高考文科试题分类圆锥曲线

专题10 圆锥曲线【2013年高考真题】（2013·新课标Ⅰ文）（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（）（A ）2 （B ）（C ） （D ）4（2013·新课标Ⅰ文）（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x=±（2013·新课标Ⅱ卷）10. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（ ）（A ）y=x-1或y=-x+1 （B ）（X-1）或y=（x-1）（C ）（x-1）或y=（x-1）（D ）（x-1）或y=（x-1）【答案】C 【解析】由题意,可设||BF x =，则||3AF x =，设直线l 与抛物线的准线相交于点M ，则由抛物线的定义可知：||2MB x =，所以直线l 的倾斜角为60 或120 ，即直线l 的斜率为，故选C.【学科网考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、直线方程的求解、数形结合以及转化的数学思想，考查分析问题、解决问题的能力.（2013·天津卷）11. 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .（2013·上海文）12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．（2013·陕西文）11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .（2013·陕西文）8. 已知点M(a,b)在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是(A) 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定（2013·陕西文）7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为(A) －6(B) －2(C) 0(D) 2（2013·山东文）11. 抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =A.163 B.83 C.332 D. 334【答案】D【解析】画图可知被1C 在点M 处的切线平行的渐近线方程应为y x =，设2,2t M t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则利用求导得（2013·辽宁文）（15）已知F 为双曲线22:1,916x y C P Q C PQ -=的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，()5,0A PQ PQF ∆点在线段上，则的周长为 .（2013·辽宁文）（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67【答案】B【解析】AFB 三角形中，由余弦定理可得：222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠（2013·江西文）9．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ）DA ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2 ．从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ）CA ．24B ．12C ．22D ．323 ．设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为C ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)4 ．O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为CA ．2B ．2C ．23D ．45 ．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>5,则C 的渐近线方程为．12y x =± （ ）CA ．14y x =±B ．13y x =±CD ．y x =±6 ．双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ）BA ．21 B ．22 C ．1D ．27 ．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 （ ）DA ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 8 ．抛物线28y x =的焦点到直线30x -=的距离是（ ）DA ．3B ．2C 3D ．19 ．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）DA ．B ．C ．D ．10已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）CA ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为 （ ）BA ．35B ．57C ．45D ．6712．设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）AA ．23(,2]3 B ．23[,2)3C ．23(,)3+∞ D ．23[,)3+∞ 13．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）DA ．12B ．22C ．2D ．214．双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是（ ）CA ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >15．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）CA ．1B ．2C ．4D ．4616．已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= （ ）CA ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:317．抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）DA ．163 B ．83 C ．332 D ．334 18．如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（ ）DA ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．32D ．62二、填空题19．设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.20．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________.【答案】4521．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】4422．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.【答案】4623．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.2,1x =-24．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13-25．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -=（第9题图）三、解答题26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点, 求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122pp =⇒=,所以抛物线方程是: 24xy =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BOx x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =, 由118442M x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442Nx y xx x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以21212121288||11||2|82||44164()M N x x MNx x x x x x x x -=+-=-=---++①设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 且22121212||()441x x x x x x k -=+-=+代入①得到:22411||82|8216164|43|k k MN k k ++==---设34304tkt k +-=≠∴=, ① 当0t >时22256256||82221224t t MN t t t++==++≥,所以此时||MN 的最小值是22;② 当0t <时,2222562565316482||8222122()2452555t t MN t t t t++==++=++≥⨯=,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 综上所述:||MN 的最小值是825;27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,2(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆6,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =,求实数t 的值.【答案】将x m =代入椭圆方程2212y x +=,得28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(1)依题意2d==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9229．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【答案】30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.【答案】解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-, 由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2)所以点C 到准线l 的距离2d =,又||5CO =. 所以22||2||2542MN CO d =-=-=.(Ⅱ)设200(,)4y C y ,则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+, 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-,得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -,2(1,)N y -,则: 222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅,得12||4y y =所以2142y +=,解得06y =±,此时0∆>所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =,33||2CO =,即圆C 的半径为33231．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2214x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形.【答案】解:(I)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设1(,)2A t ,代入椭圆方程得21144t +=,即3t =±. 所以|AC|=23.(II)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且AC⊥OB,所以0k ≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk +).因为M 为AC 和OB 的交点,且0m ≠,0k ≠,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mx y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.【答案】解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (II)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=; 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得23AB =.