一维混沌动力学引论(谢建华编著)思维导图
- 格式：xmin
- 大小：3.92 KB
- 文档页数：1
文档推荐
-
大学物理学. 上册(J.奥里尔)思维导图页数:1
-
大学物理. 上册(谢国秋主编)思维导图页数:1
-
大学物理(徐送宁主编)思维导图页数:36
-
大学物理. 下册(吴百诗主编)思维导图页数:1
-
大学物理(王纪龙主编)思维导图页数:1
下载文档原格式
合集下载
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
x m F (x, x, t ) x x 0 , x x 0
t t0
x(t ), x(t )
存在且唯一， 可预测性
1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
ij (
f i )0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
A1 B 1 A2 B2
T 0
2
特征根
1, 2
T T 2 4 2
xi f i ( x1 , x2 ,, xn )
i 1,2,, n
优点：
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 通解
x 0 x
2 0
x A cos( 0t ) x1 x A0 sin(0t ) x2
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
x1 x, x2 x
x3 cos t , x4 x3
当代物理前沿专题之 混沌现象
这些都是我们在大学物理中学过的知识，后面还会再推导一次．象式（7.1）这样的方 程，它的解是完全确定的，可以写成
φ（t）＝Asin（ωt）+Bcos（ωt）
（7.3）．
两个常数A和B可以由初始条件，即t=0时的角位移φ（0）和角速
的系统，只要给定了初始条件，它今后的运动就完全确定了，任何时刻t的角位移和角速 度都可以精确地预言．如果初始条件发生小小的变化，摆的行为也变化不大，同样可以精确 预言．换句话说，摆的运动状态对于初始条件的细微变化并不敏感．
我们取静止点A的势能为0，因为势能总是相对于某个状态来测量的．式（7．13）中的g
是重力加速度，φ是前面已经提到过的角位移．质点m只能沿着半径为l的大圆运动，它的位 移是x=lφ（按弧度算），因此
写出牛顿方程
即
这里圆频率ω由摆长l决定，即
由于正弦函数可以展开成无穷级数
所以式（7.15）是一个非线性的微分方程．当角位移很小时，sin（φ）可以近似地换成 φ，得到前面的方程（7.1）．
我们首先解释一下线性运动模式这个概念．出现在单摆方程（7.1）的解（7.3）中的sin （ωt）和cos（ωt）是两种基本的运动模式，它们线性地叠加起来，组成摆的运动φ（t）． 同样的，sin（2ωt）或cos（6ωt），是另外一些基本模式，而cos2（ωt）不是基本的模式， 因为根据三角函数关系
它可以分解成1（这是ω=0的模式）和cos（2ωt）两种模式的线性组合． 对于一个遵从欧姆定律的线性电路，电压V，电流I和电阻R的关系是
这是一个参量驱动的阻尼摆，Ω是外驱动力的频率．现在它的运动不再达到静止状态（除非 初始状态是静止在原点）．在参量A的某些区域里，可以出现各种不同的振动或转动，或者两
混沌动力学的基础知识
例如，连续时间系统中的例子就是一个写成矢量形式为：。
这是一个动力系统，是因为若是给定了初统状态随时间经历的状态，图中的（x,x,x）空间即为相空间。
在离散系统中的例子则是映射，写成矢量形式即：。
有个元素，。
一旦给定了，我们就能通过得到时的系统状态。
有了，我们就能通过得到如此类推，我们就得到了离散时间系统的轨迹：……个李雅谱诺夫指数就根据第I个轴的增加速率注意，椭球的线性范围按增加，由前两个主轴定义的区域按增加，前三个主轴定义的体积按增加，如此等等。
这个特性事实上表达了李雅谱诺立方体数记为。
则集合S的盒子维为：把概率引入维数，则有：其中表示集合S中的一个点落在第个立方体中的概率，可以看到当时，在得到了系统的李雅谱诺夫指数后，可以很方便的计算是满足的最大整数，（=1随机的，在通过相空间重构出来后总表现出一团糟；而混沌是由简单过程创生出的“有序的无序”，通过相空间重构可以重现吸引子的结构。
因为人眼仅能看到三维空间的景象，所以通过重构技术来直接观察吸引子的结构，将我们局限在低于三维的混沌吸引子中，而更高维的吸引子或许是无法分辨的。
1赠美句美段分类集锦⒈人生哲理．．．．．①人生似一束鲜花，仔细观赏，才能看到它的美丽；人生似一杯清茶，细细品味，才能赏出真味道。
我们应该从失败中、从成功中、从生活品味出人生的哲理。
②生命是盛开的花朵，它绽放得美丽，舒展，绚丽多资；生命是精美的小诗，清新流畅，意蕴悠长；生命是优美的乐曲，音律和谐，宛转悠扬；生命是流淌的江河，奔流不息，滚滚向前。
③生活如花，姹紫嫣红；生活如歌，美妙动听；生活如酒，芳香清醇；生活如诗，意境深远，绚丽多彩.④生活是一位睿智的长者，生活是一位博学的老师，它常常春风化雨，润物无声地为我们指点迷津，给我们人生的启迪。
⑤生命的美丽，永远展现在她的进取之中；就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中；像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中；像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。
【高中物理】知识体系梳理!全思维导图!
