混沌动力学初步A陈关荣吕金虎

第２ ５卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ ［ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ｝ ０Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
＜１ Ｔｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｓｅ ． ． ｅ ｚ ｈ ｅ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｉｓｓ ｎ ｈ ｌ ｈ ｃ ｏ ｚ ｔ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｙ ｔｍｓ ｏ
与陈关 荣进 一步 发现 了 Ｌ 统 Ｊ不 久 ， 们 又 提 ｖ系 ， 他 出一个 统一 系统 ． 】并且 ， 量研 究 表 明 当混 沌 系 大 统 的 阶数为分 数 时仍 然 出现 混沌 现 象 ， 更 能 反 映 且
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２０ ２—１ ０
１ 分数 阶微分及其逼近
摘要 ： 构造 了一 个新 的三 维混沌 系统 ， 系统与 Ｃ ｅ 该 ｈｎ系统 、ｏｅｚ系统等各 类 经典 的混 沌 系统 都 是 Ｌｒｎ 拓扑 不等价 的． 通过理 论分析 、 数值 仿 真研 究 了该 系统 的混 沌特 性 ， 且发 现 新 系统在 低 于 ３阶 时仍 然 呈现 丰 富的混 沌现 象． 实现 了该 分数 阶 系统 与其响 应 系统的异 结构 同步 ． 关键词 ： 沌 系统 ； 引子 ； 结构 同步 混 吸 异
的研 究具 有重 要意 义．
未停止对混沌信号产生和建模的研究 ， 的混沌系 新
统也 不断被 提 出．９９年 陈关 荣 在混 沌 系 统反 控 制 １９ 中发 现 了一 个 与 著 名 的 Ｌ ｒ ｚ系 统 相 似 但 不 拓 扑 ｏｅ ｎ

Ｖｏ ．０ １２ Ｎｏ３ ． Ｓｅ ｐ．２ ０ ０７
一
个新混沌 系统的 自适应同步
赵 德 勤 ， 莲花 熊
（ 合肥 工业 大 学理 学院 ， 安徽 合 肥 ２００ ） ３０ ９
摘 要 ： 用 自适应 控 制的 方 法 ， 出 了一 个新 混 沌 系统 的 同步控 制 器和 参 数 自适 应 律 。 利 给 使
同步． 面我 们通 过一 个例 子说 明． 下 对 于 系统 （ ） 我 们令 。＝８ ｂ＝４ ， １， ， ０ ｃ＝１／ ， ０３ ｄ＝１ ｇ＝４ ｋ＝１ 则 系统 （ ） ， ， ， １ 的混 沌 吸 引 子 的三 维 图像如 图 １ 示 ， 混沌 吸 引子 在 一 平 面上 的相 图 如图 ２所 示 ， 所 此 在相 图 中其 特定 吸引域 内具有 遍历 性 ． ０ 我 们构造 响应 系统 如 下 ： 互 ＝８ｚ １ ， １＝４ ｘ ， １＝ Ｙ 一，１一 １＋ｋ （ １ ， １ （１一 ） 夕 ０ １一 三 １１ ） ， １ 一 ） 其 中反馈 增益 ｋ 取 为 １０ ， ０． （） ５
函数． 系统 （ ．） 给 ４２ 右侧 加一 个 反馈项 ｅ ｅ：Ｙ— ｋ为反馈 增 益． 能 找到 一个 合适 的控 制律 ， ， 若
ｂ＝ （，） ｇｘＹ ， （．） ４ ３ 使得当 ∞时 ， 满足ｌ ｌ （ 一ｙ ｔ ｌ＝０ 则系统（．） ４ ） 自适应控制律 （．） ｉ ｌ ｔ ｍ ） （） ｘ ， ４１ 和（． 在 ２ ４ 的控制下达到 了 ３
自从 １ ９ ９ ０年 Ｐ Ｃ混 沌 同步 方法 …被 提 出后 ， 多年 来 ， 沌 同 步研 究 不 断深 入 ． 究 发 现 。 沌 同 步 十 混 研 混 在 保 密通信 等领 域 中有 着广 阔 的应用 前景 ， 同步控 制 已成为 混沌 研究 中的一个 热 点． 年人 们还 提 出 了激 近 活控 制 ］非线 性耦 合 同步 、 性耦 合 同步 ］ 自适 应 同步 等 多种 同 步方法 ． 、 线 、

