初升高衔接课数学教案及答案(总共8讲)

初升高衔接课数学教案（总共8讲）初高一衔接课：基本运算问题初高一衔接课：基本运算问题（一）绝对值一、知识梳理：⑴ 数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．⑵ 数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．⑶ 个负数比较大小，绝对值大的反而小．⑷ 个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<； ||(0)x a a x a >>⇔<-或x a >． ⑸ 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、例题讲解：例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．三、强化练习1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－1x原式=(+说明：本题若先从方程7∴-x x=⨯364∴+x x13此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．∴+x x5-=15∴-x x2此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符答案：1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --，(9)(3)x x -+， (5)()m n m n -+4．3(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)na ab a b +- ；2(3)(1)(23)x x x x -+-+；(2)(415),x y x y -+(772)(1)a b a b +++-5．2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++-23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．6．2837．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++8．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++初高一衔接课：基本运算问题初高一衔接课：基本运算问题（四）根式一、知识梳理：二次根式的性质（1）一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式． （2）二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩（3）二次根式的化简与运算二次根式的乘法：ab b a =),(0≥0≥b a ；二次根式的除法：先把除法写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算； 二次根式的加减法：合并同类二次根式． （4）其性质如下：（五）分式一、知识梳理：当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．二、例题讲解：【例1】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅ 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． 【例2】化简222396162279x x x x x x x x++-+-+--=61x -．【解法二】原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 【解】 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 例3 解不等式：13x x -+-＞4．【解法一】由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又3x ≥，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．【解法二】如图1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．∴x ＜0，或x ＞4．例4 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．【解】（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．13A B x4C D xP |x －1||x －3|图1－1－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．例5 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 【解】（1）32933x x x +++＝32(3)(39)x x x +++＝2(3)3(3)x x x +++ ＝2(3)(3)x x ++．或 32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++提 示熟练进行分解因式运算是高中数学的基本要求．＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-＝22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-． 或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．例6 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－. 【解】 （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++，1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．－1 1x y图1．2－5910+⨯(1)n n ++1910+⨯(910-1(1)n n ++(4n n -是正整数，(1)n n ++513．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14 ．答案 A 组 1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61- B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++．一次函数和反比例函数初高一衔接课：（一）一次函数和反比例函数一、基础知识梳理1、平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点． （2）点的坐标和象限．（3）平面直角坐标系内的对称点：设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点．① 若M 和'M 关于y 轴对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=⎩．② 若M 和'M 关于x 轴对称，则有1212x x y y =⎧⎨=-⎩．③ 若M 和'M 关于原点对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=-⎩．所以，22x =-，13y =-，则()2,3A -、()2,3B --． (3)因为A 、B 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数， 所以22x =-，13y =，则()2,3A 、()2,3B --．例2已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式．【解】∵B 是直线2+=kx y 与y 轴交点，∴B （0，2），∴OB ＝2， 1222AOB S AO BO AO ∆=⋅=∴=又， 2y kx =+又，过第二象限，(20)A ∴-，1120212x y y kx k y x =-==+=∴=+把，代入中得，例3反比例函数xk y 1-=与一次函数)1(+=x k y 只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【解】因直线)1(+=x k y 必过点()0,1-，所以选择（C ）、（D ）一定错误．又直线)1(+=x k y 与y 轴的交点为()k ,0，所以当1>k ，双曲线xk y 1-=必在第一、三象限． 故选（A ）例4 如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【解】（1）(13)A ，在ky x=的图象上， 3k ∴=，3y x∴=又(1)B n -，在3y x =的图象上，3n ∴=-，即(31)B --，，313m bm b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：1m =，2b =，反比例函数的解析式为3y x=，一次函数的解析式为2y x =+，（2）从图象上可知，当3x <-或01x <<时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值．例5 如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数xky =)>,>(00x k 的图象交于点A ．过A 作AB ⊥x 轴于B 点．若k 取1，2，3，…，20时，对应的Rt △AOB 的面积分别 为1S ，2S ，3S ，…，20S ，则1S ＋2S ＋3S ＋…＋20S ＝_ ．【解】过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线．