语文版中职数学拓展模块4.6《基本不等式》ppt课件2

1.课题导入
基本不等式
的几何背景：
如图是在北京召开的第 24 界 国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去象一个风车。新课
1．探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全 等的直角三角形。设直角三 角形的两条直角边长为a,b那 么正方形的边长为 这样，4个直角三角形的面 积的和是2ab，正方形的面积 为
5.课外作业
课本第113页习题[A]组的第1题
由于 4 个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到 了一个不等式：
探究图形变化过程
当直角三角形变为等腰直角 三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有
2．得到结论：
3．思考：你能给出它的证明吗？
证明：因为
4．1）认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用 分别代替a、b ，可得 通常我们把上式写
性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
∴
＞0，
＞0
=2
（当且仅当x=y时，式中取等号。）
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2 >0 x2＋y2≥2 >0
x3＋y3≥2
>0（当且仅当x=y时，式中取等号）
· 2 · 2
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2
＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
4.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：

【解析】因为a，b，c都是正数，所以b c 2 c，
ab a
b a 2 b，c a 2 a，
因a 此c c b c b
2(b c a ) 2( c b a )，
即 abc
acb
当且ba 仅bc当 aca= bac=c时bc取 等ab号. .
【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注 意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“ab， a2 b2，2ab
2
2 ab
A. a b 2
B. ab
a2 b2 C.
2
D. 2ab ab
2.设a，b，c都是正数，求证： bc ac ab a b c. abc
【解题探究】1.典例1中可采取哪些方法进行比较大小？ 提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大 小.
2.典例2中如何利用基本不等式将 bc ac ab 变形？
提示：因为a，b，c都是正数，所以a
bc bc，ac，ab
也都是正
数.所以
bc ac
2c，ac ab
2a，bc
ab ab 2b.
c
ab bc ac
【解析】1.选D.方法一：特殊值法.
令a=4，b=2，则a b 3，ab 8， a2 b2 10，2ab 8.
ab D. 2ab ab
ab
【解题探究】1.典例1中如何判断④是否成立？
提示：当a，b异号时，式子 2a2b2 恒大于零，而ab<0，
故
≤ab错误.
a2 b2
2a 2 b2
2.典a2例 b22中解决此类问题可以采取何种方法？

2023
《不等式基本不等式ppt》
不等式的基本概念基本不等式及其应用基本不等式的证明方法基本不等式的应用举例基本不等式的扩展和深化
contents
目录
01
不等式的基本概念
不等式是用不等号连接两个表达式的数学式子，例如x + 2 > 5。它表示这两个表达式之间的关系，即x的值在某个范围内变动时，x + 2的值总是大于5。
总结词
拉格朗日不等式是关于数学期望与方差的定理，它表明在有限个数的线性组合中，方差越大，期望值与真实值之间的差异就越大。利用拉格朗日不等式证明法，我们可以将不等式转化为方差和期望值之间的关系，从而证明不等式的成立。此方法在概率论、统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
详细描述
利用拉格朗日不等式证明法
不等式的性质2
不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。例如，如果x < y，那么-2x > -2y。
不等式的性质3
只含有一个未知数的不等式，例如x + 2 > 5。
一元不等式
含有两个未知数的不等式，例如x + y > 3。
二元不等式
未知数的最高次数大于3的不等式，例如x^3 + x^2 - 6x + 5 > 0。
详细描述
直接证明法需要通过对不等式的变形，以及利用已知的数学定理和性质，推导出与待证明的不等式等价的等式，从而证明不等式的成立。此方法需要掌握一定的数学技巧和推理能力，对于一些复杂的不等式可能需要较长的推导过程。
直接证明法
利用导数证明法
利用导数证明法是一种利用函数单调性和导数之间的关系，证明不等式的方法。
02
范德蒙公式的推广形式包括多个方面，例如将平方推广为任意正整数次幂，或者将实数推广为复数等。这些推广形式可以进一步拓展不等式的应用范围。

现代数学的发展
基本不等式在19世纪末至20世纪初得到了进一步的发展和推广。法国数学家J.P.G.de Buffon和俄国数学家L.Euler等都对基本不等式做出了重要贡献。
广泛应用
基本不等式在数学、物理、经济等多个领域都有广泛的应用，是现代数学的重要基础之一 。
基本不等式的定义
定义表述
基本不等式是对于任意正实数a和b，都 有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，当且 仅当a=b时等号成立。
05
基本不等式的实际应用案例
在金融学中的应用
投资组合优化
在金融学中，基本不等式常被用于投资组合优化问题。利用基本不等式，我们可 以找到使得投资组合预期收益最大的最优投资比例。
资本预算
基本不等式也可用于资本预算。在确定项目的投资预算时，可以利用基本不等式 来优化资本分配，以实现最大化的经济收益。
在物理学中的应用
数据压缩
在数据压缩算法中，可以利用基本不等式来分析算法的复杂度和压缩效率。 通过基本不等式，可以确定算法的时间复杂度和空间复杂度，从而优化算法 的性能。
算法设计
在算法设计中，基本不等式可以帮助我们分析算法的效率。例如，在排序算 法中，利用基本不等式可以推导出时间复杂度的下限，从而指导算法设计者 设计更高效的算法。
THANKS
谢谢您的观看
弹性碰撞
在弹性碰撞理论中，可以利用基本不等式来限制两物体碰撞 后的速度和方向。通过基本不等式，可以推导出两物体碰撞 后的速度与质量的关系。
力学系统
在力学系统中，基本不等式可以用于求解具有特定约束条件 的力学问题。例如，在确定最小作用量的问题中，可以利用 基本不等式来找到最小作用量的条件。
在计算机科学中的应用