［ 关键 词 ］ 混沌吸 引子 ； 岔 ；ｙｐ ｎｖ指数 分 Ｌ ａｕ ｏ ［ 中图 分类 号 ］ １ ４ ［ ０ ９ 文献标 志码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］ ６ ３—８ １ （ ０ １ ０ ０ １ ０ １７ ０ ２ ２ １ ） ２— ０ ３ １— 混 沌是 国 内 外学 术 界对 非 线性 系 统领 域 研 究 非 常 活跃 的前 沿 课 题 ．９ ３年 ， ｏｅ ｚ 分 析 １６ Ｌ ｒｎ 在
由图 ６可知 ： 系统 由一 周期 运 动 状态 阵 发 过
［ ］ ｈｎＧ， ｅ ．Ｙ ｔ ｎ ｔ ｒｃａｔ ｔａｔｒ Ｊ ．ｎ ２ Ｃ ｅ Ｕ ｔ Ｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｈｏｃａｒｃ ［ ］ Ｉ— ａ ｈ ｉ ｔ ｏ
ｔｒ ａｉ ｎ ｌ ｏ ｒ ａ ｆＢｉ ｒ ａｉｎ ａ ｄ Ｃ ａ ｓ ，１ ９ 。 ｅ ｎ ｔ ａ ｕ ｎ ｌｏ ｆ ｃ ｔ ｎ ｈ ｏ ｏ Ｊ ｕ ｏ ９ ９ ９
Ｎ
； ｉ ｝。 ；ｍ
Ｌ
／ ＿
。 － ８ Ｏ
图 ２ 系统 的 典 型 混 沌 吸 引 子
从 三维 空 间 中的 相 图及 在 不 同平 面上 的投 影 可 以看 出 ， 系统 的混 沌吸 引子具 有 复杂 的折 叠 和拉伸轨 线和复杂 的几何 形状 ， 统 的轨线 是有 系 界的， 有很 强 的吸引性 ．
座 桥梁 ， 此 拉 开 了混 沌 研 究 的 帷 幕 从
． 本
文 以三维 混沌 系统 为 例 ｊ 画 出了处 于混 沌 状态 ， 时 的时 间 响 应 图 和 相 图 ， 用 系 统 的分 岔 图 和 利 Ｌａｕｏ ｙ ｐ ｎｖ指数 图 ， 明了 系统状 态 随参 数 变 化表 说 现 出丰 富的动 力学 行为 ．
－ － －
１／ ０ ３厂＝４时 ， 用数值模 拟方法计算 得到混沌 系统 的 吸 引 子 的 ３个 Ｌａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ指 数 分 别 为 Ａ ＝

周期轨道。
2.1.3 奇怪吸引子
l 还有另一大类的系统，它在运动时，其相空间容 积收缩到维数低于原来相空间维数的吸引子上， 即运动特征是相空间容积收缩，这类系统就是耗 散系统。在耗散系统中存在一些平衡点（不动点） 或子空间，随着时间的增加，轨道或运动都向它 逼近，它就是吸引子。在相空间中，耗散系统可 能有许多吸引子，向其中某个吸引子趋向的点的 集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引 盆中不会有其它吸引子，与吸引子相反的就是排 斥子。通常耗散系统的简单吸引子有不动点、极 限环和环面。简单吸引子又受系统参数的影响， 随着系统的参数的变化，耗散运动也会出现混沌， 这时的吸引子就变为奇怪吸引子。混沌运动表现 为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质 。
论使我们认识到，现实的世界中，时间是不可逆的
，系统的演化过程和结果与时间相关。
基于上述分析，可见混沌的主要特征有： 1、敏感初始条件
2、伸长与折叠 3、具有丰富的层次和自相似的结构 4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子
2.1.2 混沌的定义
l 1990年，美国著名科幻小说家Michael Crichton推 出一力作《侏罗纪公园》。 小说中的混沌：存在 着另一类物理学难以描述的行为。例如与湍流有 关的问题 ，这种方程很难求解，直至混沌理论的 出现。混沌系统的行为对初始条件的变化十分敏
(1)U是A的一个邻域； (2)对每一初始点 x0U，当t > 0时，应有x(t) U ； 当 t 时，x(t) A ，即A是吸引子；此外
(3)x0U 时，有对x0的敏感性(当初值误差为无穷小 量时，它的像的误差随t按指数增长)，即A是奇怪 吸引子；
(4)对y A，应有x(t) 使 d[ y x(t)] 0 ，而奇怪吸引 子不应分成两个。