静态平衡合力为零静止或匀速直线运动动态平衡自由落体运动运动学问题超重竖直上抛运动失重和与速度共线匀变速直线运动完全失重合力恒定动力学两类基本问题力与运动平抛运动与初速度不共线匀变速曲线运动带电粒子在匀强电场中的类平抛运动方向与速度垂直匀速圆周运动合力大小一定、方向变化方向周期性变化-周期性加速、减速图象法运动轨迹是圆周能量守恒定律或牛顿运动定律合力大小和方向都变化运动轨迹是曲线但不是圆周能量观点匀速直线运动(F 合=0)直线运动小球压缩弹簧雨滴下落至收尾速度粒子在交变电场中运动匀变速直线运动(F吝恒定)x-t图象v-1图象基本公式常用推论与F 关系v=vo+atx=Vot+ ar²v²-v²=2ax△x=aT²力的运算F=ma自由落体运动竖直上抛运动刹车问题斜面上物体的运动合成法正交分解法非匀变速直线运动(F+ 变化)图象描述条件Fa 与v 不 共 线研究方法运动的合成与分解F ·方向与轨迹关系Fa 指向轨迹的凹侧恒力初速度u 与F△垂 直u 方向的匀速直线运动 合力方向的匀变速直线运动合力恒定特例初速度x 与F 合不共线水平方向以ucos θ做匀速直线运动 竖直方向做匀变速直线运动圆周运动位移分解 速度分解 加速度分解斜抛运动(类斜抛运动)平抛运动 (类平抛运动)曲 线 运 动特点特点分解分解运动描述实例线速度：v=△tAs△0角速度：w=At周期TT=频率f向心加速度：a=向心力：F=ma水平面内的圆周运动模型竖直面内的圆周运动模型v=wrw)π1f4π²T²F=汽车转弯、火车转弯、圆锥摆绳模型，最高点vmm=√gr杆模型，最高点vmin=0v²m-rmw²rm4π²r²=w²r=rT'-圆周运动能量观点标量矢量动量观点能量功W=Flcos a平均功率F= W瞬时功率P=Fucos α机车启动动能定理，W,=△E机械能守恒定律功能关系能量守恒动量定理Ft=mv₂-mv缓冲问题连续体问题电磁感应中的电荷量问题动量守恒定律mi2₁+m₂=m₁v′+m₂₂'碰撞爆炸反冲弹性碰撞非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量p=mu-冲量l=FtT力在空间力在时间效果积累效果积累能量与动量力学三大观点常见过程动力学观点能量观点动量观点常见模型匀变速直线运动平抛运动圆周运动一般的曲线运动滑块、滑板斜面弹簧传送带碰撞性质作用电场强度(E= ,E=k Q ,E= d U ),电场线 电势(φ: 9E . ,U=4A-4s,W=qU), 等势面平衡带电粒子在对电荷：F=qE 加速匀强电场中偏转对导体：静电感应(静电平衡、静电屏蔽)电容(定义式C= 决定式C= E,S )4πkd'电场与磁场性质作用带电粒子在电、 磁场中的运动磁感应强度 B= F (I ⊥B)L对通电导线： F=BIL(I ⊥B)对运动电荷：F=quB(v ⊥B) ①仅受电场力②仅受洛伦兹力 ③在复合场中运动 ①直线运动② 类平抛运动 ③圆周运动 ④一般曲线运动应用实例 ①示波管 ②直线加速器 ③速度选择器 ④磁流体发电机 ⑤电磁流量计 ⑥霍尔元件 ⑦质谱仪 ⑧回旋加速器v//B,F=0,做匀速直线运动u⊥B,F=quB,做匀速圆周运动带电粒子在 匀强磁场中带电粒子的受力情况带电粒子的运动性质磁感线，磁通量φ=BSQ U' 磁场电场合力为零合力方向与速度方向在同一直线上合力指向轨迹凹侧速度偏转角：,v6%侧移距离：y=yo+l'tanPIfu某一位置，牛顿第二定律 某一过程，动能定理匀速直线运动 变速直线运动曲线运动规律：牛顿 运动定律或 动能定理 带电粒子在电场中的运动运动的 分解类平抛 运动圆周运动常见磁场磁场的描述磁场对电流的作用磁场对运动电荷的作用匀强磁场条形磁铁的磁场通电直导线周围的磁场通电圆环周围的磁场磁感线磁感应强度安培力洛伦兹力提供向心万大小、方向大小F=BIL(I⊥B)方向左手定则方向-大小F=quB(v⊥B)mi匀速圆R= qB周运动T=qB安培定则2πm磁场在电 场中在组合场 中的运动 (不计重力)在磁 场中计重 力在叠加场中的运动不计 应 重力 用般曲线运动v//E,匀变速直线运动⊥E, 类平抛运动v//B,匀速直线运动v⊥B.