混沌动力学导论第3章

混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
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分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。

3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一-1
1/2
1
xn-1
从表面上看，序
列 形态：
似乎有三种
（1）当 是有理数，且用分数表示时,其分母为2的
幂数 （k是正整数）时，此时
。
例如：
（2）当
是有理数，且用分数表示。其分母
不是2的幂数时，则序列为周期解。
例如：
… 即 大于一定的数后将在三个数
之间循环
（3）当 是无理数时，则序列既不趋向于零，也不 趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。
但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态， 即混沌。
以
为例，迭代下去有
，但若一个
初值 和 前900多位小数都相同，后面只差
一点，如：
ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
三、Benard对流实验
3.1.3 混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。 ① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统
可以有效地表现出随机行为。
确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。
沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
3.1.2 “混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子——Lorenz模型。

量子混沌现象的研究与动力学机制引言：量子力学是描述微观世界的基本理论，而混沌理论则是描述复杂系统中的不可预测性。

量子混沌现象将这两个领域结合起来，研究了量子系统中的混沌行为。

本文将探讨量子混沌现象的研究进展以及其动力学机制。

第一部分：量子混沌现象的实验观测量子混沌现象最早是通过实验观测得到的。

在实验室中，研究者通过操纵量子系统的参数，如外加磁场或电场，观察到了量子系统中的混沌行为。

例如，通过调节微波场的频率和强度，可以观察到量子系统中的混沌现象。

这些实验结果表明，量子系统在一定条件下会表现出与经典混沌系统相似的行为。

第二部分：量子混沌现象的数学描述为了更好地理解量子混沌现象，研究者们提出了一系列的数学模型来描述其动力学行为。

其中一个重要的模型是量子映射模型，它描述了量子系统在时间演化中的离散性。

通过对量子映射模型的研究，研究者们发现了一些重要的动力学特征，如分岔现象和周期倍增等。

这些数学模型为我们理解量子混沌现象的本质提供了重要的线索。

第三部分：量子混沌现象的动力学机制量子混沌现象的动力学机制是一个复杂而有待深入研究的问题。

目前，研究者们提出了一些可能的动力学机制来解释量子混沌现象。

其中一个重要的机制是量子混沌的经典极限。

在这个极限下，量子系统的行为可以通过经典力学来描述。

另一个机制是量子系统的局域化现象。

在局域化现象下，量子系统的能量分布会逐渐趋于均匀，从而导致混沌行为的出现。

这些动力学机制的研究为我们深入理解量子混沌现象的本质提供了重要的线索。

结论：量子混沌现象是量子力学和混沌理论的交叉领域，研究者们通过实验观测和数学模型的研究，揭示了量子系统中的混沌行为。

虽然量子混沌现象的动力学机制尚未完全解决，但已经取得了一些重要的进展。

未来的研究将进一步探索量子混沌现象的本质，为我们对量子世界的理解提供更深入的认识。

2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程 和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名 的洛伦兹方程。
dx

d
dy

d

-s (x - y)
rx - y - xz
dz
d

-bz
当上下温差加大时，为什么 对流不积微渐著，而是突然从 无到有地产生?
1.流体中的不稳定性
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
奇怪吸引子
李雅普诺夫指数公式
在相空间里混沌系统的两个轨道相邻点之间的距离是随时间分离的，而分 离程度是按指数增加的。
两个轨道： xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 - y0 ，经过一次迭代以后有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
r rc 时共轭复根的实部为正值， C1与C2成了不稳定的焦点。定态对流失
稳，是不稳定的。这时将出现一次新分岔－霍普夫分岔，平衡点C1与C2失稳 发展成为奇怪吸引子。
洛伦兹吸引子
rc

s(s b 3) s - (b 1)

24.7368 ,(s

(1) 当管中液体流速不大时，有色液体的流动 顺直光滑，层次分明→层流。
(2) 当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将 发生规则地振荡→湍流（紊流）。
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ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
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三、Benard对流实验
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混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。 ① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统
可以有效地表现出随机行为。 确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
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混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和 有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然 的行为的方法。
过了一年(1974)，约克教授在一次会议 上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛， 他立即想到这个区间迭代问题。
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其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。
沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
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“混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
混沌现象首先是1963年被美国气象学家 Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动 力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立 了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在 计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的 位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍 去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz 的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相 径庭，几乎变得完全认不出来了。