２１ ０ ｏ年 ８月 第 ８期
电 子
测 试
ＥＬＥＣＴ ＲＯＮ Ｉ Ｃ Ｔ ＥＳ Ｔ
Ａｕｇ． ２０１ ０ Ｎｏ． ８
一
种 四螺 旋 混 沌 系 统 仿 真 研 究 ★
吴 国增
（ 城 大 学 东 昌学 院 山东 聊 城 ２ ２ ０ 聊 ５０ ０）
摘 要 ：为了改善Ｌｉ系统的混沌特性 ， ｉ 通过在 混沌Ｌ／系 统上添加一维线 性状态反馈控 制器， ３ 构建 了一个新 的四 维连续 自治混沌系统， 了奇异 的四螺旋鲁棒混沌吸 引子 。利用相轨 图 、Ｌ ａｕ ｏ 数谱等数值方法 ， 得到 ｙｐ ｎ ＠￣ 其最大 Ｌ ａｕ ｏ 指数为正值且 几乎恒 定不变， ｙｐ ｎ ｖ 系统具有很好 的鲁棒性． 随控制参数变化 ， 系统能够从 四螺旋 混沌吸引子
ｒ ｓ ｌｓｏｆｓｍ ｕａ ｉ ｎｄ ｎｕ ｅ ｉａ ｅｈｏｄ ｖｅａｇｏ ｏ ｉｔｎｃ ． ｅ ｕｔ ｉ ｌｔｏｎ ａ ｍ ｒｃ ｌｍ ｔ ｓｈａ ｏｄ ｃ ｎｓｓｅ ｙ
Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄｓ ｔｒｃ ｏ ； ｃ ｏ ； ｆ ｕｒ—ｃ ｏｌ ｙ ｒ ：ａｔａ ｔ ｒ ｈａ ｓ ｏ —ｓｒ ｌ
Ｗ ｕ Ｇ ｕｏ ｅ ｇ ｚｎ
（ ｎ ｃ ａ ｇＣｏ ｅ ｅ ｆ ｉ ｃ ｅ ｇＵｎｖ ｒ ｔ， ｉ ｃ ｅ ｇ２ ２ ０ Ｄｏ ｇ ｈ ｎ ｌ ｇ ａ ｈ ｎ ｉ ｓｙ Ｌａ ｈ ｎ ， ０ ０） ｌ ｏＬ ｏ ｅｉ ｏ ５
Ａ ｂｓｒ ｔ ｎ ｒ ｒｔ ｍ ｐｒ ｖｅｔ ｅ ｃ ｏｔｃＬ ｓ ｔ ｍ ， ｈａ ｉ ｔ ｙ ｔｍ ｙ ｄｄ ｎ ｉ ａ ｔｔ ｅ ｄｂ ｃ ｏ ｒ ｌｅ ， ｔ ａｃ ：Ｉ ｏ ｄｅ Ｏ ｉ ｏ ｈ ｈａ ｉ ｉ ｙｓｅ ｉ ｃ ｏｔｃＬ ｉ ｓｅ ｂ ａ ｉ ｇ ａｌｎｅ ｒｓａｅ ｆｅ ａ ｋ ｃ ｎｔｏｌ ｒ ｓ

力 学性质 ．
生 混沌不仅 是混 沌 理 论 研 究 的 需 要 ， 且 已成 为 而
混 沌应用 的关键 问题 ．
３ 系 统 的基 本 动 力 学 分 析
（ ）３ 一 一涡 卷混沌 吸 引子
近几 年来 ， 利用 混沌 反控 制方 法 ， 在三维 微分 系统 中 ， 多 新 的 连 续 混 沌 系 统 陆 续 被 发 许
了Ｌ ｎ系统和 统一 混沌 系 统［ ３ 这 样使 人们 把工 ４ ． 程 中的混沌 现象 从 当初作 为一 种科 学探 索逐 步转
移 到极具潜 力 的工程 应用 上来 ． 因此 ， 目的地产 有
．
当参 数 ｎ ｂ ｃｄ， 一 定 范 围 内变化 时 ， ， ，， 在 这 个 系统 能产 生混 沌 吸 引子 ， 并且 有 一 些 复杂 的动
混 沌吸 引子 ．
［ 键 词 ］ 沌吸 引子 ； 力 学 ； ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 关 混 动 Ｌ ａｕ ｏ
［ ｏ］Ｏ ３ ６／．ｓｎ １ ０ —６ ７ ． ０ １０ ． １ ｄ ｉｌ． ９ ９ｊｉ ． ０ ８ ０ ２ ２ １． ３ ０ ２ ｓ
［ 图 分 类 号 ］ ０ ９３ 中 Ｆ １．
［ 收稿 日期］ ０ ｌ ０ －０ ２１－ ４ ６ ［ 基金项 目］ 湖北省教育厅科 学技 术研 究重点项 目（ ０ ０ ０ １ ， 阳师专科研项 目（ ０ ０ ０ ） Ｄ２ １５ ０ ） 郧 ２ １Ｂ ６
［ 者 简 介 ］徐 玉 华 （ ９５ ） 男 ， 北 仙 桃 人 ， 阳 师 范 高等 专科 学校 数 学 与 财 经 系 副教 授 ， 士 。 作 １７－ ， 湖 郧 博 主要 从 事 混 沌 控 制 的
研究．
’
Ｙ 。Ｂ ４ ＿’ ＿ ＿ 。’ Ｙ－。 ’＿ ＾ — ・Ｚ —４ －＿ Ｓ。 ‘Ｘ

