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不同端部约束条件的轴心压杆弹性稳定综合分析法
方有珍;严鹏;刘占科
【期刊名称】《建筑技术开发》
【年(卷),期】2005(032)004
【摘要】工程结构构件在正常使用载荷作用下,根据结构的正常使用承载力极限状态的要求,必须满足力的平衡条件,即构件不发生失稳现象.而失稳本身会导致构件截面的材料力学性能不能被充分利用,构件的承载能力极度下降,为此在结构构件设计计算过程中应尽可能保证其不发生失稳破坏.针对不同端部约束条件的轴心受压构件构件失稳临界力分析问题,基于构件失稳破坏机理,结合构件的受力平衡和变形协调条件,提出了利用二阶平衡微分方程的综合分析方法,达到概念清晰、易于理解的效果.
【总页数】2页(P11-12)
【作者】方有珍;严鹏;刘占科
【作者单位】西安建筑科技大学,西安,710055;兰州理工大学土木工程学院,兰州,730050;西安建筑科技大学,西安,710055;西安建筑科技大学,西安,710055【正文语种】中文
【中图分类】TU313.1;TU323
【相关文献】
1.多个弹性支承上轴心受压杆件的弹性稳定 [J], 吴晓
2.局部应力差异对压杆弹性稳定的影响 [J], 李小珍;肖军;刘德军;刘晨光;张景峰;肖
林
3.不同约束条件下压杆屈曲载荷的统一矩阵计算方法 [J], 颜彩飞;刘庆潭
4.多个弹性支承上轴心受压杆件的弹性稳定 [J], 谭玮
5.变截面压杆弹性稳定的解析解 [J], 杨立军;邓志恒;吴晓;孙晋
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含端部弹性约束和铰支约束压杆的稳定性问题研究雷明伟;骆凯;史文谱【摘要】弹性压杆在工程中有广泛应用,压杆的失稳问题是压杆失效的重要原因之一,是压杆可靠性优化设计中需要重点关注的问题,临界载荷的计算方法和表达式是数学建模和优化的基础.本文针对含端部弹性约束和铰链支撑约束压杆的临界失稳问题进行探讨,提出了解析分析方法,得到的结果当弹性约束刚度系数分别为无穷大和零时,将分别简化为一端固定一端铰支和两端铰支的压杆临界失稳载荷计算结果,本文的分析方法和结论对含多个弹性约束的压杆失稳问题研究都有一定的参考意义.【期刊名称】《烟台大学学报（自然科学与工程版）》【年(卷),期】2018(031)002【总页数】5页(P153-157)【关键词】压杆稳定;弹性约束;临界载荷【作者】雷明伟;骆凯;史文谱【作者单位】烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台264005;烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台264005;烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台264005【正文语种】中文【中图分类】TB12压杆稳定问题是机械工程中广泛存在的问题,许多工程失效事故常常是由于压杆抗失稳能力不够造成的,比如大型桁架结构的局部坍塌、桥梁断裂事故、油压千斤顶、螺杆传动的压榨机构、含有连杆的传动机构等．文献[1]针对Q500qE高强度钢压杆稳定问题进行探讨,利用有限元软件Abaqus建立实体和壳单元压杆计算模型,数值分析中考虑了非线性、初始缺陷、焊接应力、杆件长细比及杆件截面形状等因素;文献[2]利用有限元软件ANSYS分析了初始挠度及中间弹性支承对压杆临界失稳载荷的影响问题;文献[3]针对常规有限元法不能得到稳定问题精确解的情况提出了新的压杆稳定单元,建立了精确单元形函数,利用迭代算法确定临界载荷和失稳模态．事实上,确定压杆临界载荷的方法除了上述有限元等数值计算方法外,还有微分方程求解法[4]、积分方程法[5]、微分变换法[6]、泰勒级数法[7]、重心插值配点法[8]、刚度判别法[9]以及可为压杆选用型材的图解算法[10]等．从上述列出文献以及其他未列出的参考文献来看,等截面压杆稳定性问题解析求解的难点在于压杆端部约束的类型和性质,目前两端固定、两端铰支、一端固定一端铰支、一端固定一端自由的压杆临界失稳载荷已经给出解析解[4],但有关含有端部弹性约束的压杆稳定性问题的解析研究却未见有论文发表,而实际上端部固定约束只是一种理想的力学模型,这是一种刚性约束,现实中是不存在的．为此本文采用近似挠度微分方程,通过设定合理的约束边界条件,利用求解微分方程的办法得到了确定压杆临界载荷的超越方程,再利用迭代的办法得到问题的解．当假设弹性约束刚度系数很大或很小时,问题将分别简化为人们熟知的一端固定一端铰支的压杆稳定性问题和两端铰支的压杆稳定性问题,得出的结论与已知结果是严格一致的,说明本文分析方法和结论是正确可行的,本文方法和研究思路对于其他类似约束性质的压杆稳定问题研究都具有理论参考意义．1 问题模型及理论分析如图1所示,一根均质等径压杆,长度为L,材料杨氏模量为E,截面惯性矩为I．