动力系统微分方程混沌《动力系统微分方程和混沌》动力系统微分方程是描述流体动力系统的非线性微分方程，其中，包含物理性质和几何性质，它可以用来描述物理过程耗散在动能和受力，以及动能和力之间的相互作用。

微分方程描述了一个系统的状态，并且是推导动力系统未来发展方向的基础。

微分方程包括空气动力学中的压力，对流和物质输送方程，流动中的动量方程，非稳态稳定性中的能量方程，位移转移系数，结构系数等等。

混沌又称为“混沌现象”，指的是在极限现象中不可以预测的动力系统的复杂性。

这种复杂性可能是刚开始系统的某些特殊状态，如初始条件的建立，或者，AMD系统振子的参数状态等，造成了输入相同的情况下输出不一样的结果，或者一个简单的微分方程却出现复杂的现象，也就是不断变化的混乱行为。

比如，在奇异力学中，即使初始条件和振子的空间状态完全相同，输出的动力系统的行为也会发生变化。

大多数的动力系统都存在混沌现象，如火力发电厂，汽车发动机，空气动力学，流动中的动量方程，水文学中的洪水模型，科学问题中的非线性动力系统，等等，这些混沌现象被认为是未来研究方向。

混沌现象可以用悬挂系统，李雅普诺夫振子，超螺线，螺旋结构等实物模型来模拟，而动力系统微分方程则可以用来描述这种混沌现象发展的数学模型。

混沌这一新的科学领域有一些共同的抽象特征，主要是在许多不同系统中可以观察到的相似性。

混沌研究最重要的是研究系统初始条件下的影响！因此，如何准确地描述和实现不同系统中关于这些条件的影响是理解混沌的核心，这就要求我们了解系统的特性并加以分析处理。

以上就是关于动力系统微分方程和混沌的简单阐述。

混沌是一个可以从非线性特性和动力系统微分方程总结出来的新兴的科学学科，它有可能带来新的未来，引发新的研究领域。

1. 倍周期分岔道路
临界点以上的迭代计算
对平方映射的计算表明，随着 参数μ的增长，平方映射发生一 系列的倍周期分岔。但倍周期分 岔在一临界点 μc =3.5699…时终 止。此后，每次迭代得到的值是 随机地出现的。
μ=3.7时，每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值，也不是重 复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前 得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很 快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
周期 3 轨道
µ稍许增大一点， µ t − µ < 0 f 3(x)将越过切点与迭代线相交为两个交点， , 产生出六个交点。相切点斜率为+1，每对相交的两个交点处斜率一个大于1， 另一个小于1。
2. 阵发性混沌机理
不动点稳定性分析
根据稳定性 稳定性条件，斜率大于1的轨 稳定性 道是不稳定的，小于1的是稳定的， 即f 3(x)有三个稳定不动点与三个不稳 定的不动点。它们分别给出一条稳定 的周期3轨道，和一条不稳定的周期3 轨道。不稳定的周期3轨道已经退化。
d 2x dx +γ + κ ⋅ x − ζ ⋅ x 3 = F cosν t dt dt 2
倾倒的 幅频特性
3．杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程：
d 2x dx +γ + κ ⋅ x − ζ ⋅ x 3 = F cosν t 2 dt dt 设γ=0.4,κ=1,ζ=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率ν。
由每个切点产生出一对稳定的与不 稳定的轨道是切分岔的特征。说明在 µ=3.83附近，平方映射中周期3轨道与 切分岔紧密地联系着。

朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.