若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则1QP RQM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得2311k k=+, 解得k=±2. 当k=24时,将y=24x+2代入22143x y +=,并整理得27880x x +-=, 解得21,22146218.=1+k 77x AB x x -±=-=所以. 当k=218=47AB -时，有图形的对称性可知. 综上,=23AB 或187AB =. 33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .所以,动点M 的轨迹为 椭圆,方程为13422=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m 斜率k 存在.3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得:221221224324,432402424)43kx x k k x x kx x k +=⋅+-=+⇒=+++（ 232924)43()24(252)(2212221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x 所以,直线m 的斜率23±=k 34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与 (I)求,;a b ;(II)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF - 证明:22AF AB BF 、、成等比数列【答案】(Ⅰ)由题设知3ca=,即2229a b a +=,故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.将y=2代入上式,求得,x =由题设知,=解得,21a =. 所以1,a b ==(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=. ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||k <,代入①并化简得,2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则 11x ≤-,21x ≥,212268k x x k +=-,2122988k x x k +•=-.于是 11||(31)AF x ===-+,12||31BF x ===+由11||||AF BF =得,12(31)31x x -+=+,即1223x x +=-. 故226283k k =--,解得245k =,从而12199x x •=-.由于21||13AF x ===-,22||31BF x ===-,故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=,221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=.因而222|||||AB|AF BF •=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.【答案】36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在Y 轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.【答案】38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.O x yBA 第22题图CDMN【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.mnλ=>(Ⅰ)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-, 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则 因为12211d kk =++,22211d k k=++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得222A x a k m =+222B x a k n=+O x y BA 第22题解答图1CDMN O x yB A第22题解答图2CDMN根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是222222221||2||||21||A D A B B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得11t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则 因为12211d kk ==++,22211d k k==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==. 因为221||||||1||B D A B A BA B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得1A Bxx λ<<. 从而111λλλ+<<-,解得12λ>+,所以 当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.【答案】40．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D 的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-⇒⇒y x C C 的方程为圆.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离22m1|2m |m1|2-22m |=d +=++.22222m14)m 144(4+=+-=⇒m b ：在圆中，由勾股定理得. 整理得：联立直线和椭圆方程，设直线与椭圆相交于点),,(),,(2211y x F y x E5204544)(0145(22212122+=++-=++=+⇒=-++m m m my y m x x my y m ） 由椭圆的焦半径公式得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab ..),3[]3,0[)(0,51)(上单调递减上单调递增，在在令+∞=⇒≥++=x f y x x x x f .23.3)3.()(2+±==⇒≤y x ab m f x f 这时直线方程为取最大值时，当令所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为41．（2013年高考安徽（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,2)A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由【答案】解: (1)因为椭圆过点23)P ， ∴22231a b+= 且222a b c =+∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C的方程是22184x y += (2)由题意,各点的坐标如上图所示,则QG 的直线方程:000088x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x xy y ---= 又220028x y +=,所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.42．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.【答案】解:222222233124c c a b b a a a a -===-=(1）因为e=故 所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1, 2214x C y ∴+=椭圆的方程为：1)2≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①将①代入2214x y +=,解得222824(,)4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ② ①与②联立解得424(,)2121k kM k k +--由222824(0,1),(,),(,0)4141k k D P N x k k --++三点共线可角得42(,0)21k N k --所以MN 的分斜率为m=214k +,则211222k m k k +-=-=(定值)。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 【答案】D2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ） A ．24B ．12C ．22D ．32【答案】C3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ） A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=√33(X-1)或y=-√33(x-1) C ．y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D ．y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)【答案】C4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】C5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C6 ．（2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22 C ．1D ．2【答案】B7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）A ．B ．2 CD ．1【答案】D9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆22:1(0)x y C a b +=>>的左、右焦点分别为,,F F P 是C 上的点A 10已知F 3AB =，则C A 11．焦点为F 45=,则C A 【答案】B12．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞ 【答案】A13．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M-,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =u u u r u u u rg ,则k =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D14．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C15．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=L ,当点(),x y 分别在12,,ΩΩL上时,x y +的最大值分别是12,,M M L ,则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41 C ．2D ．22【答案】D16．（2013年高考安徽（文））直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C17．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ） A ．2:√5B ．1:2C ．1:√5D ．1:3【答案】C18．（2013年高考山东卷（文））抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83 C ．332 D ．334 【答案】D19．（2013年高考浙江卷（文））如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（ ）A ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是 （ ）A ．2B ．3C ．32D ．62（第9题图）【答案】 D ．二、填空题20．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.【答案】13+21．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________.【答案】4522．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】44232013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.【答案】46324．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【答案】2,1x =-25．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13-26．