大学文科数学_2015极限g

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

2015年高考全国卷2文科数学试题及答案（word精校版）含详细解析一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},则A B=A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）【答案】A【解析】试题分析：因为彳={x|-l<x<2},3={x|0<x<3},所以火汕={*|一1<*<3}.故选人.考点：集合运算.【名师点睛】本题属基础题，主要考查数列的交集运算。

2.若为a实数，且?+=3+i,则a=1+iA.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得2+tri=（l+i）（3+i）=2+4ina=4,故选D.考点：复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等，难度不大，但要注意运算的准确性。

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图可知2006年以来，我国二氧化碳排放童基本成i走诚趋势，所以二氧化碳援放童与年份负相关，故选D.考点：柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解，要求学生能从图中读出有用信息，背景比较新颖。

4,己知«=(0,-1),*=(-1,2),贝i](2a+6)-a=A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】试题分析：由题意可得«2=1,a b=-2,所以(2a+b)a=2a1+a b=2-2=0.考点：向量数量积。

【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题。

5.设&是等差数列｛%｝的前"项和，若tZ]+O,+a5=3,则S5=A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】试题解析：％+%+%= 3% = 3 => % = 1，S)=---------= 5角=5.考点：等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前〃项和公式，具有小、巧、活的特点。

课程名称：大学文科数学授课班级：XX级XX班授课时间：2课时教学目标：1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。

2. 能够运用极限解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

教学重点：1. 极限的概念。

2. 极限的计算方法。

教学难点：1. 极限概念的理解。

2. 极限计算中的复杂性。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初等数学中的极限概念，引导学生思考极限在现实生活中的应用。

2. 引出本节课的主题——大学文科数学中的极限。

二、新课讲解1. 极限的概念：- 介绍极限的定义，包括数列极限和函数极限。

- 通过实例讲解极限的概念，如函数在一点处的极限、数列的极限等。

- 强调极限在数学中的重要性，以及它在其他学科中的应用。

2. 极限的计算方法：- 讲解直接计算法、夹逼法、洛必达法则等极限计算方法。

- 通过实例演示这些方法的运用，使学生掌握计算技巧。

三、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习中遇到的问题。

四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容，强调极限的概念和计算方法。

2. 引导学生思考极限在实际问题中的应用。

第二课时一、复习1. 复习上一节课的内容，检查学生对极限概念和计算方法的掌握情况。

2. 学生分享自己在练习中的心得体会。

二、深化讲解1. 讲解极限计算中的难点问题，如分段函数的极限、无穷小量与无穷大量等。

2. 通过实例讲解如何处理这些难点问题。

三、课堂练习1. 学生完成课后习题，进一步巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习中遇到的问题。