匀速圆周运动匀速直线运动 qE 、mg 、quB 平 衡匀速圆周运动 速度选择器质谱仪回旋加速器 磁流体发电机电磁流量计 霍尔元件功能关系注意两个过程的 衔接，前一过程 的末速度是下一 过程的初速度aE=mg,auB 提供向心力quB=mr 电：子复场 的 动 带粒在合中运Aφ电源直流电路用电器电路产 生 交变电流(正、余弦) 描述输送感应电流方向的判定： 楞次定律、右手定则电 磁 感 应感应电动势的大小：E=n²△,E Lv总功率：P=EI输出功率：P=U 内耗功率：P=I²r直流电路的动态分析 含容直流电路的分析 电路故障的分析电路中的能量转化部分电路欧姆定律l=闭合电路欧姆定律l= UR ER+r 电阻：R=p; S T电功： W=uit电热： Q=FRt交流电“四值” 周期、频率变压器远距离输电基本关系制约关系运用牛顿运动定律分析导体棒切割磁感线问题运用动量定理、动量守恒定律分析导体在导轨 上的运动问题运用能量守恒定律分析电磁感应问题运用电磁感应与欧姆定律的有关知识分析图象场、路结合问题 电路与电磁感应探究型实验验证型实验实验仪器实验方法测量做直线运动物体的瞬时速度探究弹簧弹力与形变量的关系探究加速度与物体受力、物体质量的关系探究平抛运动的特点探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系探究两个互成角度的力的合成规律验证机械能守恒定律验证动量守恒定律长度测量仪器刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器时间测量仪器打点计时器、秒表(不估读)数字计时器(光电门)等效法控制变量法倍增法力学实验探究型实验测量型实验测量仪器读数观察电容器的充、放电现象探究影响感应电流方向的因素探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系测量金属丝的电阻率测量电源的电动势和内阻用多用电表测量电学中的物理量电压表、电流表、欧姆表、电阻箱电表的改装电学实验描述方法回复力特点简谐运动共振受迫振动实验：用单摆测量重力加速度的大小描述方法形成条件干涉、衍射波速、波长和频率(周期)的关系光的折射全反射sin C= 1光的干涉薄膜干涉光的衍射光的偏振实验：测量玻璃的折射率实验：用双缝干涉实验测量光的波长麦克斯韦电磁场理论电磁波的产生机械振动机械波光学电磁波机械振动与机械波光电磁波n分子直径数量级为10-*”m.阿伏加德罗常数 扩散现象、布朗运动引力、斥力同时存在分子力表现为引力和斥力的合力 温度是分子平 均动能的标志各向异性晶体各向同性液体玻意耳定律(等温):p.V=p ₂V 查理定律(等容):Pi P:T T 盖一吕萨克定律(等压):V VTT p ₁V p ₂V ₂理想气体状态方程：T T热力学第一定律△U=W+Q热力学第二定律(两种表述)用油膜法估测油酸分子的大小探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系分子动理论固体和液体气体实验定律热力学定律实验分子力- 内能单晶体多晶体分子动能 分子势能非晶体热学固体原子核式结构能级玻尔理论跃迁，hv=E-E(m>n)天然放射现象、三种射线、原子核的组成：中子、质子衰变核反应 电荷数守恒、裂变 质量数守恒聚变核力 (比)结合能 质量亏损，核能，△E=△mc²极限频率最大初动能 E ₁=hv-W ₀饱和光电流 光的强度电子的干涉和衍射h λ=p光子能量ε=hv光电效应物质波原子结构原子物理α粒子散射实验近代物理人工核转变波粒二象性遏止电压原子核。