其一端O处为弹性支撑(弹性刚度系数为K),另外一端A处为铰链支撑,受到图示轴向压力F的作用,发生如图1所示的弯曲变形．建立图示坐标系xOy,其中x轴沿着压杆原始位置时的轴心线方向,y轴垂直于压杆轴心线方向．按照材料力学分析方法以及有关物理量的符号规定,压杆任意位置x处的截面弯矩M(x)可表为M(x)=-Fw+T(x-L),(1)其中:w为压杆失稳弯曲变形挠度,T是由于压杆受到压缩作用失稳发生弯曲导致左端弹性约束处产生的抵抗弯矩M0的作用下为保证压杆静力平衡的右端支撑横向作用力．并假设F>0,T>0,即取两者的绝对值．图1 一端弹性约束一端铰支压杆的失稳变形Fig.1 Unstable deformation of buckling column with elasticside and pin support压杆挠度满足的近似微分方程为EIw″=M(x).(2)将方程(1)代入(2)中整理有EIw″+Fw=T(x-L),(3)或者w″+ FEI w= FEI (x-L).根据常微分方程理论,其解为通解w1(x)和特解w2(x)之和．通解w1(x)即为方程(3)对应的齐次常微分方程的解,可表为w1(x)=c1coskx+c2sinkx,(4)其中:k= FEI ,cj(j=1,2)为待定系数．按照非齐次常微分方程的求解方法和理论,根据现有问题的特点,可假设其特解为w2(x)=ax+b,(5)其中:a,b是2个待定系数．将方程(5)带入微分方程(3)中可得待定系数的解为a=T/F ,b=-TL/F .(6)这样微分方程(3)的全解为w(x)=c1coskx+c2sinkx+Tx/F-TL/F.(7)从图1可看出,问题的边界条件可表为w(0)=0 ,w(0)=-α ,w(L)=0 ,(8)其中:α是压杆左端面外法线转过的角度大小．此外根据压杆的静力平衡条件有Kα=T/L,(9)由此得T=Kα/L.(10)将方程(7)代入边界条件(8)中的第一个方程有c1=TL/F .此外,将方程(7)两边微分有w′(x)=-kc1sinkx+kc2coskx+T/F.(11)将方程(11)代入边界条件(8)中第2个边界条件有c2=(-T/F-α)/k.将方程(7)代入边界条件(8)中的第3个边界条件可得tg(kL)=-c1/c2= kL1+FL/K .(12)显然,作为特例,也是验证本文推导结论是否正确的一种方法,当K=∞时,即压杆左端为固定,这样原有的问题成为一端固定一端铰支的压杆问题,而该问题的结论是有的,结果是tg(kL)=kL.(13)当K=0时,即压杆左端也是铰链支撑,则有tg(kL)=0或者sin(kL)=0.(14)从方程(13)和方程(14)可看出,本文分析的问题的简化结果与文献[4]所给结论是一致的．为了下面讨论方便起见,假设β=kL,重新整理方程(12)有tg β= β1+EIβ2/(LK) =f(β,K).(15)2 算例结果及分析作为数值算例,假设压杆为45号钢制成,其比例极限为σp=280 MPa;E=210GPa;L=1.5 m,d=30 mm.欧拉公式可以应用的柔度下限为λ1=π E/σp =86.0,压杆约束介于一端固定一端铰支和两端铰支的情形之间,故有效长度系数(或长度因数)为μ∈(0.7,1.0),压杆截面为圆形,其截面惯性半径:L= I/S =d/4=7.5 mm ,其中:S是压杆横截面积．截面惯性矩:I=i2S=πd4/64=3.974×10-8 m4,EI=210×109×3.974×10-8=8 345.4 N·m2.计算柔度:λmin=μL/i=0.7×1.5/0.007 5=140>λ1.分别取:K=1,10,20 N·m·rad-1,K=100,200,300 N·m·rad-1,K=1 000,2 000,3 000 N·m·rad-1,K=104,2×104,3×104N·m·rad-1,K=105,2×105,3×105N·m·rad-1,K=106,2×106,3×106N·m·rad-1,计算结果分别如图2～7所示．在这些计算结果中,切线斜率最大的曲线是函数y=tg β的图像,其他曲线是函数y=f(β,K)的图像．从结果来看,随着K的增大,函数曲线从下向上依次排开,由于每一组K值仅仅取了3个数值,故每个图中都有3条曲线(不算正切曲线)．由于正切函数是周期函数,其最小正周期为π,在正实数轴范围内其间断点为jπ/2(j=1,3,5,7,…)．它在每个周期范围内均为单调增函数．