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -= 三、解答题27．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点, 求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122pp =⇒=,所以抛物线方程是: 24xy =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BOx x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =, 由11442M x y x x x y x ⎧=∴=⎨-⎪=-⎩,同理由22442Nx y xx x y x ⎧=∴=⎨-⎪=-⎩所以21212121288||11||2||82||44164()M N x x MNx x x x x x x x -=+-=-=---++设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 且22121212||()441x x x x x x k -=+-=+,代入①得到:22411||82||8216164|43|k k MN k k ++==---, 设34304tkt k +-=≠∴=, ① 当0t >时22256256||82221224t t MN t t t++==++≥,所以此时||MN 的最小值是22;② 当0t <时,2222562565316482||8222122()22452555t t MN t t t t++==++=++≥⨯=,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 综上所述:||MN 的最小值是825;28．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,2(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =u u u r u u u r,求实数t 的值.【答案】将29．（20y -=的. ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, ∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9230．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【答案】31．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.【答案】解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-,由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2)即由设由32．（所以可设1(,2A t ,代入椭圆方程得21144t +=,即t =所以|AC|=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且AC⊥OB,所以0k ≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+).因为M 为AC 和OB 的交点,且0m ≠,0k ≠,所以直线OB 的斜率为14k-. 因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mx y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB . 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.【答案】解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (II)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=; 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得23AB =.若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则1QP RQM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得2311k k=+,解得k=±24. 当k=24时,将y=24222143x y +=,并整理得27880x x +-=, 解得21,22146218=1+k 7x AB x -±=-=所以. 当k=218=47AB -. 综上,=23AB 或187AB =.34．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x . 所以,动点M 的轨迹为 椭圆,方程为13422=+y x(Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m 斜率k 存在.3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得: 所以,直线m 的斜率23±=k 35．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为 (I)求,;a b ; (II)、2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF -证明:22AF AB BF 、、成等比数列【答案】(Ⅰ)由题设知3ca=,即2229a b a +=,故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=. 将y=2代入上式,求得,212x a =±+. 由题设知,21262a +=,解得,21a =.所以1,22a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=. ① 由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||2k <,代入①并化简得,2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则 11x ≤-,21x ≥,212268k x x k +=-,2122988k x x k +•=-.于是 2222111111||(3)(3)88(31)AF x y x x x =++=++-=-+,由11||||AF BF =得,12(31)31x x -+=+,即1223x x +=-. 故226283k k =--,解得245k =,从而12199x x •=-. 由于2222211111||(3)(3)8813AF x y x x x =-+=-+-=-,2222222222||(3)(3)8831BF x y x x x =-+=-+-=-,故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=,221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=.因而222|||||AB|AF BF •=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.36．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.【答案】37．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值; (II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】38．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2√2,在Y 轴上截得线段长为2√3.(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.【答案】39．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.mnλ=>(Ⅰ)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-, 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak ak d k k --==++,222|0|11ak akd k k -==++,所以12d d =. 又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. [来源:学科网ZXXK] 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得222A x a k m =+222B x a k n =+根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是第22题解答图1 第22题解答图2222222221||2||||21||A D A BB C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-. [来源:学|科|网]因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得1t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则 因为122|0|11ak akd kk --==++,222|0|11ak akd k k-==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==. 因为221||||||1||B D A B A BA B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得1ABx x λ<<. 从而111λλλ+<<-,解得12λ>+,所以 当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=; 当12λ>+,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.40．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.[来源:学_科_网]【答案】41．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D 的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-⇒⇒y x C C 的方程为圆.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离22m1|2m |m1|2-22m |=d +=++. [来源:]22222m14)m 144(4+=+-=⇒m b ：在圆中，由勾股定理得. 由椭圆的焦半径公式得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab .所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为42．（2013年高考安徽（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,22)A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由【答案】解: (1)因为椭圆过点(23)P ，∴22231a b+= 且222a b c =+ ∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22184x y += (2)由题意,各点的坐标如上图所示,则QG 的直线方程:0000808x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x x y y ---=又220028x y +=, 所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.43．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e =√32,a+b=3 (1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.【答案】解:222222233124c c a b b a a a a -===-=(1）因为e=故 所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1, 12≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①将①代入2214x y +=,解得222824(,4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ②①与②联立解得424 (,2121k k Mk k+--由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N xk k--++三点共线可角得42(,0)21kNk--所以MN的分斜率为m=214k+,则211222km k k+-=-=(定值)。