混沌动力学导论第3章
第三章摆动力学的可视化描述VISUALIZATION OF THEPENDULUMˊS DYNAMICS3-0 摆的数学描述和计算机仿真：3-1对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：3-4 时间序列和功率谱3-5 吸引盆:3-6分岔图(Bifurcation diagrams)3-0摆的数学描述和计算机仿真：在这一节我们将讨论下面4个问题：1、驱动摆（driven pendulum）的运动方程：2、产生混沌运动条件。
3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。
4、一个有趣的问题。
1、驱动摆的运动方程：摆的运动是一个十分古老的问题。
物理学、数学都作了大量的研究，但它仍然是最具魅力的研究课题。
首先我们写出驱动摆（driven pendulum ，也叫做“强迫振动摆”）的运动方程：//sin cos d dt q g ωωθφ=--+/d dt θω= （3-1） /D d dt φω=方程组（3-1）中有3个状态变量：θ—摆的角位移（angular displacement ）; ω—摆的角速度（angular velocity ）; φ—驱动力的相位角（drive phase angle ）。
因此它的轨线在3维相空间描绘。
方程（3-1）中也有3个参数：q —阻尼系数（damping factor ）；g —驱动力幅值（driving force amplitude ）； D ω—驱动力角频率（angular drivefrequency）。
同时考虑3个参数来研究驱动摆的性态，也就是说，在3维相空间和3维参数空间内考察摆的形态，将是一个十分困难、实际上不可能完成的任务。
我们把ωD固定，选择少数几个q值，让g 值在一定的区间充分变化，以观察系统的性态。
（在Appendix B（Page 207， Listing 4）中有描述摆运动的计算机程序（Title: Motion），可供参考。
）2、产生混沌运动的条件：产生混沌的必要条件有2条（See: Page 2）：（1）系统至少要有3个独立的动力学变量；（2）系统至少要有1项包含了几个动力学变量的非线性项。
混沌动力学ppt课件
Lorenz模型：
16
3.2 混沌产生的数学模型
对于确定性系统中的随机性，即混沌现象， 也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代 过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分 析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现 象的本质。
17
3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一维映射：
它都会逐年增加，最后把昆虫数目稳定在 一个 生存资源条件允许的有限数目上。但我们看到，这个
有限数目
也会随着K的增加而增加，但这种
趋势不会永远继续下去，当K超过3时 也会变成不
稳定。
36
(三) 3<K<
(K2=
=3.4495)
37
既然是重复出现：
