2019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(II)教学案苏教版必修4

1．将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
[解] (1)20°＝2108π0 rad＝π9 rad.
(2)－15°＝－1158π0 rad＝－1π2 rad.
7π (3)12
rad＝172×180°＝105°.
(4)－115π rad＝－151×180°＝－396°.
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是 72°，半径等于 20 cm”， 求扇形的面积．
[解] 设扇形弧长为 l，因为 72°＝72×1π80＝25π(rad)， 所以 l＝αr＝25π×20＝8π(cm)， 所以 S＝12lr＝12×8π×20＝80π(cm2)．
1．角度制：规定周角的_3_6_0__为 1 度的角，用度作为单位来度量角的
单位制叫做角度制．
2．弧度制：把长度等于半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，
记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
思考 1：“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示] “1 弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
[解] (1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－570×1π80＝－196π ＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝750×1π80＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第一象限．
(2)β1＝35π＝35π×1π80°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k·360°＜0°， 得 k＝－2，或 k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°.

2019-2020年高中数学第一章三角函数第10课时1.3.2三角函数的图象与性质（1）教案苏教版必修4【教学目标】一、知识与技能：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系二、过程与方法通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。

三、情感态度价值观：通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解动与静的辨证关系教学重点难点：几何法作正弦曲线【教学过程】一、新课讲解1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从⊙与轴的交点起，把⊙分成等份，过⊙上各点作轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；（2）把轴上这一段分成等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。

因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图，，象。

2．余弦函数的图象由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数， 与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由： 正弦曲线向左平移个单位得到，即：3．五点法作图：找出关键五点：平衡点、最高（低）点 ，；注意：（1）与函数的图象相同（2）将y=sinx 的图象向左平移即得y=cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：的五个点关键是： -4、正弦、余弦函数的定义域向左平移 个单位正、余弦函数的值域二、例题分析例1、作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(2)y=－cosx，x∈[0，2π]，例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：例3、求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）例4、求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1），；（2），．三、课堂小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图3.运用函数图象求解函数定义域.四、作业：1．用五点法作图：（1）y=1-sinx ， x∈ [0，2π] （2）y=3cosx，x∈[0，2π]（3）y=2sinx-1，x∈[0，2π] （4）y=sin|x|，x∈[-2π，2π]2．求函数定义域(1) (2) (3) (4) +3．求函数最值域并求出此时自变量的集合（1）；（2）（3）2019-2020年高中数学第一章三角函数第11课时1.3.2三角函数的图象与性质（2）教案苏教版必修4【教学目标】一、知识与技能：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数，和，的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的的集合。

sin y x =，x R ∈ π π- 2π- cos y x =，x R ∈ 2π 32π 2π- 32π- 1.3.2 三角函数的图像与性质（1）一、课题： 三角函数的图像与性质二、教学目标：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。

三、教学重、难点：几何法作正弦曲线。

四、教学过程：1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起，把⊙1O 分成12等份，过⊙1O 上各点作x 轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632ππππ等角的正弦线；（2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sin y x =，[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）且0k ≠的图象与函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。

2．余弦函数的图象 由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =， x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由： 正弦曲线向左平移2π个单位得到，即：向左平移 2π个单位3．五点法作图（1）sin y x =，[0,2]x π∈；（2），．五、课堂练习：六、小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图。