第九章 圆锥曲线试题部分1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）122.【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A)12(B) 2(C) 1 (D)23.【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B (C )6 (D 4.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)5.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．6.【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．27.【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y (D)2213y x8.【2015高考湖南，文6】若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A 、B 、54C 、43D 、539.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 10.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >11.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)412．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 13.【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2221y x b -=（0b >）的一个焦点，则b = ．14【2015高考上海，文7】抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .15【2015高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .16.【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22221x y a a -=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为- .17.【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为. （Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 18．【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由． 19.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．20.【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．21.【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于第22题图1第22题图2xDOMN yBADOMN,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向.（I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.22.【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b b αα的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . （i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.23.【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.24.【2015高考四川，文20】如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)AD BCO x y P的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝－1 (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 26.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标； （2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.27.【2015高考重庆，文21】如题（21）图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）的左右焦点分别为1F ,2F ,且过2F 的直线交椭圆于P,Q 两点，且PQ ⊥1PF .(Ⅰ)若|1PF |=2+2，|2PF |=2-2，求椭圆的标准方程. (Ⅱ)若|PQ|=λ|1PF |，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围. 28【2015高考上海，文22】（本题满分14分）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=； （2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.参考答案1.【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b +=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 2【答案】C 由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=•C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-ab a b ac a c ，化简得到1122±=⇒=a ba b ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.3【答案】D 由题意，a ＝1，b ，故c ＝2，渐近线方程为y ＝x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±故|AB |＝，选D 4【答案】B 由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B5【答案】1266【答案】C 由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 7【答案】D 由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆222y 3x 相切得223a b =+,由222c a b =+=,解得1,3a b ==故选D.8【答案】D 因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=． 故选D. 9【答案】A 由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .10【答案】D .不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b -=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m ba m a+<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D . 11【答案】A 设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是，故选A ． 12【设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有1222n bm c cn b m c⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得3222222,c b bc bc m n a a --==，所以3222222(,)c b bc bcQ a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得222a c =，所以离心率c e a ==. 13由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 14【答案】2依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 15【答案】14422=-y x 因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率211=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设2C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，所以2==b a ，所以2C 的方程为14422=-y x .16【答案】2+双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程为()by x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由2222a c a c +=，得2()410c c a a -+=，解之得2ca=+，2c a =（舍去，因为离心率1ca>），故双曲线的离心率为2+.17【答案】（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b . 进而b b a c b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫⎝⎛=65,6b a NM .又()b a AB ,-=，从而有()22225616561a b b a NM AB -=+-=⋅由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅NM AB ，故AB MN ⊥.18【答案】（I （II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行. 【解析】（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =.所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k-=+. 直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-. 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行. 19【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-， 所以G k A ==G k B ==， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等，故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，故直线G A 的方程为30y -+=，从而r ．又直线G B 的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r =． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．20【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ∆的面积取得最小值8.【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.21【答案】（I ）22198y x += ；(II) 64±. 【解析】（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3(6,)2±，229614a b∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。