四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容，强调极限在数学和其他学科中的应用。

2. 鼓励学生在生活中发现极限的应用，提高数学素养。

教学反思：1. 本节课通过实例讲解，使学生更好地理解极限的概念和计算方法。

2. 在课堂练习中，教师应关注学生的个体差异，给予个别指导。

3. 鼓励学生在生活中发现极限的应用，提高数学素养。

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U . 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=.【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(xx +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r rr rrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f s i n )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为. 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米， 所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-= 由题意知31216|1|32=+-k k ， 解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x km y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=， 同理2222222)(211m k k k m x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=， 整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，由题意知S 与k 无关， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a≠，且 1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,41(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n n λλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nm a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ， 由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ； • 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年天津，文1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5A = ，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B =I ð（ ）（A ）{}3 （B ）{}2,5 （C ）{}1,4,6 （D ）{}2,3,5 【答案】B 【解析】{2,3,5}U B =ð，所以{2,5}U A B =I ð，故选B ．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．（2）【2015年天津，文2】设变量,x y 满足约束条件2020280x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）14 【答案】C【解析】解法一：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由3z x y =+得3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图像可知当直线3y x z =-+过点A 时，3y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由20280x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3A ，代入目标函数3z x y =+得3239z =⨯+=，即目标函数的3z x y =+的最大值为9，故选C ．解法二：()()5132289922z x y x x y =+=-++-+≤，当2,3x y ==时取得最大值9，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2015年天津，文3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======，故选C ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，属于基础题．（4）【2015年天津，文4】设x R Î，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，则“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．（5）【2015年天津，文5】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为（ ）（A ）221913x y -= （B ）221139x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=，与圆()2223x y -+=相切得：223a b =+，由222c a b =+=，由此可解得1,3a b ==，所以双曲线方程为2213y x -=，故选D ．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出,a b 的值，是解题的关键．（6）【2015年天津，文6】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N ．若2,4,3CM MD CN ===，则线段NE 的长为（ ）（A ）83（B ）3 （C ）103 （D ）52 【答案】A【解析】由相交弦定理可知AM MB CM MD ⋅=⋅，CN NE AN NB ⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB ⋅=⋅，CN NE CM MD ∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A ．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．（7）【2015年天津，文7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<【答案】B【解析】因为函数()21x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以 221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭ ()2log 52log 5214b f ==-=，()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选B ．【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．（8）【2015年天津，文8】已知函数()()22222x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()32g x f x =--，若函数()()y f x g x =-的零点个数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】A【解析】解法一：当0x <时，()22f x x -=，此时方程()()21f x g x x x -=--+的小于0的零点为15x +=-，当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=，()()22f x g x x x -=-+=无零点，当2x >时，()2224f x x x -=--=-，方程()()2222733f x x x x x -=-+-=--大于2零点有一个，故选A ．解法二：Q ()()32g x f x =--，∴()()()()32y f x g x f x f x =-=-+-，由()()320f x f x -+-=，得：()()23f x f x +-=，设()()()2h x f x f x =+-，若0x ≤，则0x -≥，22x -≥，则()()()222h x f x f x x x =+-=++；若02x ≤≤，则20x -≤≤，022x ≤-≤，则()()()22222222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=；若2x >，0x -<，20x -<，则()()()()22222258h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+．E D OA BM N即()2220202582x x x h x x x xx x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩，故函数()()y f x g x =-的零点个数为2个，故选A ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2015年天津，文9】i 是虚数单位,计算12i2i-+的结果为 ．【答案】i -【解析】()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++． 【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查． （10）【2015年天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】83π【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目． （11）【2015年天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '=，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键． （12）【2015年天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值． 【答案】4【解析】()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭，当2a b =时取等号，结合0a >，0b >，8ab =可得4, 2.a b ==【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题． （13）【2015年天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ． 【答案】2918【解析】解法一：因为19DF DC λ=u u u r u u u r ，12DC AB =u u u r u u u r ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，AE AB BE AB BC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918． A D C E解法二：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=o ，得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u ur u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r221111129131218331818AB AD BC AD AB BC AB =⋅+⋅++⋅=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．（14）【2015年天津，文14】已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤，且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2ππ42ωω+=⇒=． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2015年天津，文15】（本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：（Ⅰ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （Ⅱ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ，共15种．（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题． （16）【2015年天津，文16】（本小题满分13分）ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆ 的面积为，2b c -=，1cos 4A =-．（Ⅰ）求a 和sin C 的值；（Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（Ⅰ）ABC ∆中，由1cos 4A =-，得sin A =由1sin 2bc A =得24bc =，又由2b c -=，解得6,4b c ==由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =．（Ⅱ）)2cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A πππ⎛⎫+=-=--= ⎪⎝⎭【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．