《圆锥曲线》形成性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 到两定点)0,2(1F 和)0,2(2-F 的距离之和为4的点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）线段（C ）圆 （D ）双曲线（2） 设实数0>m ，椭圆2222m y m x=+的长轴是短轴的两倍，则m 的值是（A ）2或21 （B ）2（C ）21 （D ）2（3） 已知AB 是经过抛物线x y22=焦点的一条弦，4=AB ，则AB 中点C 的横坐标是（A ）2（B ）21 （C ）23 （D ）25 （4） P 为双曲线12222=-by a x 上一点，F 是一个焦点，则以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（A ）内切（B ）外切 （C ）内切或外切（D ）无公共点或相交（5） 已知点P 是双曲线1422=-y x 上任意一点，B A ,分别是双曲线的左右顶点，则PB PA ⋅的最小值（A ）3- （B ）0（C ）1（D ）2（6） 设21F F ，是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则椭圆的离心率为（A ）21 （B ）32 （C ）43 （D ）54（7） 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与圆9)3(22=+-y x 相交于A ，B 两点，若2=AB ，则该双曲线的离心率为（A ）8（B ）22（C ）3（D ）23 （8） 过抛物线24yx =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOF ∆的面积为（A （B （C （D ） （9） 已知抛物线22y px =（0p >）与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则椭圆的离心率为（A 1（B 1 （C （D ）12（10） 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的一条渐近线方程为（A ）x y 34=（B ）x y 31=（C ）x y 43=（D ）x y 3=（11） 已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 （A ）3（B ）3（C ）2（D ）2（12） 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（A ）⎛ ⎝⎭（B ）⎛ ⎝⎭（C ）[2（D ）2二、填空题：本大题4小题，每小题5分．（13） 某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A （－2，23），B （5,23-），则曲线C 的离心率等于 ． （14） 已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b +=>>的焦点)0,1(F ，过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的标准方程为 ．（15） 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 过其左焦点1F 作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为___________.（16） 已知P 为抛物线x y42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x ，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） （本小题满分10分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为12x =-．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）过抛物线焦点F 作互相垂直的两直线分别交抛物线于A 、C 、B 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值．（18） （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线02=-+y x 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于,P Q 两点，若在线段OF 上存在点)0,(m M ，使得||||MP MQ =，求实数m 的取值范围？（19） （本小题满分12分）已知双曲线C ：1222=-y ax （0>a ）的右焦点F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA （O 为坐标原点）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点),(00y x P （00≠y ）的直线l ：1020=-y y axx 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，当点P 在C 上移动时，求NFMF 的值． （20） （本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y E 的准线与x轴交于点M，过点M作圆1)2(:22=+-y x C 的两条切线，切点为B A ,，324=AB ． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为Q P ,，若O Q P ,,（O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21） （本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：)0(235222>=+m m y x ，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若对任意m >0，总有=+成立，求k 的值．（22） （本小题满分12分）在椭圆E : 2214x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，点M 满足2DM DP =，点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点)1,0(1B 作直线交椭圆E 于11B A ，交曲线C 于22,B A ，当11B A 最大时， 求22B A ．《圆锥曲线》形成性测试卷参考答案一、 选择题 （1） B ．