2020高考数学刷题首秧第二章函数导数及其应用考点测试9指数与指数函数文含解析

考点测试9 指数与指数函数

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度

考纲研读

1．了解指数函数模型的实际背景

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点

4．体会指数函数是一类重要的函数模型

一、基础小题

1．下列运算不正确的是( )

A．43－π4＝π－3 B．e2x＝(ex)2

C．3a－b3＝a－b D．ab＝a·b

答案 D

解析 当a，b小于0时，选项D不正确．其他均正确．故选D．

2．已知a>0，则下列运算正确的是( )

A．a34·a43＝a B．a34·a－34＝0

C．(a23)2＝a49 D．a13÷a－23＝a

答案 D

解析 由指数幂运算性质可得选项D正确．故选D．

3．计算：36a9463a94＝( )

A．a16 B．a8 C．a4 D．a2

答案 C

解析 36a9463a94＝(a918)4(a918)4＝a4．故选C．

4．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内( )

A．为增函数 B．为减函数

C．先增后减 D．先减后增

答案 A

解析 由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．故选A．

5．设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是( )

A．a>c>b B．a>b>c

C．c>a>b D．b>c>a

答案 A

解析 由题意，根据指数函数的性质可得0<2535<2525<1，根据幂函数的性质可得2525<3525，

∴a>c>b．故选A．

6．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )

A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)

答案 A

解析 当x＝1时，f(x)＝5．故选A．

7．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )

A．1<|a|<2 B．|a|<1

C．|a|>2 D．|a|<2

答案 C

解析 ∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1>1，即a2>2．∴|a|>2．故选C．

8．函数f(x)＝ax－1a(a>0，a≠1)的图象可能是(

)

答案 D

解析 当a>1时，将y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得f(x)＝ax－1a的图象，A，B都不符合；当0

9．已知函数f(x)满足对一切x∈R，f(x＋2)＝－1fx都成立，且当x∈(1，3]时，f(x)＝2－x，则f(2019)＝( )

A．14 B．18 C．116 D．132

答案 B

解析 由已知条件f(x＋2)＝－1fx可得f(x)＝－1fx－2，故f(x＋2)＝f(x－2)，易得函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2019)＝f(3＋504×4)＝f(3)，∵当x∈(1，3]时，f(x)＝2－x，∴f(3)＝2－3＝18，即f(2019)＝18．故选B．

10．下列说法中，正确的是( )

①任取x∈R都有3x>2x；

②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x；

③y＝(3)－x是增函数；

④y＝2|x|的最小值为1；

⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．

A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤

答案 B

解析 ①中令x＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x<0时，ax

11．求值：0．064－13－－590＋[(－2)3]－43＋16－0．75＋0．0112＝________．

答案 14380

解析 原式＝0．4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0．1＝104－1＋116＋18＋110＝14380．

12．函数y＝12x2－2x的值域为________．

答案 (0，2]

解析 ∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴0<12x2－2x≤12－1，即值域为(0，2]．

二、高考小题

13．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

答案 D

解析 令t＝2x＝3y＝5z，

∵x，y，z为正数，∴t＞1．

则x＝log2t＝lg tlg 2，同理，y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5．

∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3

＝lg tlg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，

∴2x＞3y．

又∵2x－5z＝2lg tlg 2－5lg tlg 5＝lg t2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5

＝lg tlg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，

∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．故选D．

14．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )

A．a

C．c

答案 C

解析 ∵f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，∴m＝0．∵a＝f(log123)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，log25>log23>0，而函数f(x)＝2|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f(log25)>f(log23)>f(0)，即b>a>c，故选C．

15．(2015·江苏高考)不等式2x2－x<4的解集为________．

答案 {x|－1

解析 不等式2x2－x<4可转化为2x2－x<22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x<2，解得－1

16．(2015·福建高考)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．

答案 1

解析 因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝1．函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示．因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1．

17．(2018·上海高考)已知常数a>0，函数f(x)＝2x2x＋ax的图象经过点Pp，65，Qq，－15．若2p＋q＝36pq，则a＝________．

答案 6

解析 由已知条件知f(p)＝65，f(q)＝－15，

所以 2p2p＋ap＝65，①2q2q＋aq＝－15，②

①＋②，得2p2q＋aq＋2q2p＋ap2p＋ap2q＋aq＝1，

整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，∴36pq＝a2pq，

又pq≠0，∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6．

三、模拟小题

18．(2018·河南安阳月考)化简a3b23ab2a14b1243ba(a>0，b>0)的结果是( )

A．ba B．ab C．a2b D．ab

答案 D

解析

原式＝a3b2a13b23ab2ba13＝a103b8312a23b73＝a53·b43a23b73＝ab－1＝ab．故选D．

19．(2018·福建厦门第一次质量检查)已知a＝120．3，b＝log120．3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是( )

A．a

C．a

答案 B

解析 ∵a＝120．3<1，b＝log120．3>log120．5＝1，∴ac，∴c

20．(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0．2与N＝1a0．1的大小关系是( )

A．M＝N B．M≤N

C．MN

答案 D

解析 因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0．2>1，N＝1a0．1<1，所以M>N，故选D．

21．(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝ex－1ex，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )

A．－∞，－43∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)

C．－∞，43∪(2，＋∞)D．(－∞，2)

答案 B

解析 函数f(x)＝ex－1ex的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－1e－x＝1ex－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)，故选B．

22．(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)＝2x1＋a·2x(a∈R)的图象关于点0，12对称，则a＝________．

答案 1

解析 由已知，得f(x)＋f(－x)＝1，即2x1＋a·2x＋2－x1＋a·2－x＝1，整理得(a－1)[22x＋(a－1)·2x＋1]＝0，当a－1＝0，即a＝1时，等式成立．

23．(2018·浙江丽水月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．