七、作业 2232π 2π π 2π。

1.2.2 同角三角函数关系同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin 2α＋cos 2_α＝1.2．商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .思考：sin 2α＋cos 2β＝1恒成立吗？ [提示] 不一定．1．思考辨析(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)若sin α＝12，则cos α＝32.( )[解析] (1)√.符合同角三角函数的关系．(2)×.等式sin α2cos α2＝tan α2的条件是⎩⎪⎨⎪⎧cos α2≠0，α2≠π2＋k π，k ∈Z ，即α≠π＋2k π，k ∈Z .(3)×.因为α的范围不明确，故cos α＝±1－sin 2α＝±32. [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知α是第二象限角，且cos α＝－13，则tan α＝________.－22 [∵α是第二象限角，∴sin α＞0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]3．已知tan α＝2，则cos α－5sin α3cos α＋sin α＝________.－95 [由tan α＝2知cos α≠0， 所以cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan α＝－95.]利用同角基本关系式求值【例1】 (1)已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值；(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． 思路点拨：(1)sin α＝－35―――――――→sin 2α＋cos 2α＝1求cos 2α――――――→讨论α所在的象限求cos α，tan α(2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．[解] (1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1625.如果α是第三象限角，那么cos α＜0. 于是cos α＝－1625＝－45， 从而tan α＝sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝34.如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，所以2sin αcos α－cos 2α＝－sin 2α－cos 2α＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－1.1．求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解] 法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15；当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255； 当α为第四象限角时，cos α＝55，代入①得sin α＝－255. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝sin αcos α，两边分别平方，得tan 2α＝sin 2αcos 2α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＝1cos 2α， 即cos 2α＝11＋tan 2α. 当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－11＋tan 2α＝－11＋(－2)2＝－55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝255. 当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝11＋tan 2α＝11＋(－2)2＝55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－255. 三角函数式的化简、求值【例2】 (1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin 2α－1. 思路点拨：(1)利用平方关系代换“1”―→ 构造完全平方――→开方化简求值 (2)切化弦―→化简求值 [解] (1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130° ＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.(2)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1.化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.2．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.[解] (1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.三角函数式的证明【例3】 求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x. 思路点拨：从左边利用“1＝sin 2x ＋cos 2x ”及平方差公式推右边便可． [解] ∵(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， ∴左边＝(sin x ＋cos x )2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝1＋tan x1－tan x＝右边．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin 2α＋cos 2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.3．证明下列三角恒等式：(1)tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α； (2)2sin αcos α(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)＝1＋cos αsin α. [证明] (1)左边＝sin αcos α·sin αsin αcos α－sin α＝sin 2αsin α－sin αcos α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α.右边＝1sin α＋1tan α＝1sin α＋cos αsin α＝1＋cos αsin α. ∴左边＝右边，等式恒成立．(2)左边＝2sin αcos α[sin α＋(cos α－1)][sin α－(cos α－1)]＝2sin αcos αsin 2α－(cos α－1)2＝2sin αcos αsin 2α－cos 2α－1＋2cos α ＝2sin αcos α2cos α(1－cos α)＝sin α1－cos α＝sin α(1＋cos α)(1－cos α)(1＋cos α)＝sin α(1＋cos α)sin 2α ＝1＋cos αsin α＝右边．所以原等式成立．“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系[探究问题]1．已知sin α±cos α的值，能求sin αcos α的值吗？反之呢？ 提示：设sin α±cos α＝m ，则(sin α±cos α)2＝m 2，即1±2sin αcos α＝m 2，所以sin αcos α＝±m 2－12.反之也可以，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，开方便可．2．已知sin α＋cos α的值，如何求sin α－cos α或cos α－sin α的值？ 提示：设sin α＋cos α＝t ，则1＋2sin αcos α＝t 2， 从而2sin αcos α＝t 2－1， ∴1－2sin αcos α＝2－t 2， 从而(sin α－cos α)2＝2－t 2，对上式开方便可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π.求：(1)sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．思路点拨：sin α＋cos α＝15――→平方求sin αcos α――――――→构造完全平方差公式求(sin α－cos α)2―――――――→0＜α＜π求sin α－cos α[解] (1)∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1＋2425＝4925.又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75.1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．教师独具1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用 (1)利用同角三角函数的基本关系求值；(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用． (3)三角函数式的化简与证明的方法．4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误．1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.512 B ．－512 C.125 D ．－125B [sin α＝－513，且α为第四象限角，故cos α＝1213，∴tan α＝－512.]2．已知tan α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π<α<32π，则cos α－sin α等于________． 3－12 [由tan α＝3⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2，得⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－32，cos α＝－12，∴cos α－sin α＝3－12.] 3．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.1 [∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2，∴tan α＋1＝4tan α－2， 即3tan α＝3，∴tan α＝1.]4．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．。