解析：到两定点)0,2(1F 和)0,2(2-F 的距离之和为4的点M 的轨迹是线段21F F ．（2） A ．解析：椭圆方程可化为1222=+y mx ，所以1,222==b m a 或222,1m b a ==，所以2=m 或21=m ． （3） C ．解析：设),(11y x A ，),(22y x B ，则421=++=p x x AB ，又1=p ，所以321=+x x ，所以点C 的横坐标是23． （4） C ．解析：不妨设P 点在双曲线的右支，若F 为右焦点，F '为左焦点，则以PF 为直径的圆的圆心为PF 的中点M ，半径PF r 21=，则两个圆的圆心距为MO ，所以a r a PF F P MO +=+='=)2(2121，所以两个圆外切．若F 为左焦点，F '为右焦点，则以PF 为直径的圆的圆心为PF 的中点M ，半径PF r 21=，则两个圆的圆心距为MO ，所以a r a PF F P MO -=-='=)2(2121，所以两个圆内切．（5） B.解析： A 点坐标为(2,0)，B 点坐标为(2,0)-，设点P 坐标为(,)x y ，则),2(y x PA --=，),2(y x ---=，故3434222-=--=⋅x y x PB PA ，而22x x ≥≤-或，故最小值为0（6） C ．解析：根据题意，一定有∠PF 1F 2＝30°，且∠PF 2x ＝60°，故直线PF 2的倾斜角是π3，设直线x ＝32a 与x 轴的交点为M ，则|PF 2|＝2|F 2M |，又|PF 2|＝|F 1F 2|，所以|F 1F 2|＝2|F 2M |.所以2c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，即4c ＝3a ，故e ＝c a ＝34（7） C ．解析：双曲线的一条渐近线方程为0=-ay bx ，因为圆心为)0,3(，半径为3，由2=AB ，可知圆心到直线AB 的距离为22，于是22322=+ba b ，解得228a b =，于是a c 3=，所以3=e ．（8） B ．解析：由抛物线的定义知，||AF =1A x +=3，解得A x =2，所以||A y =，所以AOF ∆的面积为1||||2A OF y ⨯⨯=112⨯⨯． （9） B ．解析：由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此c p=2，不妨设A 是第一象限的点，椭圆的左焦点设为1F ，把2p x =代入抛物线方程得22p y =，故⎪⎭⎫ ⎝⎛p p A ,2，即()c c A 2,，c a AF c F F c AF 22,2,211-===∴，由于F AF 1∆是直角三角形，()()()2222222c c c a +=-∴，整理得0222=+-ac a c ，即0122=-+e e ，解得12-=e ．（10） A ．解析：由双曲线的定义得a PF PF 221=-， 所以()2222122149)(a b PF PF PF PF -=--+，即2221494a b PF PF -=⋅， 所以ab a b 94922=-，即049)92=--a b a b（，解得34=a b ， 所以双曲线一条渐近线方程为x y 34=． （11） C ．解析：由题意，设()0,2c F ，()0,1c F -，其中一条渐近线方程为x aby =，点2F 到渐近线的距离b ba bc =+22，设2F 关于渐近线的对称点为M ，M F 2与渐近线的交点为A ，因此得b MF 22=，A 是M F 2的中点，O 是21F F 的中点，因此M F OA 1//，因此21MF F ∠是直角，由勾股定理得22244b c c +=，()22243a c c -=∴，224a c =∴，a c 2=，得2=e ．（12） A ．解析：椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，由于自椭圆左、右顶点所作圆的切线形成的角最小，所以︒>∠45APO ，22sin >∠APO ，即22>a b ，所以22122<-=ab e ，又10<<e ，所以∈e 20,⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭．二、填空题（13） 5．解析：设曲线方程为,122=+by ax将（－2，23），（5,23-）代入可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,1549,1124b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,41,1b a C 的方程为1422=-y x ，离心率5=e ． （14）13422=+y x ． 解析：设),(),,(2211y x B y x A ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1,1222222221221b y a x b y a x 两式相减可得02222122221=-+-b y y a x x ，整理得21121222=---=x x y y ab ，又因为1=c ， 所以2=a ，1=b ，椭圆C 的标准方程为13422=+y x ． （15） 2>e ．解析:（解法1）由题知22|AB|=b a，若使双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则应有：2AA B ∠为钝角2142AA F ππ∴<∠<12112||tan 1||AF AA F F A ∴∠=>112||1||AF F A ∴>22b a ac ∴>+220e e ∴-->21e e ∴><-或，又1e >2e ∴>.（解法2）（几何法）只须121AF A F >，即2b ac a>+，故220e e ∴-->. 又1e >2e ∴>.（16）117-．解析：由题意知，圆1)4(22=-+y x的圆心为)4,0(C ，半径为1，抛物线的焦点为)0,1(F ．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和， 因此1171-=-≥+≥+CF PF PC PF PQ ． 三、解答题（17） 解：（Ⅰ） 由题意准线方程为1:2l x =-的抛物线可设为px y 22=， 由212-=-p ，得1=p ， 所以抛物线方程为22y x =． …………………4分（Ⅱ）设过F 的直线方程为1()2y k x =-，11(,)A x y ，22(,)C x y ，由21(),22,y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222(2)04k k x k x -++=，…………………6分由韦达定理得12221x x k +=+，1214x x =， 所以221212||()()AC x x y y =-+-221212221()42k x x x x k =++-+， 同理2||22BD k =+．