系统重复出现的这两个点
称为2点周期。
上述情况表明：当K>3时，昆虫数的长时间行为不再
可采用分析不动点的稳定性条件来回答这个问题。 在稳定的不动点 附近，如果把每次迭代结果写成：
那么，要使 逐渐趋于稳定不动点 ，则随着迭代 的进行， 逐渐减小，即
上式就是不动点 的稳定条件。 31
那么 由 在不动点处，
32
所以，不动点 的稳定条件为：
将
代入上式，得到不动点 的稳定性条件为：
也就是说，要使昆虫的数目随时间延续不致于消亡，
K1
K2
41
当 即：
时，4点周期将取代2点周期
42
根据4点周期稳定的条件，可求出4点周期 稳定的K的取值范围：
用计算机求解这两个高次代数方程，得 4周期点稳定条件：
43
当
时，4点周期→8点周期
当
时，8点周期→16点周期
16
3.2 混沌产生的数学模型
对于确定性系统中的随机性，即混沌现象， 也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代 过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分 析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现 象的本质。
17
3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一维映射：
它都会逐年增加，最后把昆虫数目稳定在 一个 生存资源条件允许的有限数目上。但我们看到，这个
有限数目
也会随着K的增加而增加，但这种
趋势不会永远继续下去，当K超过3时 也会变成不
稳定。
36
(三) 3<K<
(K2=
=3.4495)
37
既然是重复出现：
系统重复出现的这两个点
称为2点周期。
上述情况表明：当K>3时，昆虫数的长时间行为不再
可采用分析不动点的稳定性条件来回答这个问题。 在稳定的不动点 附近，如果把每次迭代结果写成：
那么，要使 逐渐趋于稳定不动点 ，则随着迭代 的进行， 逐渐减小，即
上式就是不动点 的稳定条件。 31
那么 由 在不动点处，
32
所以，不动点 的稳定条件为：
将
代入上式，得到不动点 的稳定性条件为：
也就是说，要使昆虫的数目随时间延续不致于消亡，
K1
K2
41
当 即：
时，4点周期将取代2点周期
42
根据4点周期稳定的条件，可求出4点周期 稳定的K的取值范围：
用计算机求解这两个高次代数方程，得 4周期点稳定条件：
43
当
时，4点周期→8点周期
当
时，8点周期→16点周期
混沌系统理论 ppt课件
一则西方寓言： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件 的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一 个帝国存与亡的根本差别。
这就是军事和政治领域中所谓的"蝴蝶效应"。
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成 的途径、机制的研讨。
混沌系统理论
典型系统
分形几何与奇怪吸引子
非周期定态
混
对初值的敏感依赖性
沌
的
确定性随机性
特 点
长期行为的不可预见性
混沌序：貌似无序的高级有序性
，一是能鲜明地表现出混沌的主要特 征，二是数学模型简单，容易处理。
这是混沌系统的典型特征。意思是说， 初始条件的微小差别会在最后的现象中 产生极大的差别，或者说，起初小的误 差可能会引起灾难性后果。 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那 里小小的变化会被放大.....