混沌动力学
混沌动力学（Chaotic Dynamics）是当今数学与物理研究中一个有趣而又重要的课题，它是以拓扑和动力系统学中的知识为基础的。

最常被提及的混沌动力学系统是基于著名的
离散时间动力学方程式的称为“映射”的系统。

它描述可以被重复，不断发展的非线性过程，并且可能伴随着令人兴奋的结果，比如混沌现象。

混沌动力学有时也称作时变动力学，因为它关注与正常系统之间的微小变化反应，有可能带来结果的巨大差异。

由于混沌动力学的知名度和其强烈的数学化方法，目前它也用于许多社会科学研究，
这些研究也在慢慢开发出许多有意思的结果，为社会科学这个广阔的领域增添了许多新的
观点。

在许多研究中，混沌动力学被用于解释一些重要的现象，比如为什么物价会如此频
繁地上涨，或者为什么社会发展中会出现一些崩溃性的问题，这些问题在其他模型里要么
无法诠释，要么难以解释。

另外，混沌动力学也被用于研究微米世界、地理领域中的一些现象，尤其是其中的近
似模型。

一旦设置合适的参数，开发出来的模型可以被应用到仿真上，以期将计算结果与
现实结尾进行对比，并帮助研究者理解和解释定量分析结果。

总之，混沌动力学可以成为数学与社会科学等领域研究的有用工具，它有助于更好地
理解一些比较复杂的关系，而应用于实践中也可以带来许多实际的好处。

例如，连续时间系统中的例子就是一个写成矢量形式为：。

这是一个动力系统，是因为若是给定了初统状态随时间经历的状态，图中的（x,x,x）空间即为相空间。

在离散系统中的例子则是映射，写成矢量形式即：。

有个元素，。

一旦给定了，我们就能通过得到时的系统状态。

有了，我们就能通过得到如此类推，我们就得到了离散时间系统的轨迹：……个李雅谱诺夫指数就根据第I个轴的增加速率注意，椭球的线性范围按增加，由前两个主轴定义的区域按增加，前三个主轴定义的体积按增加，如此等等。

这个特性事实上表达了李雅谱诺立方体数记为。

则集合S的盒子维为：把概率引入维数，则有：其中表示集合S中的一个点落在第个立方体中的概率，可以看到当时，在得到了系统的李雅谱诺夫指数后，可以很方便的计算是满足的最大整数，（=1随机的，在通过相空间重构出来后总表现出一团糟；而混沌是由简单过程创生出的“有序的无序”，通过相空间重构可以重现吸引子的结构。

因为人眼仅能看到三维空间的景象，所以通过重构技术来直接观察吸引子的结构，将我们局限在低于三维的混沌吸引子中，而更高维的吸引子或许是无法分辨的。

1赠美句美段分类集锦⒈人生哲理．．．．．①人生似一束鲜花，仔细观赏，才能看到它的美丽；人生似一杯清茶，细细品味，才能赏出真味道。

我们应该从失败中、从成功中、从生活品味出人生的哲理。

②生命是盛开的花朵，它绽放得美丽，舒展，绚丽多资；生命是精美的小诗，清新流畅，意蕴悠长；生命是优美的乐曲，音律和谐，宛转悠扬；生命是流淌的江河，奔流不息，滚滚向前。

③生活如花，姹紫嫣红；生活如歌，美妙动听；生活如酒，芳香清醇；生活如诗，意境深远，绚丽多彩.④生活是一位睿智的长者，生活是一位博学的老师，它常常春风化雨，润物无声地为我们指点迷津，给我们人生的启迪。

⑤生命的美丽，永远展现在她的进取之中；就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中；像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中；像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。