07 圆锥曲线一、选择题1．（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ A ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（福建12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]3．（宁夏2）双曲线221102x y -=的焦距为（ D ）A ．B ．C ．D ．4．（湖南10）．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A ．B ．)+∞C ．1]D ．1,)+∞ 5．（江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ． D ． 6．（辽宁11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+8．（上海12）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ）A ．4B ．5C ．8D ．109．（四川11）已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PFF ∆的面积等于( C ) （Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）9610．(天津7) 设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ） A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 11．（浙江8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( D )（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）512．(重庆8)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为( C ) (A)2(B)3(C)4213．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是 ( B )A.①③B.②③C.①④D.②④14．(陕西9) 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD．3二、填空题1．（安徽14）．已知双曲线22112x y n n -=-n ＝ 4 2．（宁夏15）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．53 3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =2 4．（江西14）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．223144x y -=5．（全国Ⅰ14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．126．（全国Ⅰ15）在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．127．（全国Ⅱ15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．2 8．(山东13) 已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．221412x y -= 9．（上海6）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．-110．（浙江13）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB = 。

题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。

（完整版）圆锥曲线⾼考真题（1）求M 的⽅程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离⼼率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上⼀点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率为，且经过点(0,1)，圆22221:C x y a b +=+。

4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 20.已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积2014（新课标全国卷2）（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A ）3（B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）⎡⎣ （D ） ⎡⎢⎣⎦20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。

（I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

4．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x± D ．y ＝±x8.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，则△POF 的面积为( )． A ．2 B．．．421．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.2013（新课标全国卷2）5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=o ，则C 的离心率为（ ）（A）6 （B ）13 （C ）12 （D）310、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

直线AE 旳方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 因此直线BM 旳斜率112131BM y y k -+==-.17.（安徽文）设椭圆E 旳方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 旳坐标为(,0)a ,点B 旳坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 旳斜率为510。

（1）求E 旳离心率e;(2)设点C 旳坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 旳中点，证明：MN ⊥AB 。

∴a b 3231＝5525451511052222222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点旳坐标为（2,2b a -）∴a b a ba a bb K MN 56652322131==-+= abK AB-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB18.（福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>旳右焦点为F ．短轴旳一种端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 旳距离不不不小于45，则椭圆E 旳离心率旳取值范围是（ A ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4119.（新课标2文）已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线旳原则方程为 ．2214x y -= 20.（陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>旳准线通过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，由于准线通过点(1,1)-，因此2p =， 因此抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.21.（陕西文科）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>通过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 旳方程；2212x y += 22.（天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 旳一种焦点为(2,0)F ,且双曲线旳渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线旳方程为（ D ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x23．（广东文）已知中心在原点旳椭圆C 旳右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 旳方程是（ D ）30旳等腰三角形，则122文) 设椭圆221y b 0,0a b 旳一条渐近线平行于直线210x ，双曲线旳上，则双曲线旳方程为（ A ）2120y （B ）221205x y （C ）2331100y D ）223310025x y 1) 已知双曲线C ：221x y （0,0a b >>）旳离心率为52，则C 14x B .13y =±12x ± D .y x[9,)+∞ [9,)+∞ [4,)+∞[4,)+∞【解析】当0m <上存在点M 满足120，则603ab=即33m≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 旳取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1旳离心率旳取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线旳离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.42．(·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 旳焦点F ，且斜率为3旳直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 旳准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 旳距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 34．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 旳焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程旳点斜式可得直线MF旳方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴旳上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4旳等边三角形．∴点M 到直线NF 旳距离为2 3. 故选C.43．(·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)旳左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径旳圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 旳离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．135．【答案】A 【解析】由题意知以A 1A 2为直径旳圆旳圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线旳距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.44．(·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)旳右焦点为F ，点A 在双曲线旳渐近线上，△OAF 是边长为2旳等边三角形(O 为原点)，则双曲线旳方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝16．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2旳等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线旳渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线旳方程为x 2－y 23＝1.故选D. 45．(·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)旳一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线旳原则方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线旳渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线旳一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.46、(·北京文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1旳离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线旳原则方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线旳离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.47、(·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 旳焦点，M 是C 上一点，FM 旳延长线交y 轴于点N .若M 为FN 旳中点，则|FN |＝________.【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 旳准线交x 轴于点A ，过点M 作准线旳垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 旳中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.1212121111442222BMy y K x x x x ----==---- (1x +=()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入2x ＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=7新课标Ⅱ文)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22＋。

圆锥曲线（文科）1．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ） A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e2．已知方程1||2-m x+my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<23 3．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是 （ ）4．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( )A ．x ＝±y215 B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 435．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp11+等于A ．2aB ．a21C ．4aD ．a46．若椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1716B ．17174 C ．54 D ．5527．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43 8．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则 △F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25 C ．2 D ．59．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、 m 为边长的三角形是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形10．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 A ．2522x +7522y =1 B ．7522x +2522y =1 C ．252x +752y =1D ．752x +252x =111．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =___ __。