大学文科数学教案

大学文科数学教案 第一章 微积分的基础和研究对象

一、教学目的和要求：

1．了解微积分的发展历程。

2．了解极限、实数、集合在微积分中的作用。

3．了解实数系的建立及邻域的概念。

4．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会建立实际问题中的函数关系式。

5．理解函数的简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。

6．掌握基本初等函数的性质及其图形。

7．理解复合函数及分段函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合的方法。

8．了解MM能力培养。

二、教学难点和重点：

重点：

1．数的性质及其图形。

2．合函数的分解及分段函数的概念。

难点：

1. 函数的概念。

2. 复合函数。

三、教学方法

讲解法

§1 微积分的基础

1.1微积分的发展历程

数学发展史的生动事例表明，许多数学模型，包括数学理论，总是在长期的应用中逐步构建起逻辑基础的。

17世纪上半叶笛卡儿（Descartes,法，1596—1650）创建了解析几何，变量便进入了数学。

随后，牛顿（Newton,英，1642—1727）和莱布尼兹（Leibniz,德1646—1716）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑。微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用，大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步。

然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾。粗略地讲，牛顿、莱布尼兹的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律。（排中律是指在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的，即排除第三种情况。）正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱（Berkeley,1685—1753），从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动

变化这一新潮思想的微积分。数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机。

1.2极限、实数、集合在微积分中的作用。

微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，其中包括摒弃牛顿、莱布尼兹的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机。可见极限是微积分的理论基础。

极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通。譬如，由2的不足近似值构成的有理数序列

1，1.4，1.41，1.414，1.4142，? 若在有理数范围内来考察，就不存在极限。但在实数范围内来考察，它的极限就是2。可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础。

数学家及哲学家，喜欢考察数学为什么是可靠的。在19世纪那个时期，数学家们认识到微积分的可靠性建立在极限的基础之上，而极限的可靠性建立在实数的基础之上，再追问，再研究，又发现，实数的可靠性来源于自然数。当时认为，由于自然数在人类几千年的德社会生产活动中发现最早，接触最多，贴近实际最近，而且长期使用中未出现矛盾，因而自然数的可靠性是不被怀疑的。于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础。

数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止。19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性。因而集合又成了微积分的基础。而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上。可见集合是整个数学大厦的基石。

通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，这无疑是对的。然而这仅仅体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量。还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量。17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量。

关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践的可靠性，即数学的可靠性尚需介绍社会实践的检验。

1.3实数系的建立及邻域的概念。

一、实数系的演变及性质

自然数集（N）(0,1,2,3,?)

+引进负数，整数集（Z）,将正整数集记作Z 或N+（即除0外的全体自然数构成的集合）

有理数（Q）

二。、有理数的性质：

任一有理数都可以写成p的形式，其中p,q?Z，且q?0。同整数比较起来，有理q

数具有整数所没有的很好的性质。

设a,b(a?b)是任意给定的两个有隶属，则在a,b之间至少存在一个有理数c，即a?c?b（如c?

a?d?c。 a?b就满足要求）；同样，在a与c也至少存在一个有理数d，即2

如此类推，可知无论a与b相差多么小，总可以在a与b之间找到无穷多个有理数，这就是有理数的稠密性。

因为任一有理数在数轴上均可以找到唯一的一点和它相对应（该点称为有理点），所以反映在数轴上，任意两个有理点之间总可以找到无穷多个有理点，即有理点在数轴上是稠密分布的。这是整数所不具备的性质。

实数的特性

虽然有理点在数轴上是稠密的，但它并没有铺满整个数轴。如单位正方形的对角线，其长2在数轴上就找不到一个有理点和它对应。事实上，利用反证法不难证明，2不能表示成p（p,q?Z，且q?0）的形式，因此2不是有理数。这样就说明在数轴上除了有q

理点外，还会留下许多空隙，同时也说明有理点尽管“很稠密”，但并不具有连续性。我们把这些空隙处的点称为无理点，无理点对应的数称为无理数。

全体有理数与无理数合称为实数，这就把有理数集扩充为实数集，记作R。这就使在有理数集中不封闭的开方运算在实数集中成为封闭的。在数轴上，可以发现，实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，实数的这种性质称为实数的连续性，这是有理数所没有的性质。

三、邻域

微积分研究的对象，是反映现实世界中连续变化的事物在数量方面的相依关系，即所谓的连续函数。因而只能用具有连续性的数来刻画事物连续变化的特性，而实数才具有连续性，因此在微积分中，所说的数均指实数。

刻画极限的邻域概念

与点x0距离小于?(?0)的全体实数的集合称为点x0的?邻域，记作U(x0,?)，x0称为邻域的中心，?称为邻域的半径。

显然点x0的?邻域可用集合记号表示为xx?x0??，或用区间表示为??

(x0??,x0??)。

如果点x0的?邻域U(x0,?)不包括点x0，则称为点x0的去心邻域，记作U0(x0,?)，0x?x0??。 也可用集合记号表示为x??

例 用邻域符号和区间符号分别表示不等式2x??

轴上。 解：由2x???2(??0)所确定的范围，并描绘在数?

2得x?1?1?1??，即x?(?)?。所以它表示以?为中心、以?为242424

1?,)。 24半径的邻域，用邻域符号表示为U(?

由x?1?1?1?1?1??得???x???，所以用区间符号表示为(??,??)。 2424242424

作业/课后反思 证明2不是有理数。

§2微积分的研究对象——函数

1.1函数

在某个问题的研究过程中，保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。函数就是刻画变量间在运动变化中相依关系的数学模型。

例1 心理学研究表明，小学生对新概念的接受能力G（即学习兴趣、注意力、理解力的某种量度）随学习时间t的变化规律为

G(t)??0.1t2?2.6t?43

定义 如果在某个变化过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y?f(x)，x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Y叫做函数的值域。

函数定义表明了函数模型的结构，它由定义域、对应法则和值域三个要素所构成。定义域和对应法则是主导要素，值域是派生要素。这一模型如同一部机器，把X中的任意原材料x输入f()，便能产出实数y?Y。

由中学内容可知函数的表示法通常有三种，即解析法、图像法、表格法。

例2 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要指标。

联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困。试以图像法表示国民富裕程度。