在天气这个系统中，对初始条件的敏感依赖性乃 是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果。 因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。因为信息 在传递的过程中，有一种放大作用。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
有科学家称之为混沌学。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义
混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则
运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。
混沌动力学导论第4章
Feigenbaum diagram 的一个重要的特点就
是：
连锁反应式的倍周期
——一条通向混沌的道路。
更有趣的是，如果第 1 个分岔点是 1，
第 2 个分岔点是
，第
2
3
个分岔点是
16
， 3
1，
，
k
k 1
等等。则
有：
lim k k1 k1 k
=4.669 201 609 102 990 9… （4-12）
的实数（我们希望、也总可能把问题限 制在单位区间内讨论。为什么？请思 考。）； μ—参数（不一定只限于一个参数）。
3
函数 f 称之为在区间（0，1）上自身的“映 射”（map）,它从 xn 产生 xn+1。
4-2、线性映射（linear map）：
为了说明问题方便，先研究线性映射。 取一线性函数：
xn1 xn
11
另一条是上突的抛物线 ：
f (x) x(1 x)
xn1 xn
Fig.4.1（P77） f (x) x(1 x)
（1）μ= 2 的情况：
从（4-6）可知：
x2 11/ 0.5
由于μ= 2 满足条件（4-10）： 1〈 μ〈 3
12
所以可以断定 x2 = 0.5 是一个稳定的不 动点，即
（4-9）
在前面我们已经得到了抛物线映射不动点 的两个答案，即：x1 = 0 和 x2 = 1 - 1/μ。把 它们分别代入（4-9）式得： 当 x1 = 0 时，f′(x) =μ。即：不动点 x1 = 0 稳定的条件是：
|μ|〈 1； （反之，|μ|> 1 时，会怎样？）
当 x2 = 1 - 1/μ时， f′(x) =μ- 2μ（1 - 1/μ）= 2 –μ
混沌初步-1
混沌科学与其它科学相互渗透，无论是生物学、生理
学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科 学、还是在天文学、气象学、经济学、甚至在音乐、 艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。混沌在现代 科学中都起着十分重要的作用。
著名的物理学家 J.Ford 认为混沌是二十世纪物 理学第三次最大的革命，与前两次革命相似，混 沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的 教规---相对论消除了绝对空间与时间的幻想，量 子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；
非线性动力学导论
之五：混沌动力学初步
北京理工大学宇航学院力学系 岳宝增
一 混沌的基本概念
两位伟人的名言
Laplace (1776): 自然界的任何规律都是严格确 定的，并且完全可以预测----建立在力学基础上 的确定论。 Poincaré (1903): 给予某一系统的微小扰动随 着时间历程有可能被放大，因而长时间的预测 是 不 可 能 的 --- 发 现 了 混 沌 的 影 子 ， Lorenz (1963) 第一次发现了混沌。
Left - favoring attractor
摆的混沌动力学——外激励摆
摆的混沌动力学——外激励摆
摆的混沌动力学——外激励摆
………..
摆的混沌动力学——外激励摆
一周期
有阻尼受激励单摆 二周期 混沌
有阻尼受激励单摆-对称性破缺
有阻尼受激励单摆-混沌摆
相图？？？
Duffing方程（具有非线性恢复力系统）
0
0
受迫Duffing方程
3 x ax kx x F cos t
1 x2 x x 3 2 kx1 ax2 x1 Fx3 2 2 x x 3 4 x x3 cos t 利用 是方程 3 4 x3 的解,将原系统化为自治系统 x
Chaotic Dynamics - TAU混沌动力学的头
to Newton laws → this is just a dynamical system governed by a (very large though) set of differential equations
•Given the starting positions and velocities of all particles, there is a unique outcome → P. Laplace’s Clockwork Universe (XVIII Century)!
Dynamical Systems
• A dynamical system is defined as a deterministic mathematical prescription for evolving the state of a system forward in time
• Example: A system of N first-order, autonomous ODE
tim e (s)
f = 1.48 f = 1.49 f = 1.50
0 .0 2 0
0 .0 2 5
Forget About Solving Equations!
New Language for Chaos: • Attractors (Dissipative Chaos) • KAM torus (Hamiltonian Chaos) • Poincare sections • Lyapunov exponents and Kolmogorov entropy • Fourier spectrum and autocorrelation functions
systems, and discovered a very complicated dynamics,but: "It is so complicated that I cannot even draw the figure."
•Given the starting positions and velocities of all particles, there is a unique outcome → P. Laplace’s Clockwork Universe (XVIII Century)!
Dynamical Systems
• A dynamical system is defined as a deterministic mathematical prescription for evolving the state of a system forward in time
• Example: A system of N first-order, autonomous ODE
tim e (s)
f = 1.48 f = 1.49 f = 1.50
0 .0 2 0
0 .0 2 5
Forget About Solving Equations!
New Language for Chaos: • Attractors (Dissipative Chaos) • KAM torus (Hamiltonian Chaos) • Poincare sections • Lyapunov exponents and Kolmogorov entropy • Fourier spectrum and autocorrelation functions
systems, and discovered a very complicated dynamics,but: "It is so complicated that I cannot even draw the figure."