大 Lyapunov 指数估计方法 ,该方法通过构造反馈控 制耦合混沌同步系统 ,依据混沌同步理论 ,分析得 出 :满足两耦合系统达到同步的最小控制增益即为 原系统最大 Lyapunov 指数估计 。文末以 Lorenz 混 沌和静摩擦 Duffing 振子为仿真对象 ,仿真结果验证 了理论分析的正确性。与现有许多方法相比 ,本文 的方法简单、有效 ,适合工程实际要求。
静摩擦 Duffing 振子的状态方程
x=y
y = qcos( t) + ax (1 - x2) - hy -
εN
( 1
μ0 + λ1
μ1
|y
|
+ μ0 +λ2 y2) sign y
(13)
当参数 q = 0. 3 , = 1 , a = 1 , h = 0. 25 , N = 1 ,
λ1 = 1. 42 ,λ2 = 0. 005 ,μ0 = 0. 25 ,μ1 = 0. 05 ,ε =
[5 ] Agrawal R , Gehrke J . Gunopolos D ,et al. Automatic Subspace Clustering of High Dimensional Data for Data Mining Applica2 tion[ C] . In ACM SI GMOD Conference ,1998.
关键词 :最大 Lyapunov 指数 ;混沌同步 ;混沌控制 中图分类号 : TP27 文献标识码 :A
Study on a Ne w Estimation Method of the Largest Lyapunov Exponent
of Chaotic Systems
YAN G Zhi2hong , YAO Qiong2hui

f i ij ( ) 0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
特征矩阵
T 0
2
特征根
T T 2 4 1, 2 2
A1 B 1
t
原点 i 0 是渐进稳定的
参考态
xi 0 也是渐进稳定的。

(2) 两特征根中至少有一个实部为正 原点 i 0 是不稳定的 lim i
t
参考态
xi 0 也是不稳定的。

(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的 参考态 xi 0 处于临界情况。
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
小结
非线性动力学系统
决定性系统与不可预测性（初值敏感性）
一阶自治常微分方程组
相空间
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
1. 定态解
i 1,2,, n i 1,2,, n
x2 x1
代入方程
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0
i , 02 2
x1 x Ae t cos(t ) Ae t [ cos(t ) sin(t )] x2 x 2 2 Ae t sin(t 0 )
x1 x, x2 x
3 x3 cost , x4 x
1 x2 x k 3 F x x x x x3 2 1 1 2 m m m m x 3 x4 2 x x3 4

