≤1，y ≤1，则x ＋y ≤2，与x ＋y ＞2矛盾，故答案为B.法二 若x ≤1且y ≤1时，可得x ＋y ≤2，反之不成立(用特殊值即可判定)；故x ≤1且y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得x ＋y >2是“当x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．【答案】 B4．(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β【解析】 由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；因为ab 2＞cb 2，且b 2＞0，所以a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．【答案】 D5．(2015·江门模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以||f －x ＝||－f x ＝||f x ，因此||f x 是偶函数，但当f (x )为偶函数时，||f x 也为偶函数，故由||f x为偶函数⇒/f (x )为奇函数，故选A.【答案】 A二、填空题6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．【解析】 原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.【答案】 37．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.【解析】 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.【答案】 3或48．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 【答案】 [0,2]三、解答题9．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】 (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪⎦⎥⎤y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·石景山模拟)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 函数y ＝2x ＋m －1有零点，等价于 m －1<0，即m <1，不满足0<m <1，所以“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”不成立；反之，如果“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”，则有0<m <1，即m －1<0, “函数y ＝2x ＋m －1有零点”成立，故选B.【答案】 B2．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]【解析】 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.【答案】 A3. 有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．【答案】 ②③4．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x≥1”的________条件． 【解析】 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋ax ≥1，只需f (x )＝x ＋a x的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x ＋a x的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故填充分不必要． 【答案】 充分不必要 5．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【证明】 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.6．(2015·济南模拟)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．(1)因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．。