（17）【2015年天津，文17】（本小题满分13分）如图,已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，BC =，17AA =，127BB =点E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ； （Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ； （Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．解：（Ⅰ）证明：如图，连接1A B ，在△1A BC 中，因为E 和F 分别是BC ，1A C 的中点，所以1//EF BA ，又因为EF ⊄平面11A B BA ，所以//EF 平面11A B BA ．（Ⅱ）因为AB AC =，E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，所以1BB ⊥平面ABC ，从而1BB AE ⊥，又1BC BB B =I ，所以AE ⊥平面1BCB ，又因为AE ⊂平面1AEA ， 所以平面1AEA ⊥平面1BCB ．（Ⅲ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，因为N 和E 分别为1B C 和BC 中点，所以1//NE BB ，112NE BB =，故1//NE AA ，1NE AA =，所以1//A N AE ，1A N AE =．又因为AE ⊥平面1BCB ，所以12A N AE ==，因为1//BM AA ，1BM AA =，所以1//A M AB ，1A M AB =， 又由1AB BB ⊥，有11A M BB ⊥，在11Rt A MB ∆中，可得114A B =．在11Rt A NB ∆中，11111sin 2A N AB N A B ∠==，因此1130A B N ∠=︒，所以直线11A B 与平面1BCB 所成角为30︒．【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题． （18）【2015年天津，文18】（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b ｛｝的前n 项和．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ,由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 得42280q q --=，解得2,2q d ==，所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ，{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）有()1212n n c n -=-，设{}n c 的前n 项和为n S ，则()0121123252212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L ， ()1232123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，两式相减得()()2312222122323n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-L ，所以()2323n n S n =-+．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．（19）【2015年天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55．（Ⅰ）求直线BF 的斜率；（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ，||=||PM MQ l ． （i ）求l 的值；（ii ）若75||sin =9PM BQP Ð，求椭圆的方程．解：（Ⅰ）(),0F c -，由已知55c a =及222a b c =+，可得5,2a c b c ==，又因为()0,B b ，故直线BF 的斜率()020b bk c c-===--．（Ⅱ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ，（i ）由（Ⅰ）可得椭圆方程为2222154x y c c +=，直线BF 的方程为22y x c =+，两方程联立消去y 得：2350x cx +=，解得53P c x =- ．因为BQ BP ⊥，所以直线BQ ，方程为122y x c =-+，与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -=，解得4021Q cx =．又因为PM MQ λ=，及0M x =得78M P P Q M Q x x x x x x λ-===-．（ii ）由（i ）得78PM MQ=，所以777815PM PM MQ ==++，即157PQ PM =，又因为||sin PM BQP Ð所以=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP ?．又因为4223P P y x c c =+=-，所以BP ==，1c =， 所以椭圆方程为22154x y +=．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．（20）【2015年天津，文20】（本题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-?（Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：132143ax x -<-+．解：（Ⅰ）由4()4f x x x =-，可得3()44f x x ¢=-，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞． （Ⅱ）设()0,0P x ，则1304x =，()012f x '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-，()()()00g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，()()()()0F x f x f x x x '=--，则()()()0F x f x f x '''=-．由于3()44f x x =-在(),-∞+∞单调递减,故()F x '在(),-∞+∞单调递减,又因为()00F x '=，所以当 ()0,x x ∈-∞时，()0F x '>，所以当()0,x x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,x -∞单调递增，在()0,x +∞ 单调递减，所以对任意的实数x ，()()00F x F x ≤=，对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £．（Ⅲ）由（Ⅱ）知13()12(4)g x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得132412ax '=-+．因为()g x 在(),-∞+∞单调递减．又由（Ⅱ）知()()()222g x f x a g x '≥==，所以22x x '≤．类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线为()y h x =，可得()4h x x =，对于任意的(),x ∈-∞+∞，有()()40f x h x x -=-≤，即()()f x h x ≤．设方程()h x a =的根为1x '，可得14ax '=．因为()4h x x =在(),-∞+∞单调递增，()()()111h x a f x h x '==≤．因此11x x '≤，所以13212143ax x x x ''-≤-=-+． 【评析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） （3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)1 / 15绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,32．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4．已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○7．已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 4D.38．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.810．已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.36π B. 64π C.144π D. 256π11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）12．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)3 / 15第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．已知函数()32f x ax x=-的图像过点（-1,4）,则a= ．14．若x,y 满足约束条件50210210x yx y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为 ．15．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ．三、解答题（题型注释）17．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. （Ⅰ）求sin sin BC∠∠ ；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数 2814106（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于70分70分到89分 不低于90分…○…………线………题※※…○…………线………满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19．（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D-中AB=16,BC=10,18AA=,点E,F分别在1111,A B D C上,114.A E D F==过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>,点(在C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.21．（本小题满分12分）已知()()ln1f x x a x=+-.（Ⅰ）讨论()f x的单调性；（Ⅱ）当()f x有最大值,且最大值大于22a-时,求a的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（Ⅰ）证明EF BC；（Ⅱ）若AG等于圆O半径,且AE MN==求四边形EBCF的面积.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,x tCy tαα=⎧⎨=⎩（t为参数,且0t≠）,其中0απ≤<,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:.C Cρθρθ==（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d均为正数,且a b c d+=+.证明：（Ⅰ）若ab cd> ,>>a b c d-<-的充要条件.第7页共8页◎第8页共8页2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)1 / 15参考答案1．A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3． D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a ba a ab .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．A 【解析】试题解析：由13533331a a a a a ++==⇒=,所有()15535552a a S a +===.故选A. 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用. 6．D 【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I. 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U I . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=. 【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r r r rrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为. 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+yx ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=； （2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=， 同理2222222)(211m k k km x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ， 由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021640182222m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S .所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(aa a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