4. 混沌的一些特点
（4）具有混沌吸引子。
• 从局部来看，相互邻近的轨道却又有相互排斥而分 离的作用。是分离和折叠的统一。
• 混沌运动的奇怪吸引子具有无穷层次的自相似 （self-similar)结构。这种结构称为分形。其维 数常常是非整数。
管在靠得较近时发出的音调趋于一致，离得较远时则发生差拍现象。
线性振子
振动方程：
x Asin(t +)
三个特征量：振幅A、频率ω与相位φ，频率是固有的，振幅与相位决
定于初始条件。
非线性振子，如范德玻耳振子，杜芬振子等. 三个特征量：振幅、频率与相位都是与非线性系统的各个参数紧密相关的， 并且最终达到的振动状态与初始条件无关。
当F ~1时，角速度分岔成上下两支，运动状态似乎开始出现倍周期分岔。 但从相图来看仍是单周期运动，只是相轨线左右是不对称的，说明单摆运 动发生了对称性破缺。对称性破缺使单摆相对于零摆角是不对称的。
受驱单摆的混沌道路
F = 0 ~1.25间的运动状态
由于对称性破缺，当产生与 ， d dt d dt ， 相关 的变换时,产生了新吸引子对。这些新产生的吸引子对其平均角速度一般不为 零，这时角速度: d / dt (m n)n m，n为非零的整数 (3) F >1.048
或 P / Q 2 /1 有理数
说明一个振子与另一振子出现了同步，称为锁模，也称锁相(Phase-locking)
或锁频(Frequency-locking)。
同步与锁模是存在耦合的多个非线性振动系统的固有特性。因此锁模有一
定的范围，范围大小与两个振子间的耦合强度有关。
如果耦合很弱，锁模范围很小，两个振子基本上在独立振动，大多数振 动频率运动是非锁模的，它们处于准周期（Qusi-priodicity，或称拟周期）运 动状态。

微分方程、动力系统与混沌引论第3版微分方程、动力系统与混沌引论第3版【前言】微分方程、动力系统与混沌引论第3版，是一本深入探讨微分方程、动力系统与混沌理论的经典著作。

本书系统全面地介绍了微分方程和动力系统的基本理论，并且深入讨论了混沌现象及其在自然界和工程领域的应用。

作者通过深入浅出的方式，使读者能够更好地理解微分方程与动力系统的理论和应用。

【引子】微分方程、动力系统与混沌引论第3版，其中微分方程是描述自然现象和工程问题中变化规律的重要数学工具，而动力系统则是研究系统随时间演化的数学模型。

而混沌理论则是对不确定、非线性系统演化行为的研究，是一种新兴的交叉学科。

本书从基础概念出发，循序渐进地介绍了微分方程、动力系统和混沌引论的基本理论及其应用，为读者提供了一个全面了解这些内容的评台。

【主体部分】（一）微分方程基础1. 微分方程的概念和分类微分方程作为描述自然规律的数学语言，在物理学、生物学、经济学等领域有着广泛的应用。

本书首先介绍了微分方程的基本概念和分类，包括常微分方程和偏微分方程等。

2. 微分方程的解法针对不同类型的微分方程，书中提供了各种解法，包括解析解、数值解、级数解等，为读者提供了一系列解微分方程的工具和方法。

（二）动力系统理论3. 动力系统的基础概念动力系统是研究系统随时间演化的数学模型，本书通过引入状态空间、相空间等概念，系统地介绍了动力系统的基础知识。

4. 动力系统的稳定性和周期解稳定性和周期解是动力系统理论中的重要内容，本书对于这些内容进行了详细的讲解，并介绍了相关的数学工具和理论。

（三）混沌引论5. 混沌现象的基本特征混沌现象是非线性动力系统中的重要现象，本书介绍了混沌现象的基本特征，包括敏感依赖于初值、奇异吸引子等。

6. 混沌现象在实际系统中的应用混沌现象不仅在数学理论中有着重要的地位，还在自然界和工程领域有着广泛的应用，本书对此进行了全面的介绍，并提供了一些具体的案例分析。

第三章走向混沌的道路我们知道，一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。

进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。

本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规则运动、电子电路中的混沌以及控制混沌与同步混沌等内容。

第一节第一节由倍周期分岔走向混沌前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学过程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。

本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统可以通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。

1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章对平方映射的计算表明，随着参数μ的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。

然而倍周期分岔将在一临界点cμ=3.5699…时终止，从cμ开始的大部分区域，每次迭代得到的值是随机地出现的。

图3-1是μ值为3.7时的迭代情况。

由图可见每次迭代计算得到的n x值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而变为随机地出现了，因此迭代计算可以无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出现在先前得到过的某点附近但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了。