……………………………………8分 所以四边形ABCD 的面积()22221212222282S k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即四边形ABCD 面积的最小值为8． ……………………………………10分（18） 解：（Ⅰ） 由e ＝22，得ca＝22，即c ＝22a … ① 又因为以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线02=-+y x 相切，∴ a ＝222=，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1.∴ 椭圆的方程为1222=+y x（Ⅱ） 设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 中点00(,)N x y由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(12)4220k x k x k +-+-=，则2122212204122212k x x k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩所以212022212x x k x k +==+，002(1)12k y k x k -=-=+ 因为||||MP MQ =所以MN PQ ⊥，即1MN PQ k k =-，即222121212k k k k m k -+=--+ 所以22211122k m k k ==++.因为20k >，所以102m << 故：m 的取值范围是1(0,)2.（19） 解：（Ⅰ）),(a cc A ，),(at t B -．11-=-⨯-+∴a t c a t c 且t c a ta -=1，………………………………………3分 即2ct =，3=a ，即双曲线方程为1322=-y x ．…………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3=a ，则直线l 的方程为1300=-y y x x ，即0033y x x y -=．因为直线AF 的方程为2=x ，所以直线l与AF 的交点,2(M ）00332y x - ， ………………………………………7分直线l 与直线23=x 的交点为,23(N )2200y x -．……………………………………8分 因为),(00y x P 是C 上一点，则132020=-y x 得132020-=x y ， 所以()332)2(133|32|2)2(3|32|242413|32|2020020200202000=-+--=-+-=-+-=x x x x y x y x y x NFMF． …………………………………………………………………………………12分（20） 解：（Ⅰ）由已知得)0,2(pM -，)0,2(C ． 如图，设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，322=AR ． 于是3122=-=ARAC CR ．……………………3分 由RAC AMC ∆∆~，得RCAC ACMC =，所以3=MC ，即322=+p ，解得2=p ．故抛物线E 的方程为x y 42=．…………………………………………6分（Ⅱ）如图，设),(t s N ．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为4)2()2()22(2222t s t y s x +-=-++-， 即02)2(22=+-+-+s ty x s y x．① 又圆C 方程为03422=+-+x y x，②由②－①得023)2=-++-s ty x s （． ③…………9分P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以023=-s ，解得23=s ．又点N 在抛物线E ：x y42=上，所以点N 的坐标为)6,23(或)623-，（．……………………………………12分（21） 解：（Ⅰ）)0(235222>=+m m y x ，可化为123252222=+m y m x ，可求得510=e ．……………………5分 （Ⅱ）ON OBOA =+成立等价于四边形OANB 为平行四边形，亦即线段ON 与AB互相平分，即M 为ON 的中点．假设存在k ，由)0,(m F ，所以可设)(:m x k y l -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,235),(222m y x m x k y 得0)1510(20)106(22222=-+-+m k mx k x k ，………7分因为M 为AB 的中点，所以由韦达定理得)533,535(222k kmk m k M +-+，因为M 为ON 的中点，所以)536,5310(222k km k m k N +-+，……………………9分 因为N 在椭圆上，代入椭圆方程得2)53(336)53(5100222222224m k m k k m k =+++，所以032524=--k k ，解得1±=k ． 经检验，1±=k 符合题意．………………………………………………………12分（22）设),(y x M ，),(00y x P ，则)0,(0x D所以),(0y x x -=，),0(0y =因为DM 2=，所以⎩⎨⎧==-0020y y x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==200y y xx因为点P 在椭圆上，所以1)2(422=+yx ， 得曲线C 的方程为：422=+y x ． （Ⅱ）当斜率不存在是，211=B A当斜率存在时，设直线方程为1+=kx y ，),(),,(221111y x B y x A 联立椭圆方程可得08)41(22=++kx x k ，0≠k 解得21418kkx +-=，02=x ， 所以)1,0(1B ，)4141,418(2221kk k k A +-+- 所以334412413841)1(338)41()1(822222222211=++⋅≤++=++=k k k k k k k k B A 当且仅当2213k k +=，即22±=k 时等号成立 所以11B A 的最大值为334，因为2334>，所以22±=k当22=k 时，直线22B A 的方程为122+=x y 圆心O 到直线22B A 的距离为662=d 由垂径定理得330222=B A ．