绝密★启用前 2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,32．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4．已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.81B.71C.61D.57．已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.334D.38．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.11C.21D.810．已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.36π B. 64π C.144π D. 256π11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）12．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．已知函数()32f x ax x=-的图像过点（-1,4）,则a=．14．若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为．15．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为． 16．已知曲线lny xx =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a=．三、解答题（题型注释）17．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. （Ⅰ）求sin sin BC∠∠ ；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数 2814106（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19．（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB=16,BC=10,18AA =,点E,F 分别在1111,A B DC上,11 4.A E D F ==过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,点(在C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 中点为M,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21．（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.（Ⅰ）证明EFBC ；（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB最大值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（Ⅰ）若ab cd > ,>>a b c d-<-的充要条件.参考答案1．A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3． D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a ba a ab .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．A 【解析】试题解析：由13533331a a a a a ++==⇒=,所有()15535552a a S a +===.故选A. 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用. 6．D 【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 7．B 【解析】试题分析：△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线1x =上,设圆心D ()1,b ,由DA=DB得3b b =⇒=,所以圆心到原点的距离3d ==. 故选B. 考点：本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式. 8．B 【解析】试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术. 9．C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C. 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.【解析】试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为212R ,三棱锥O ABC - 体积最大时,C 到平面AOB 距离最大且为R,此时313666V R R ==⇒= ,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 11．B 【解析】试题分析：由题意可得ππππ12424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可排除C,D ；当π04x <<时点P 在边BC 上，tan PB x =，PA =，所以()tan f x x =可知π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时图像不是线段,可排除A,故选B. 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 12．A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()()2212121212113f x f x f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 13．-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x=-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：本题主要考查利用函数解析式求值.【解析】试题分析：不等式组50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域是以()()()1,1,2,3,3,2为顶点的三角形区域,2z x y =+的最大值必在顶点处取得,经验算,3,2x y ==时max 8z =. 考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力.15．2214x y -= 【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为12y x =±,可设双曲线的方程为224x y m -= ,把(代入224x y m -=得1m =.所以双曲线的方程为2214x y -=.考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力. 16．8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 17．（Ⅰ）12；（Ⅱ）30. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）由诱导公式可得()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2s i n s i n B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 18．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得()A P C 的估计值为0.6,()B PC 的估计值为0.25.,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 试题解析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记A C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；B C 表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=,()B PC 的估计值为()0.0050.02100.25.+⨯=,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计. 19．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97 或79【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97 或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作,EM AB ⊥ 垂足为M,则14AM A E ==,112EB =,18EM AA ==,因为EHGF 是正方形,所以10EH EF BC ===,于是6,10, 6.MH AH HB ====因为长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97 （79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.20．（Ⅰ）2222184x y +=（Ⅱ）见试题解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由2242,1,2a a b=+=求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.k x kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k==-12OM k k ⇒⋅=-.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有2242,1,2a a b =+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=. （Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b=+代入2222184x y +=得()222214280.k x kbx b +++-=故12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==- 即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.21．（Ⅰ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；（Ⅱ）()0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111l n1l n 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122l n 10f a a aa ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.22． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明EFBC ,可证明,AD BC ⊥AD EF ⊥；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求. 试题解析：（Ⅰ）由于△ABC 是等腰三角形,,AD BC ⊥ 所以AD 是CAB ∠的平分线,又因为圆O 与AB,AC 分别相切于E,F,所以AE AF =,故AD EF ⊥,所以EFBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为圆O 的弦,所以O 在AD 上,连接OE,OF,则OE AE ⊥,由AG 等于圆O 的半径得AO=2OE,所以30OAE ∠=,因此,△ABC 和△AEF 都是等边三角形,,因为AE =,所以4,2,AO OE == 因为2,OM OE ==12DM MN == 所以OD=1,于是AD=5,AB = 所以四边形DBCF的面积为(221122⨯-⨯=⎝⎭考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.23．（Ⅰ）()30,0,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4.试题分析：（Ⅰ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 进一步求出点A 的极坐标为()2si n ,αα,点B 的极坐标为(),αα,,由此可得2sin 4sin 43AB πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭.试题解析：解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=,联立两方程解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以2C 与3C 交点的直角坐标()30,0,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 其中0απ≤< ,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B的极坐标为(),αα,所以2sin cos 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56πα=时AB 取得最大值,最大值为4.考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值. 24． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.解：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++由题设a b c d +=+,ab cd >,得22>,>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d-<-,则()()22a b c d -<-,即()()2244,a b ab c d cd +-<+- 因为a b c d +=+,所以ab cd >,>（ⅱ）若>,则22>,即a b c d ++>++因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是()()()()222244,a b a b a b c d c dc d-=+-<+-=-因此a b c d-<-,综上a b c d-<-的充要条件.考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学（文）试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21( ) A.( −1，3) B.( −1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)2.若a 实数，且=+=++a i iai则,312( ) A.-4 B. -3 C. 3 D. 43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。