说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。

实际上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的μ值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌还没有一个完整的印象，现在利用计算机编写的程序，可以由小到大逐个对μ值进行计算。

图3-2的上部就是平方映射通过倍周期μ开始计算的，平方映射的分岔现象分岔进入混沌的分岔图。

图3-2是从8.2=μ处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动即出现了一次霍实际是在1=夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔，从这里先由单周期分岔为二周期，然后在＝3.4495处由二周期分岔为四周期，接着在3.5441处从四周期分岔为μ=为止。

1非线性电路中的混沌现象（2011修订版）混沌（Chaos ）研究是20世纪物理学的重大事件。

长期以来，物理学用两类体系描述物质世界：以经典力学为核心的完全确定论描述一幅完全确定的物质及其运动图象，过去、现在和未来都按照确定的方式稳定而有序地运行；统计物理和量子力学的创立，揭示了大量微观粒子运动的随机性，它们遵循统计规律，因为大多数的复杂系统是随机和无序的，只能用概率论方法得到某些统计结果。

确定论和随机性作为相互独立的两套体系，分别在各自领域里成功地描述世界。

混沌的研究表明，一个完全确定的系统，即使非常简单，但由于自身的非线性作用，同样具有内在随机性。

绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动。

而混沌既不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对无序，而是可用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌呈现非周期有序性。

混沌研究最先起源于Lorenz 研究天气预报时用到的三个动力学方程。

后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无规，但实际是非周期有序运动，即混沌现象。

现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术等众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响。

混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等。

目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。

5.20.1实验目的本实验研究一个简单的非线性电路，分析其电路特性和产生周期与非周期振荡的条件，从而对电路中混沌现象的基本性质和混沌产生的方法有初步了解。

有兴趣的同学在实验后可从附录中选择进一步研究的课题做更深入的研究。

5.20.2实验原理 5.20.2.1非线性电路方程 一个简单而典型的非线性电路如图5.20.1，它又称蔡氏电路（Chua’s circuit ），即三阶互易非线性自治电路。

混沌（三）在动力系统理论中，系统的基本情况称为状态。

状态随时间而变化的规律称为动态特性。

这个变化的过程可用状态空间（相空间）形象地表示出来，状态空间中的每一个点代表系统一种可能的状态。

在状态空间中，动力系统在某一瞬间的全部性态都集中于一点上，而系统演变的情形可以通过状态空间中移动的点来描绘。

动力系统随时间演变，其相点在状态空间中将描绘出一个轨迹，我们称之为相空间中的轨道。

若时间连续则称之为流；若时间是离散的则称之为映射。

状态空间法（相空间法）是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数字转化为图形的方法。

引入状态空间方法最大的优点是便于在研究中观察系统的演化规律。

例如单摆，它由两个变量（位移和速度）确定其运动状态，在状态空间中用平面上的点表示其状态的变化过程。

耗散系统是指一个远离平衡态的开放系统通过不断地与外界交换物质和能量，在外界条件的变化达到一定阈值时，就有可能从原有的混沌无序状态过渡到一种在时间上、空间上或功能上有序的规范状态，这样的新结构就是耗散结构，或称为耗散系统。

耗散系统具有时间单向性。

时间变成了不可逆的矢量，单向流逝，一去不返。

行为与时间不可分割地熔铸在一起，一起构成了不可逆转的单向过程。

我们所遇到的大部分过程都是不可逆转的，比如说热力学第二定律中热传导的不可逆性。

我们生存的宇宙是一个我们现在能感知的最大的耗散系统，所以在宇宙中的万事万物都被打上了时间的烙印，不可能再重现历史。

吸引子是一种用以刻划状态空间中的长期行为的几何形式，是耗散系统长时间演化的最终归宿。

比如说，两杯温度不同的水混合在一起，最终它们将具有相同的温度。

这最终的状态对应于状态空间(相空间)中便是吸引子。

从数学上讲，吸引子描写了运动的收敛类型，它存在于相平面。

简言之，吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它，这样的集合有很复杂的几何结构。

吸引子可分为定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和奇异吸引子四类。