《圆锥曲线》平行性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（A ） x y 2±= （B ）x y 21±= （C ）x y 31±=（D ）x y 41±=（2） 已知点)0,3(M ，椭圆1422=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点B A ,，则ABM ∆的周长为（A ）4 （B ）8（C ）12（D ）16（3） 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （4） 已知抛物线)0(2>=a ax y 的焦点到准线的距离为2，则a 的值是（A ）41 （B ）21（C ）2 （D ）4（5） 已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （A ）217 （B ）5 （C ）22（D ）29 （6） 已知),(00y x M 是双曲线12:22=-y x C 上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若021<⋅MF ，则0y 的取值范围是（A ）（33,33-）（B ）（63,63-） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）（7） 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π36，则p 的值为 （A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（8） 已知21,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以21F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于 （A ）35（B ）34（C ）45（D ）56（9） 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若QF PF 4=，则||QF 等于 （A ）27 （B ）3（C ）25 （D ）2（10） 已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A ,满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到准线的距离为 （A ）38（B ）34 （C ）2 （D ）1（11） 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且21PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交N M ,两点，点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是 （A ）5（B ）2（C ）3（D ）2（12） 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为21,F F ，421=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点1,APF A ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1=PQ |，则双曲线的离心率是( )（A ）3（B ）2（C ）3（D ）2二、填空题：本大题4小题，每小题5分．（13） 双曲线121022=-y x 的焦距为________． （14） 已知椭圆1822=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，则21PF PF ⋅的最大值是_____．（15） 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若FPM ∆为边长是12的等边三角形，则此抛物线方程为 ．（16） 已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） （本小题满分10分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2=，求直线AB 方程．（18） （本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．（19） （本小题满分12分）已知点P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点(1F 是圆心)，点2F 与点1F 关于原点对称．线段2PF 的中垂线m 分别与1PF ，2PF 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线l 经过2F ，与抛物线x y 42=交于1A ，2A 两点，与C 交于1B ，2B 两点．当以21B B 为直径的圆经过1F 时，求21A A ．（20） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线t y l =:（0≠t ）交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（I ）求ONOH ；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．（21） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由．《圆锥曲线》平行性测试卷参考答案一、选择题 （1） A ．解析：由题设5==a c e ，所以512222222=+=+=a b a b a a c ，所以2=ab， 所以双曲线的渐近线方程为x y 2±=． （2） B ．解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8. （3） B ．解析：由题意得ab bc 21=，所以椭圆的离心率21=e ． （4） A ．解析：)0(2>=a ax y 化为标准方程是)0(12>=a y a x ，则41=a ，所以41=a . （5） B ．解析：抛物线x 2=4y 的焦点F 的坐标为F （0，1），准线方程为1-=y ，设P 点到准线的距离为d ，则PF d =，所以FM PF PM d PM ≥+=+，当且仅当M P F ,,三点共线时等号成立，所以最小值为5=FM ．（6） A ．解析：依题意得)0,3(1-F ，)0,3(2F ，122020=-y x ， 所以013320202021<-=-+=⋅y y x MF MF ，所以)33,33(0-∈y ． （7） D ．解析：依题意得，OFM ∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆的半径等于6，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，2pOF =， 所以642=+pp ，解得8=p ． （8） C ．