4.已知向量=•+-=-=则（2),2,1(),1,0(( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 25.设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则( )A. 5B. 7C. 9D. 116.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )2700260025002400210020001900)A.81 B.71 C. 61D. 51 7.已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. 35B. 321C. 352D. 348.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为( )A. 0B. 2C. 4D.149.已知等比数列{}=-==24531),1(4,41a a a a a a n 则满足( ) A. 2 B. 1 C. 21D. 8110.已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD.256π11.如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠( )12.设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11)1ln()(2->+-+= ( )A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞YC. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞Y二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13.已知函数=-=a x ax x f ），则的图像过点（4,1-2)(3 。

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B =UA ．(1,3)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且231aii i+=++，则a = A ．-4B ．-3C ．3D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年A ．-1B ．0C ．1D ．35．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．18B ．17C ．16 D ．157．已知三点(1,0)A，B，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53BCD ．438．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|32A x x n ==+，}n N ∈，{6B =，8，10，12，14}，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】1E ：交集及其运算 【专题】5J ：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：{|32A x x n ==+，}{2n N ∈=，5，8，11，14，17，}⋯， 则{8AB =，14}，故集合AB 中元素的个数为2个，故选：D ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，则向量(BC = ) A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)【考点】9J ：平面向量的坐标运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段AB ，然后由BC AC AB =-求之．【解答】解：由已知点(0,1)A ，(3,2)B ，得到(3,1)AB =，向量(4,3)AC =--， 则向量(7,4)BC AC AB =-=--； 故选：A ．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．3．（5分）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则(z = ) A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得1z -，进一步求得z ． 【解答】解：由(1)1z i i -=+，得21(1)11i i i z i i i+-+-===--， 2z i ∴=-．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为() A ．310B ．15C ．110D ．120【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】5I ：概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种，其中只有(3，4，5)为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110． 故选：C ．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则||(AB = ) A ．3B ．6C ．9D ．12【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合；KI ：圆锥曲线的综合【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A ，B 坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点(,0)c 与抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)重合，可得2c =，4a =，212b =，椭圆的标准方程为：2211612x y +=，抛物线的准线方程为：2x =-，由22211612x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =±，所以(2,3)A -，(2,3)B --．||6AB =．故选：B ．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π=，解得16r π=，故米堆的体积为21116320()5439ππ⨯⨯⨯⨯≈，1斛米的体积约为1.62立方，∴3201.62229÷≈， 故选：B ．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10(a =) A ．172B ．192C ．10D ．12【考点】83：等差数列的性质【专题】11：计算题；4O ：定义法；54：等差数列与等比数列 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， 118743814(4)22a a ⨯⨯∴+⨯=⨯+， 解得112a =． 则101199122a =+⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 【考点】HA ：余弦函数的单调性 【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间．【解答】解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+． 由224k x k πππππ++剟，求得132244k x k -+剟，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的(n = )A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】EF ：程序框图【专题】5K ：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体后，12S =，14m =，1n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，14S =，18m =，2n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，18S =，116m =，3n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，116S =，132m =，4n =，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，132S =，164m =，5n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，164S =，1128m =，6n =，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，1128S =，1256m =，7n =，满足退出循环的条件； 故输出的n 值为7， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知函数1222,1()(1),1x x f x log x x -⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…，且f （a ）3=-，则(6)(f a -= )A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-【考点】3T ：函数的值【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用 【分析】利用分段函数，求出a ，再求(6)f a -． 