郝柏林混沌动力学基础
混沌动力学是研究复杂非线性系统的一门学科。

它的核心是研究
不确定性和随机性的影响，尤其是小变化对系统演化的影响。

混沌动
力学可以用于天气预报、金融市场、神经科学等领域。

混沌动力学的一个重要概念是相空间，它描述了系统所有可能状
态的集合。

相空间中的点代表着系统在某一时刻的状态。

当系统发生
微小扰动时，它的状态会在相空间中演化，轨迹会不断变化。

这种微
小扰动的影响被称为“蝴蝶效应”。

混沌动力学中的“混沌”是指系统的极其敏感依赖于初始条件。

对于某些系统，微小的初始差异可能导致长期预测结果的巨大不同。

因此，混沌系统的长期行为是无法精确预测的。

混沌动力学中常用的数学工具包括映射、微分方程和分形几何。

特别地，离散映射和连续微分方程可以用来描述系统的演化方程。

而
分形几何则用于研究系统的自相似性和破缺对称性，以及扰动的影响。

混沌动力学的研究有助于我们更好地理解自然界中的复杂系统，
更有效地处理实际问题，提高预测的准确性和可靠性。

．
Ｙ一掰
Hale Waihona Puke ｄ ｚ—＿
＝ ， ｚ ３ ＇ 一８ ／ 一
为 了便 于用 Ｍ ｔｂ ａａ 求解 ， ｌ 这里将 ｘｙＺ 示 为 Ｙ １ ， ．、表 （ ）Ｙ （ ）ｙ ３ ， 向量 ｙ中三个 分量． ２ ，（ ） 即列 用文 字编辑 软件 编辑 Ｍ ｔｂ ｍ文 件 ｌｒｎ． 内容 ａａ 的 ｌ ｏｅ ｍ ｚ
０ ｚ０ ６ 系列 成 果 之 一 ７ｂ７ ）
［ 作者简介 】 郝加 波（９９ ， 四川达 州人 ， １６一） 男， 副教授 ， 士 ， 硕 主要从事理论物理和 非线性科 学的教 学与研 究。
ｌ ｌ
维普资讯
２０ 年第 ５期 ０８
郝加波： 混沌动力学系统控制及计算机仿真研究
混沌动力学 系统控制及计算机仿真研究
郝 加 波
（ 川文理 学院 物 理与 工程技 术 系 ， 四 四川 达 州 ６５０ ） ３００
【 摘
要 】 Ｍ ｔｂ 用 ａａ 分析 了混沌动力学中的几个著名动力学系统 ， ｌ 揭示 了它们的定性特征和这些系统
中各 参数 之 间的相 互联 系。
【 关键词】 混沌动力学系统； ａａ ； Ｍ ｔｂ控制 ； ｌ 计算机仿真 【 中图分类号】 ３ ０１ 【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号】０８ ４８ （０８ ０ － ０ １ ０ １０ — ８６ ２０ ）５ ０ １ — ５
图 １ ｂ ｏｅｚ （ ）Ｌｒｎ 系统 Ｙ与时 间的历程
图 ２ ａ ｈｎ系统 Ｘ （ ）ｃｅ 与时间的历程图
图 １Ｃ ｏｒ ｚ （ ）Ｌ ｅ 系统 Ｚ ｎ 与时 间的历程图 ｋ考＿－ ｌ ‘苫 ｆ＾晴Ｐ
图 ２ ｂ ｈｎ系统 Ｘ （ ）ｃｅ 与时间的历程图
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２ ｔ ｂ ｘ 一３ ｔ ｂ ｘ 一 ９＇ ａ— ） ！ ５ ａ ）『 《
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“， ， 一 ；一
ｊ
．
２ ０ 年 ， 吕金虎 、陈关 荣等人提 出了一个新 的混沌系 ０２
Ｊ＞（０ ＋２ ） ２一 ２ ｌ ｂ ０ ９ １ ‘ ５ 十 ｂ
ｆ ＞ ９一 ２６
ｒ＝２Ｉ ＋ ｅ ｅ ． ２ ：＋ ： （ ） ８
将 （ ）式代 入 （ ）式 ，如果取 如 （ ）所 示的 自适应 ６ ８ ４ 控制器 以及满足条件 （ ）的常数 ，化简 可得 ５
止 ， 已经 提 出 了 许 多 有 效 的 混 沌 控 制 与 同 步 的 方 法 ： 反 馈 同步 ，Ｂ ｃ ｓ ｅ ｐ ｎ 同步 ， 自适 应 控 制 同 步 “，状 态 观 ａ ｋ ｔ ｐ ｉｇ 测 器 同步 等 。
控 制 器 （ ） 和 常 数 ４
２ （ ｂ ｘ 一２ ｔ ５ａ ） ！ ５ ａ一＾ ． 一 ｒ Ｉ ｒ
ｐ ｒ ｍｅ ｅ ． ｍｅ ｉａ ｉ ｕａｉ ｎ ｓ ｏ ｈ ｆｅ ｔ ｅ ｅ ｓｏ ｅａ ｐ ｏ ｃ ａ ａ ｔｒ Ｎｕ ｒｃ ｌ ｍ ｌｔ ｈ ｗｓｔ ｅｅｆｃ ｉ ｎ ｓ ｆｔ ｐ ｒ ａ ｈ． ｓ ｏ ｖ ｈ
Ｋｅ ｒ ｓ ｕ ｉｉｄ ｃ ａ ｔｃｓ ｓｅ ； ｃ ａ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｙｗｏ ｄ ： ｎｆｅ ｈ ｏ ｉ ｙ ｔｍ ｈ ｏｓｓ ｎ ｈ ｏ ｉａｉ ｎ； ａ ａ ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ Ｌ ａ ｕ ｏ ｔｂｉｔ ｄ ｐ ｉ ｏ ｔｏ ； ｙ ｐ ｎ ｖ ｓａ ｌ ｙ ｖ ｉ
本文采 用 自适 应 同步 的方法 ，研 究两个 不 同的统一混 沌 系统之 间 的同步 问题 ，通 过构造 Ｌ ａ ｕ ｏ 函数得 到控制 ｙｐ ｎ ｖ 器和调节律 ，使得 响应系统 与驱动系 统状 态达到同步 。

