重心插值配点法及其应用

第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。

例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。

插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。

插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。

5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。

插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。

常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。

多项式求值方便，且有导数。

称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。

用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。

设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。

设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。

得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。

该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。

当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。

5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。

线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。

几何解释就是一条直线。

由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。

数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。

插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。

插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。

插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。

二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。

1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。

常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。

4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。

1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。

4 插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。

例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n及对应的值y0, y1,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。

插值核心问题是：插值函数的构造、插值函数的存在性、唯一性以及误差分析等。

图4.1 插值在CAD中的应用4.1 代数插值图4.2 插值一个基本的插值问题就是构造函数)(x f y =的近似表达式。

常用方法是构造n 次多项式)(x P n ，使i i n y x P =)(，n i ,,1,0 =。

作为)(x f 的近似表达式，称)(x P n 为)(x f 的插值函数，n x x x ,,,10 为插值节点。

以代数多项式作为工具来构造插值的方法叫做代数插值，代数插值的优点是基于多项式求值方便且连续可导的特性。

设n x x x <<< 10为插值节点，令n x b x a ==,0，称],[b a 为插值区间。

设插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件n i y x P i i ,,1,0,)( ==，得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i 2,1,0,110==+++⋅该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j jin nn nn nx x x x x x x x x x x D 0212110200)(111，D 为范得蒙行(Vandermonde)列式。

由于对于任何满足n i j ≤<≤0的j i ,，都有j i x x ≠，所以0≠D ，即该线性方程组有唯一解，故)(x P n 由n a a a ,,,10 唯一确定。

4.2 拉格朗日插值图4.3 线性插值与抛物线插值已知)(x f y =在给定节点10,x x 上的值为10,y y 。

线性插值就是构造一次多项式b ax x P +=)(1，使它满足条件001)(y x P =，111)(y x P =。

插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践,早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多,特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要,并得到了空前的发展。

2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3．代表性文献● 不等时距ＧM （1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) ２00８.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2００８．３● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑201０.10● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程1997● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报(自然科学版)200４.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ,i y ) （i=0,1,2，...n ）则存在唯一的多项式:2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++ 使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令:0011111nn n n n x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（４）有唯一解。

插值方法总结范文插值方法是一种用于预测未知数据点的方法，基于已知数据点之间的关系进行推断。

在统计学、计算机图形学、数据分析和地理信息系统等领域广泛应用。

插值方法可以大致分为确定性插值和随机插值两类。

1.确定性插值方法：a)线性插值：线性插值是一种最简单的插值方法，基于线性关系对两个已知数据点之间的未知点进行估计。

假设有两个已知数据点(x1,y1)和(x2,y2)，要估计点(x,y)的值。

可以通过以下公式计算：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)b)多项式插值：多项式插值利用多项式函数逼近已知数据点之间的未知点。

最常用的多项式插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值基于拉格朗日多项式，牛顿插值基于牛顿插值多项式，两者都可以计算未知点的值。

c)样条插值：样条插值方法通过逼近已知数据点之间的未知点来构建平滑的曲线。

常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。

2.随机插值方法：a)克里金插值：克里金插值是一种常用的随机插值方法，基于空间自相关性对未知点进行估计。

克里金插值假设未知点的值是空间上的一个随机变量，并通过不同的变差函数和半方差函数来进行预测。

b)泛克里金插值：泛克里金插值是克里金插值的扩展，可以处理非正定半方差函数和离散样本点，对于大规模数据有较好的适用性。

c)径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于径向基函数构建稀疏矩阵的插值方法。

径向基函数是一个以数据点为中心的函数，通过计算未知点与已知数据点之间的距离来进行估计。

插值方法的选择取决于数据的特点、插值的目的和要求。

线性插值简单且计算效率高，适用于均匀分布的数据。

多项式插值可以实现较高的精度，但在数据点密集的情况下容易产生振荡。

样条插值可以实现光滑曲线，在光滑性要求较高的应用中较为常用。

克里金插值适用于具有空间自相关性的数据，并且可以通过参数调整来达到不同的预测效果。

总之，插值方法是一种对未知数据点进行预测的有力工具。