从图2来看,由于刚度系数K较小,正切函数曲线和这些不同K值的函数f(β,K)曲线的交点都非常接近于零,这是一个平凡解,没有实际意义;但是根据压杆失稳的物理特性,压杆临界失稳力是客观存在的,所以只能从sinβ=0方程中得到解答;为了进一步说明问题,又给出了计算结果图3和图4,在β∈[0,π/2]范围内,情况与图1是类似的,只是函数f(β,K)的大小有所不一样,显然随着K的增大,函数f(β,K)的曲线呈现向上移动的趋势,但能够看出在K≤3 000 N·m·rad-1范围内,正切曲线y=tg β与函数f(β,K)在β∈[0,π]范围内除了坐标原点附近外不可能出现其他交点了,因此只能借助于方程sinβ=0来确定压杆的临界力了,即对于本文讨论的算例来说,K≤3 000 N·m/rad范围内,弹性约束端可看作铰链支撑约束了,即原来的一端弹性约束一端铰链约束的压杆稳定性问题可按照两端铰支约束压杆问题来处理．图2 函数y=tg β与函数y=f(β,K)的相交Fig.2 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with dif-ferent图3 函数y=tg β与函数y=f(β,K)的相交Fig.3 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with dif-ferent图4 函数y=tg β与函数y=f(β,K)的相交Fig.4 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with different当弹性刚度系数K≥104 N·m·rad-1时,结果如图5～7所示,函数f(β,K)与正切函数tg β在[π,3π/2)范围内有非零交点．容易看出,随着刚度系数K的增大,这个交点的横坐标和纵坐标都随着增大,即该交点向右上方移动,并且当K越来越大时,正切函数tg β曲线与函数f(β,K)的曲线的交点逐步稳定下来,其横坐标越来越接近于4.49,这说明当K增大到一定程度时,压杆原来的弹性约束端逐步演变为固定端约束了,这与前面的理论分析是一致的,而且容易看出来,当刚度系数K增大到一定程度时,函数f(β,K)就趋近于斜率为1的直线了,这与事实和理论分析是吻合的(如图7所示)．图5 函数y=tgβ与函数y=f(β,K)的相交Fig.5 Intersection of function y=tgβ and y=f(β,K) with dif-ferent图6 函数y=tgβ与函数y=f(β,K) 的相交Fig.6 Intersection of function y=tgβ and y=f(β,K) with dif-ferent图7 函数y=tg β与函数y=f(β,K) 的相交Fig.7 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with dif-ferent3 结论从前面的理论分析和数值算例来看,可得如下几个结论:(1)在弹性刚度系数K较大的范围内(比如对于本文算例来说,K≤3 000 N·m·rad),压杆弹性约束端可近似简化为铰链支撑约束,因而可利用两端铰支压杆的临界力公式[4]处理压杆失稳问题;(2)弹性约束刚度系数K对失稳临界力是有影响的,只是不特别敏感而已;随着刚度系数K的增大,临界失稳力是单调增加的;(3)当刚度系数K增大到一定程度时,它对压杆失稳临界力的影响逐步减弱,直到稳定下来(比如对于本文讨论的算例而言,K≥3×106 N·m·rad),K(β,K)的影响可以忽略了,使得K(β,K)→β．即原来的一端弹性约束一端铰链支撑约束压杆失稳问题可以高精度地近似看作一端固定一端铰链支撑约束压杆的稳定性问题了．(4)刚度系数K对于本文讨论的压杆失稳问题的临界载荷客观上还是有影响的,当这种影响不可忽略时,完全可按照本文得到的结果,进一步利用数值迭代方法得到相应失稳临界力的解答．参考文献:[1] 鞠晓臣, 田越, 赵欣,等. Q500qE高强钢压杆稳定研究[J]. 铁道建筑,2015(10):80-84.[2] 张晓霞, 钟文生, 姚远. 初始挠度及中间弹性支承对压杆稳定的影响分析[J]. 设计与研究, 2011,38(6): 1-4.[3] 任风鸣, 范学明. 弹性压杆稳定问题的精确解法[J]. 建筑科学, 2008, 24(3): 12-14.[4] 刘鸿文. 材料力学[M].第5版. 北京: 高等教育出版社, 2011, 290-303.[5] 陈春. 积分方程在压杆稳定中的应用[J]. 重庆建筑工程学院学报, 1991, 13(4): 74-78.[6] 禹金云, 胡辉. 微分变换在压杆稳定问题中的应用[J]. 湘潭师范学院学报(自然科学版), 2004,26(1): 38-40.[7] 张适, 谢冬梅. 求压杆稳定的临界力的数学方法[J]. 云南民族学院学报(自然科学版), 1996, 5(1): 25-30.[8] 于卫涛, 宋洁, 赵维霞. 轴向均布荷载压杆稳定问题的重心插值配点法[J]. 山东建筑大学学报, 2011,26(4): 353-355.[9] 周奇才, 李文军, 吴青龙,等. 空间压杆极值失稳轴向刚度判别法[J]. 机械强度,2016, 38(1):94-98.[10] 焦良. 为压杆选用型材的图解法[J]. 机械强度,1992,14(1): 64-65.。