0 0 0 − 1 0 z + (cz ) 0 0 − 1 z , λ1 > 0, λ 2,3 < 0, λ3 1 τ 0 − 1, 0] ，参数 τ ∈ R 。
(6)
在 GLCF 中，只有一个实标量参数 τ ，确定系统的混沌行为，而特征值 λ1, 2,3 满足一个(且 只有一个)非常简单的不等式条件：
广义 Lorenz 系统及其规范式*
陈关荣 香港城市大学 混沌控制与同步中心 gchen@.hk 本文简要介绍了广义 Lorenz 规范式(GLCF)，它包括经典的 Lorenz 系统以及最新发现的 Chen 系统作为两个特殊和极端的例子，而在这两个极端例子之间存在着无穷多个相关但不拓 扑等价的混沌系统。本文也指出了一些新近报告的混沌系统只是 GLCF 的特例。 关键词：混沌，Lorenz 系统，Chen 系统，规范式.
dx dθ = y dy = x(1 − z ) − λy dθ dz 2 dθ = −αz + x
其转换可通过下面的线性时间—状态变换实现：
(13)
λ1 − λ 2 x = ( z1 − z 2 ) (−λ1λ 2 ) 3 / 2 λ1 − λ 2 y = (λ1 z1 − λ 2 z 2 ) (−λ1λ 2 ) 5 / 2 z = z 3 λ 2 − λ1 λ1λ 2 θ = t − λ1λ 2 ,
& = a( y − x) x & = (c − a ) x − xz + cy (2) y z & = xy − bz , 其中， a, b, c 是实参数。当 a = 35, b = 3, c = 28 时，系统处于混沌状态，如图 1-(b)所示。

推荐2016年度国家自然科学奖公示：项目名称：复杂动态网络的同步、控制与识别理论与方法推荐单位：中国科学院主要完成人：吕金虎(中国科学院数学与系统科学研究院)，虞文武(东南大学)，陈关荣(香港城市大学)，陆君安(武汉大学)，周进(武汉大学)三、项目简介当今世界是网络的世界，复杂动态网络在各种重大工程系统中发挥了核心关键作用。

中国北斗地基增强系统的瓶颈之一是要解决复杂动态网络的构网问题。

2015年，美国国防部将基于社交网络的人类行为计算模型研究列入六大颠覆性基础研究领域之一。

这些都说明复杂动态网络的同步、控制与识别已成为具有共性的重大科学问题，迫切需要发展新理论与新方法。

项目组1998年开始关注复杂动态网络这一新领域，是国内外最早系统从事复杂动态网络研究的小组之一。

师生三代人经过18年协同攻关，不仅在复杂动态网络的同步、控制与识别的几个瓶颈问题上取得了关键性突破，而且服务于国家重大战略需求。

主要创新点包括：1)突破传统静态网络同步的根本局限性，首次揭示了一类典型时变复杂动态网络同步的普适性规律，证明了时变复杂网络的同步本质上由该网络的内耦合矩阵和外耦合矩阵的特征根及其特征向量所决定。

代表性论文1是时变复杂动态网络同步的最早文献之一，被D. Li院士在IEEE TCAS-II上称为“several important milestones”之一。

2)克服由于网络规模大导致的耦合矩阵特征值摄动的本质困难，解决了复杂动态网络牵制控制中的核心关键科学问题，给出了一类典型复杂动态网络的耦合强度、牵制节点数与控制增益之间的定量关系。