解析：设m PF =1，n PF =2，则a m n 2=-，由于21F PF ∆为直角三角形， 因此2224c n m =+，又5==ace ，所以a c 5=，解得a m a n 6,8==， 所以541082cos 21212====∠a a c n F F PF F PF ． （9） B ．解析：因为QF PF 4=，所以43=PFPQ ，过点Q 作l QM ⊥，垂足为M ，则x QM //轴，所以434==PFPQ MQ ，所以3=MQ ，由抛物线定义即3=QF ． （10） A ．解析：抛物线的焦点坐标)0,1(F ，准线方程1-=x ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y ，消去x 得：0442=--y k y所以421-=⋅y y ，因为3=，所以213y y -=，所以332,3221-==y y 所以31,321==x x ，AB 中点的横坐标350=x ，所以AB 中点到准线的距离为38． （11） A ．解析：在21F PF ∆中，点N 恰好评分线段2PF ，点O 恰好平分线段21F F ，所以1//PF ON ，又ON 的斜率为a b ，所以abF PF =∠21tan ．在21F PF ∆中，设bt PF =2，at PF =1，根据双曲线的定义有a at bt 2=-，又在直角三角形，2224)()(c at bt =+，所以222224)(4)(c a b a b a =-⋅+， 所以22)(a b a -=，所以a b 2=，所以5=e ．（12） B ．解析：如图，因为1=PQ ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，所以根据切线长定理可得AN AM =，Q F M F 11=，PQ PN =，因为21AF AF =，所以22NF PN AN M F AM ++=+，所以221=-PF PF ，所以1=a ，所以2=e二、填空题（13） 34．解析：由双曲线x 210－y 22＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.（14） 8．解析：21PF PF ⋅8)22()2(22221===+≤a a PF PF ，当且仅当21PF PF =时等号成立． （15） x y 122=．解析：FPM ∆为等边三角形，PM PF =，由抛物线的定义得⊥PM 抛物线的准线，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m p m P ,22，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-m p M ,2，焦点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，由于FPM ∆是等边三角形，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+,1222,1222222m p p pp m ，得⎩⎨⎧==,6,1082p m 因此抛物线方程x y 122=． （16） 16．解析：由椭圆方程2211612x y +=，得216,a = 所以4a =，点12,,F F H 分别是线段,,MQ MP MN 的中点， 所以12,HF HF 分别是,MNQ MNP ∆∆的中位线，所以()2121||||222PN QN HF HF HF HF +=+=+， 因为点H 在椭圆上，所以212HF HF a +=，所以()21||||2416PN QN HF HF a +=+==．三、解答题（17） 解：（Ⅰ）122c e a c a ==∴=，22223b a c c ∴=-=， 设椭圆方程为1342222=+cy c x ，……………………2分2213144c c∴+=，1c ∴=． 所以椭圆方程为22143x y +=．……………………………………5分 （Ⅱ）设00(,)B x y , (0,)D m ，则00(,)BD x m y =--，3(1,)2DA m =-， 02x ∴-=，032m y m -=-，即02x =-，033y m =-，………………………7分 代入椭圆方程得1m =，(0,1)D ∴，直线AB 方程1:12AB l y x =+．……………………………………10分 （18） 解：（Ⅰ）由题知1=c ，…………………………………2分椭圆的焦点()0,11-F ，()0,12F ， 所以42349222=++=a ， ∴椭圆C 的方程为13422=+y x ．…………………………………5分（Ⅱ）①当直线l ⊥x 轴时，可得)23,1(--A ，)23,1(-B ，B AF 2∆的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1+=x k y ． 代入椭圆方程得01248)43(2222=-+++k x k x k ，…………………………7分显然0>∆成立，设),(11y x A ，),(22y x B ，则2221438k k x x +-=+，222143128kk x x +-=， 可得2243)1(12k k AB ++=．…………………………………9分又圆2F 的半径212kk r +=，∴B AF 2∆的面积=7212431122122=++=⋅k k k r AB ， 化简得0181724=-+k k ，解得得1±=k ， ∴2=r ．……………………………………………………………………11分因此圆的方程为2)1(22=+-y x ．…………………………………12分（19） 解：（Ⅰ）由题意得，12(1,0),(1,0)F F -圆1F 的半径为4，且2|||MF MP =，从而121112||||||||||4||MF MF MF MP PF F F +=+==>，所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，…………………………………………3分 长轴长24a =，所以2a =，焦距22c =，则b =，因此椭圆方程为22143x y +=．………………………6分 （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，)23,1(1B ，)23,1(2-B ，又)0,1(1-F ， 此时11210B F B F ⋅≠，所以以21B B 为直径的圆不经过1F ，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设)1(:-=x k y l ．由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +-+-=．………………………8分因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点． 