【解答】解：由题意，1a …时，1223α--=-，无解； 1a >时，2log (1)3a -+=-，7α∴=，117(6)(1)224f a f --∴-=-=-=-．故选：A ．【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为)r 组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则(r = )A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】!L ：由三视图求面积、体积 【专题】5Q ：立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+， 又该几何体的表面积为1620π+， 22541620r r ππ∴+=+，解得2r =，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则(a = ) A ．1-B ．1C ．2D ．4【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用【分析】先求出与2x a y +=的反函数的解析式，再由题意()f x 的图象与2x a y +=的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数()f x 的解析式，问题得以解决． 【解答】解：与2x a y +=的图象关于y x =对称的图象是2x a y +=的反函数， 2log (0)y x a x =->，即2()log g x x a =-，(0)x >．函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称， 2()()log ()f x g x x a ∴=--=--+，0x <，(2)(4)1f f -+-=， 22log 2log 41a a ∴-+-+=，解得，2a =， 故选：C ．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = 6 ． 【考点】89：等比数列的前n 项和【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由12n n a a +=，结合等比数列的定义可知数列{}n a 是12a =为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：12n n a a +=，∴12n na a +=， 12a =，∴数列{}n a 是12a =为首项，以2为公比的等比数列，11(1)2(12)22126112n n n n a q S q +--∴===-=--，12128n +∴=， 17n ∴+=， 6n ∴=．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．14．（5分）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1 ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，f '（1）31a =+，而f （1）2a =+，切线方程为：2(31)(1)y a a x --=+-，因为切线方程经过(2,7)， 所以72(31)(21)a a --=+-， 解得1a =． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力． 15．（5分）若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………，则3z x y =+的最大值为 4 ．【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(1,1)B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3114⨯+=． 故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(0A ，．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为【考点】KC ：双曲线的性质【专题】11：计算题；26：开放型；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F '是左焦点，则APF ∆周长|||||||||A F A P P F A F A P P F=++=++'+ ||||2(AF AF A +'+…，P ，F '三点共线时，取等号），直线AF '的方程为13x =-与2218y x -=联立可得2960y +-=，P ∴的纵坐标为APF ∴∆周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P 的坐标是关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）设90B =︒，且a ，求ABC ∆的面积． 【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理 【专题】58：解三角形【分析】2()sin 2sin sin I B A C =，由正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出． ()II 利用()I 及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：2()sin 2sin sin I B A C =， 由正弦定理可得：10sin sin sin a b c A B C k===>， 代入可得2()2bk ak ck =， 22b ac ∴=， a b =，2a c ∴=，由余弦定理可得：222222114cos 12422a a a a cb B ac a a +-+-===⨯． ()II 由()I 可得：22b ac =， 90B =︒，且a =2222a c b ac ∴+==，解得a c == 112ABC S ac ∆∴==．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若120ABC ∠=︒，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -【考点】LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY ：平面与平面垂直 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC ⊥平面BED ； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥，BE ⊥平面ABCD ，AC BE ∴⊥，则AC ⊥平面BED ， AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB x =，在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，得A G G C==，2xGB GD ==，BE ⊥平面ABCD ，BE BG ∴⊥，则EBG ∆为直角三角形，12EG AC AG ∴===，则BE ==，三棱锥E ACD -的体积311632V AC GD BE =⨯==解得2x =，即2AB =， 120ABC ∠=︒，22212cos 44222()122AC AB BC AB BC ABC ∴=+-=+-⨯⨯⨯-=，即AC ==在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE EC ED ==， AE EC ⊥，EAC ∴∆为等腰三角形，则22212AE EC AC +==， 即2212AE =， 26AE ∴=，则AE ，∴从而得AE EC ED ===EAC ∴∆的面积11322S EA EC =⨯=⨯=，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF AD ⊥于F ，则AE ，112122AF AD ==⨯=，则EF =EAD ∴∆的面积和ECD ∆的面积均为122S =⨯，故该三棱锥的侧面积为3+【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：)t 和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1i y i =，2，⋯，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =，8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：()i 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1(u 1)v ，2(u 2)..