3) 突破单节点获取网络全局信息的关键瓶颈，创造性地将分布式演化规律引入复杂动态网络的结构调控上，给出了一类不确定性复杂动态网络自适应同步与参数识别的基本准则，揭示了网络结构识别的内在机理。

4) 复杂动态网络的同步、控制与识别实现了理论与应用的结合，与武汉大学国家卫星定位系统工程技术研究中心合作服务于国家重大战略需求，为北斗地基增强系统的厘米级服务的构网法则、可靠性和完备性提供了关键理论支撑。

自从 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 于 １ ９ ６ ３年 在 数 值 实 验 中发 现第
一
当方 程 （ １ ） 的参数 选 取 ａ＝５， ｂ：１ ０ ， Ｃ＝１ ２， ｄ＝
２ Ｏ时 ， 此时系统的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 （ Ａ ， Ａ ： ， Ａ ， ）＝ （ ２ ． ３ ４ ６ ２ ， ０ ，一２ １ ． １ ０ １ ２ ） ， 系 统处 于混沌 态 ， 相 图 如 图 １所示 。
沌 的特 性进 行 了 深入 的分 析 和 研 究 ， 发 现 了许 多 新 的混 沌 系 统 ， 如 Ｃ ｈ ｕ ａ系 统 、 Ｃ ｈ ｅ ｎ系 统 、 ¨ 系 统、 分 数 阶系 统 、 多翼 混 沌 系 统 、 超 混 沌 系 统 Ｉ ９
等 。新 的系统 不 断 被 发 现 ， 促使 人 们 对 混 沌 现 象 更深 入 的认 识 及 研 究 ， 从 而 加 速 了混 沌 理 论 在 保
动力 学特性 ， 验 证 了其 丰富 的混沌 动力 学行 为 。
１ 新混沌系统动力学模型及Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 维数
： ￣ ＝－ａ ｘ ＋ｂ—１ ２—１ ２
作 者 简 导 介 ： 张 平 伟 鬻辇 ， 男 ， 安 徽 东 至 人 ， 硕 士 ， 安 庆 师 范 学 院 茹 物 理 与 电 气 气程 Ｔ 程 学 院 讲 师 帅 ， 主 要 妥 从 事 争 非 线 性 任 动 明 力 刀 学 罕 与 勺 混 眩 沌 同 Ｉ Ｈ Ｊ 步 等 哥 研 究 九 。
一
个 新 混 沌 系 统及 其 动 力 学 分 析
张平伟 ， 尹训 昌 ， 李 娟 ， 余春 日
（ 安庆师 范学 院 物理与 电气３ ２ 程学院 ， 安徽 安 庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）

２
系统 的函数投 影同步
系 统 由 吕金 虎和 陈 关荣 在 ２０ ０２年 发现 ，
根 据 Ｖ ｎｃｋ和 Ｃ ｌ ｏｓｙ的标 准 ，ｏｅｚ系 统 满 ａｅｅ ｅｉ ｖｋ ｋ Ｌｒｎ 足 ａ２２＞０，ｈｎ系 统满 足 ａ２２＜０ Ｌｉ 统 满 １ １ ａ Ｃｅ １ １ ，／系 ａ 足 ａ２２＝ 它是 一 个连 接 Ｌｒｎ 系统 和 Ｃ ｅ ｌ １ ０， ａ ｏｅｚ ｈｎ系 统 的临界 系统． 系 统 的动力 学方程 为 ：
连续 ， 可导 且有 界．
Ｘ ｕ等人 ＿通过对 耦合 驱动 一响应 系统 中的响 ４ 应 系统加 入控 制 项 实现 了非 部 分线 性 系统 的投 影 同步 ， 而突破 了投影 同步 只局 限 于部分 线 性 系统 从 的界 限． ｉ Ｌ【 也通过 对耦 合 系统 的响 应 系统 加入 控 制 实现 了 Ｃ ｅ ｈｎ系统和 Ｌｒｎ ｏｅｚ系统 的投影 同步．但 是 以前 的文 章都 是 研 究 驱 动一 响应 系 统之 问按 照 某 一常数 尺度 因子演 化 ， 但是 实际 问题 中有 时需 要 驱 动一 响应 系统之 问按 照某一 时 间函数 演 化 ， 即所 谓 函数 投影 同步 ．本文 针对 最新 提 出 的 系统 和 超 系统 的耦 合系统 ， 响应 系 统加 入控 制 项 ＋
其 中 ｍ＝（ ｍ ｍ … ， ｍ ， （ ， ，瑚） １，２， ） １ … ，： ， Ｒ， Ｒ ｇ： ， １ ２ … ， ） 设 计 的控 ＝（ ， ， 是
且指出这一比例依赖于混沌系统的演化和初始条件 的选取． 投影同步技术已经在混沌保密通讯及混沌
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动
力
学
与 控
制
学
２