设),(111y x B ，),(222y x B ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++．因为以21B B 为直径的圆经过1F ，所以11210B F B F ⋅=，又)0,1(1-F , 所以0)1)(1(2121=+----y y x x ，即01))(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k ，解得297k =， 由24,(1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得0)42(2222=++-k x k x k ． ………………………10分 因为直线l 与抛物线有两个交点，所以0k ≠．设),(331y x A ，),(442y x A ，则234222442k x x k k++==+，341x x =． 所以12342464229A A x x p k =++=++=．………………………12分 （20） 解析：（Ⅰ）由已知可得(0,)M t ，2(,)2t P t p又∵N 与M 关于点P 对称，故2(,)t N t p∴ 直线ON 的方程为py x t=，代入22y px =，得： 2220px t x -=解得：10x =，222t x p =∴22(,2)t H t p． ∴N 是OH 的中点，即2OHON=． （Ⅱ）直线MH 与曲线C 除H 外没有其它公共点．理由如下： 直线MH 的方程为2py t x t-=，即2()t x y t p =-，代入22y px =，得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 外没有其它公共点（21） ．……………………………2分所以C 的方程为x y 42=．…………………………………………5分（Ⅱ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为)0(1≠+=m my x ， 代入x y 42=，得0442=--my y ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则4,42121-==+y y m y y ． 故AB 的中点为)2,12(2m m D +，，………………………7分分 由于MN 垂直平分线AB ，故N B M A ,,,四点在同一圆上等价于解得1±=m ，所求直线l 的方程为01=--y x 或01=-+y x ．……………………………………………………………………………………12分=与抛物线C在第一象限的交点，（22）解法一：（Ⅰ）∵点P是直线y xP m m m>，∴设点(,)(0)∵抛物线C的准线为2p y =-， 由||5PF =结合抛物线的定义得52p m += ①………………………………2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >，得2m p =，②由①②联立，解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =．………………………………5分（Ⅱ）由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，………………………………6分 又设点200(,)4x M x ， 由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =，得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===， ∴直线l 的方程为2000()42x x y x x -=-， 令1y =-得20022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，………………8分 200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=--- ， ∵点N 在以MQ 为直径的圆上， ∴22220002(1)()(1)20244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=，（*） ……………………………………………………………………………………10分 要使方程（*）对0x 恒成立，必须有0⎩⎨⎧=-+=-,02,012n n n 解得1=n ．所以点N坐标为)1,0(．…………………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >，∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =，5=，………………………………2分 即22()252p m m +-=，① 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >，得2m p =，②由①②联立，解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =．……………5分 （Ⅱ）设点),(00y x M ，有,:m kx y l +=与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切． 由241x y =，得x y 21='，所以021x k =． 所以直线l 的方程为)(21000x x x y y -=-， 令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x -- ，…………………7分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=，③ 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③，得(1)(1)(2)0y y x x -++-=，④(1)(1)(2)0y y x x -+++=，⑤联立④⑤，解得0,1,x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩……………………………………………10分 ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-，将(0,1)的坐标代入③式得，左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边，将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0 ， ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为(0,1)．………………………………………………………………12分（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