x 轴、正比例函数图象及垂线所围成的三角形的面积是k 的 一半．于是 1S ＋2S ＋3S ＋…＋20S ＝22020121×)+(×＝105．例6 已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ,其中一次函数的图象经过()b a ,、()k b a ++,1两点. (1)求反比例函数的解析式;(2)若点A 坐标是()1,1,请问，在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在,把符合条件的点P 的坐标都求出来，若不存在，请说明理由． 【解】 (1)根据题意,得()⎩⎨⎧-+=+-=.112,12a k b a by xA OB图（12）ABOxy两式相减,得2=k .所以所求的反比例函数的解析式是xy 1=． (2)由勾股定理,得21122=+=OA ，OA 与x 轴所夹的角为︒45．①当OA 为AOP ∆的腰时，由OP OA =，得()0,21P ,()0,22-P ；由AP OA =,得()0,23P ．②当OA 为AOP ∆的底时，得()0,14P ． 所以,这样的点有4个，分别是()0,2、()0,2-、()0,2、()0,1．例7已知一次函数y ax b =+的图象经过点()3,32A +，()1,3B -，()2,C c -.求222a b c ab bc ca++---的值.【解】 由点点()3,32A +，()1,3B -，()2,C c -在次函数y ax b =+的图象上，于是有233+=+b a ，3=+b a ，c b a =+2，解得31,231,1a b c =-=-=，3,232,23a b b c c a ∴-=--=--=-.222a b c ab bc ca ++---＝()()()2221136 3.2a b b c c a ⎡⎤-+-+-=-⎣⎦例8如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图象上，B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点C 的坐标是 ．【解】 作AE ⊥OB 于E ，CF ⊥BD 于F ，易求OE ＝EB ＝1， 设BF ＝m ，则(2,3)C m m ---，代入3y x= 得2222210,2m m m -±+-==．D CB AOyx又0,12m m >∴=-+，∴点C 的坐标为 ()12,36---．四、课后巩固练习 A 组1．函数y kx m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）2．如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上，又知6AB =，22AD =，求,,B C D 点的坐标．3．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点P 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．B 组1．选择题如图是三个反比例函数y ＝1k x ，y ＝2kx ，y ＝3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1、k 2、k 3∴的大小关 系为（ ）A ．k 1＞k 2＞k 3B ．k 3＞k 2＞k 1C ．k 2＞k 3＞k 1D ．k 3＞k 1＞k 2 2．选择题xyO A ． xyO B ．xyO C ． xyO D ．OxAyByxO第2题 第3题yxCB AO yx图 1 OA B DC P4 9图 2如图，正比例函数kx y =和()0>=a ax y 的图象 与反比例函数()0>=k xky 的图象分别相交于A 点和 C 点.若AOB Rt ∆和COD Rt ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）（A ）1S >2S （B ）1S =2S （C ）1S <2S （D ）不能确定3．如图，已知Rt △ABC 的锐角顶点A 在反比例函数y ＝m x的 图象上，且△AOB 的面积为3，OB ＝3． （1）求点A 的坐标； （2）求函数y ＝mx的解析式； （3）若直线AC 的函数关系式为y ＝27x ＋87， 求△ABC 的面积．4．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发， 沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动 的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的 函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是( )A ．10B ．16C ．18D ．20C 组1．如图，如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数xpy =在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．已知反比例函数xmy 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，有21y y <，则m 的取值范围是___ __．3．已知点()a P ,1在反比例函数()0≠=k xky 的图象上，其中322++=m m a (m 为实数)，则这个函数的图象在第_____象限．4．已知3=b ，且反比例函数x b y +=1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点()3,a 在双曲线xby +=1上，则_____=a ．5．如果不等式0<+n mx 的解集是4>x ,点()n ,1在双曲线xy 2=上,那么一次函数 ()m x n y 21+-=的图象不经过第___象限.6．已知直线b kx y +=经过反比例函数xy 8-=的图象上两点()1,2y A 与()2,2x B ，则.______=kb五、参考答案与解析A 组 1． B2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）8k =．（2）点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．B 组 1．B2．B 解析：设()()2211,,,y x C y x A .则根据题意,k y x y x ==2211. 所以k y x AB OB S 212121111==×=， k y x CD OC S 212121222==×=．根据题意，把()4,2-A 、()2,4-B 两点的坐标代入直线b kx y +=中，得 ⎩⎨⎧=+--=+.24,42b k b k 解得⎩⎨⎧-=-=.2,1b k故()2121-=-=-k b ．二次函数初高一衔接课：（二）二次函数一、基础知识梳理1、二次函数的图像与性质（１）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的．其图像为①当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象是开口向上的抛物线，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；②当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba； （2）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质（1）； （2）．【解】 由于函数和的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． （1）因为二次函数中的二次项系数2＞0， 所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是． （2）因为二次函数中的二次项系数－1＜0， 所以抛物线有最高点，即函数有最大值． 因为=， 所以当时，函数有最大值．例3 （1）当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． （2）当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【解】 （1）作出函数21y x x =--+的图像（如右图），当1x =时，=max y －1，当2x =时，=min y －5． （2）作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的 图像（如右图），可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 849)43(22--x 43=x 5322--=x x y 849-432+--=x x y 432+--=x x y 432+--=x x y 425)23(2++-x 23-=x 432+--=x x y 425Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－＝－12，或a ＝12． 2．∴a所以，所求的函数为y ＝－12(x ＋二次2，或y ＝12(x ＋1)21)2＋－2．（3）设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 228842a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩，解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．故所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．例6二次函数bx ax y +=2和反比例函数by x=在同一坐标系中的图象大致是（ ）。