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第 ２ ６卷 第 ３ 期 ２０ ０ ７年 ６月
兰 州 交 通 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎｌｆａ ｚ ｏｔａ ｔｎ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌｃ ｎｅ） ｏ ｒａｏＬ ｎｈ ｔｉ ｏ ｇ ｉ ｓ ｙ Ｎａｕａ ｉ ｃｓ ｌｏ ｅ ｔ Ｓｅ
Ｖｏ ． ６ ． １ ２ Ｎｏ ３
Ｊｍ． ０ ７ Ｉ ２ ０
文章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ７ ０ —１４０ １０ —３ ３ ２ ０ ） ３０ ５—４
含有 平方项 的新 混 沌 系统 的研 究 及控 制
张 莉 ， 俞建 宁， 李 阳， 彭建奎
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ７ ） ３０ ０
Ｉ
（） １
；
Ｙ 一 凹 一 Ｙ一
三一 ＋ Ｊ 一舷
其中： Ｘ一 （ ， ， ） ∈ Ｒ ｚ Ｙ ｚ 。为系 统 的状 态 ； ， ， ｎ ６ ｆ为
模 型． 近 ， 崇新等 又提 出了一个 新 的混沌系统 一 最 刘 Ｉｕ系统 ［． 些 系 统 都 含 有 非 线 性 项 多 为 （ｙ， ｉ ５这 ］ ｘ
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第３ 期
张 莉等 ： 含有平方项 的新混沌系统 的研究及控 制
１５ ５
（ ，，） （ －， Ｙ 一 ２ ， Ｙ ２ 一 一 ｚ 一 ， ）系统 （） 保 持不变 ． ｚ １仍
其 中 ， １ ａ＋ １ ｂ ａ ｎ一 ＋ ，２一 ａ—ａ ＋ ａ ｂ ａ ｃ ｂ＋ ，３一
子如 图 １所示．
．
１ ０
ｄ混 沌 相 图
图 １ 系统 （ ） １ 的吸引子 ａ＝ １ 。 一 ２ ５ ｃ＝ ４ ０ｂ ．． ０
Ｆ ｇ １ Ｃｈ ｏ ｉ ａ ｔａ ｔ ｒ ｆｓ ｓｅ １ ａ ｉ． ａ ｔ ｔ ｃｏ ｓ ｏ ｙ ｔｍ ｔａ＝ １ ｂ ＝ ２ ５， ｃ ｒ ０， ． Ｃ＝ ４ ０

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第 ｌ Ｏ卷 第 ３期 ２ ０ 年 ５月 ０８
石 家庄 学 院学 报
ｊ ｕ ａ ｏ Ｓ ｉａｈ ａ ｇ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌ ｆ ｈｊ ｚ ｕ ｎ ｉｅ ｔ ｎ ｉ Ｕ ｓｙ
Ｖｏ．０， ． １１ Ｎｏ３
Ｍａ ０ ８ ｙ２ ０
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图１ Ｑｉ 混沌系统吸引子（ ａ
相图；ｂ ｘ ｚ （ ）－ 相图 ；ｃ （
相图 ；ｄ ｙ 三维相图 （ ＿
＝ ｔ） ， ， ｙ Ｆ（， ）Ⅱ ￡ ） ． － ＝ ｔ） ＋ （， ， ， ，）
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３ ４
石家庄学院学报
２０ 年 ５月 ０８
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从此 ， 如何将混沌同步理论应用于安全通信成为科学界的热点之一． 一般意义上的混沌系统 同步是指相空
间 中两个 系统 的状态 轨迹相符 ．即 ， 两个非 线性动 力学系 统 ：
收 稿 日期 ：０ ７ １ —４ ２ ０ —２ ２ 作者简介： 林彩霞（９４ ） 女 ， １８ 一 ， 山东烟台人 ， 硕士生 ， 主要从事信号与信息处理研究
Ｑ 混沌系统 的同步 实现及 比较 ｉ