(n v u ⋯ )n v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【考点】BK ：线性回归方程 【专题】5I ：概率与统计【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w ，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决；（Ⅲ）()i 年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可， ()ii 求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于108.8ˆ681.6d==， ˆˆ56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+， 因此y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ （Ⅲ）()i 由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+， 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=，()ii 根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.620.12z x x =+-=-+，13.66.82==时，即当46.24x =时，年利润的预报值最大． 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON =，其中O 为坐标原点，求||MN ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算；9J ：直线与圆的位置关系 【专题】26：开放型；5B ：直线与圆【分析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y kx =+，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点(0,1)A 的直线方程：1y kx =+，即：10kx y -+=． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径1R =．1<，k <<过点(0,1)A 的直线与圆22:(2)(3)1C x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设1(M x ，1)y ；2(N x ，2)y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y k x =+，代入圆C 的方程22(2)(3)1x y -+-=， 可得22(1)4(1)70k x k x +-++=， 1224(1)1k x x k +∴+=+，12271x x k =+， 212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++2222274(1)12411111k k k k k k k k +++=++=+++， 由2121221248121k k OM ON x x y y k++=+==+，解得1k =， 故直线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=． 圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以||2MN =．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．21．（12分）设函数2()x f x e alnx =-． （Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2()2f x a aln a+…．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E ：利用导数研究函数的最值【专题】26：开放型；53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当0a …时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出； （Ⅱ）设导函数()f x '在(0,)+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值0()f x ，只要最小值大于22a alna+，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）2()x f x e alnx =-的定义域为(0,)+∞， 2()2x af x e x∴'=-． 当0a …时，()0f x '>恒成立，故()f x '没有零点， 当0a >时，2x y e =为单调递增，ay x=-单调递增，()f x ∴'在(0,)+∞单调递增，又f '（a ）0>，假设存在b 满足02a b ln <<时，且14b <，f '（b ）0<，故当0a >时，导函数()f x '存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数()f x '在(0,)+∞上的唯一零点为0x ， 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0()x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在0(0,)x 单调递减，在0()x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ， 由于02020x ae x -=， 所以00022()222a f x ax aln a aln x a a=+++…． 故当0a >时，2()2f x a aln a+…．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若OA =，求ACB ∠的大小．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明 【专题】5B ：直线与圆【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由射影定理可得关于x的方程2x =x 值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥， 在RT ABC ∆中，由已知可得DE DC =，DEC DCE ∴∠=∠， 连接OE ，则OBE OEB ∠=∠，又90ACB ABC ∠+∠=︒，90DEC OEB ∴∠+∠=︒， 90OED ∴∠=︒，DE ∴是O 的切线；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得AB =BE 由射影定理可得2AE CE BE =，2x ∴=42120x x +-=，解方程可得x =60ACB ∴∠=︒【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【考点】4Q ：简单曲线的极坐标方程 【专题】5S ：坐标系和参数方程【分析】（Ⅰ）由条件根据cos x ρθ=，sin y ρθ=求得1C ，2C 的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入240ρ-+=，求得1ρ和2ρ的值，结合圆的半径可得22C M C N ⊥，从而求得△2C MN 的面积2212C M C N 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为：22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=，求得1ρ=，2ρ=12||||MN ρρ∴=-=2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N ==．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【考点】5R ：绝对值不等式的解法 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >，即|1|2|1|1x x +-->， 即112(1)1x x x <-⎧⎨---->⎩①，或1112(1)1x x x -<⎧⎨+-->⎩…②，或112(1)1x x x ⎧⎨+-->⎩…③．解①求得x ∈∅，解②求得213x <<，解③求得12x <…． 综上可得，原不等式的解集为2(3，2)．（Ⅱ）函数12,1()|1|2||312,112,x a x f x x x a x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--=+--⎨⎪-++>⎩剟， 由此求得()f x 的图象与x 轴的交点A 21(3a -，0)， (21,0)B a +，故()f x 的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点(,1)C a a +， 由ABC ∆的面积大于6，可得121[21](1)623a a a -+-+>，求得2a >．故要求的a 的范围为(2,)+∞．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。