质心质心运动定理

质点系的动量
v p
=
v m1v1v+
v m2v 2
+ v
L
+
v mnv n
v
= =
m1 d dt
dr1 + dt v (m1r1
m2
dr2 dvt
+ m2r2
+L+ +L+
mnvddrtn mnrn )
y
m1
m2
mi
质点系的总质量
O
x
m = m1 + m2 + L + mn
z
3
设想质点系的全部质量和动量都集中在一个点C
m'vC = mivi = pi
nv
再对时间
t
i =1
i =1
求一阶导数，得
v m'aC
=
d( pi )
i =1
dt
14
根据质点系动量定理
nv
n
v dpi
i=1 dt
=
nv Fi e x
i =1
（因质点系内 Fiin = 0 ）
v F ex
i =1v = m' dvC
dt
v = m'aC
n
mi xi
xC

=
i =1
m'
n
mi yi
yC
=
i =1
m'
n
mizi
zC
=
i =1
m'
➢对质量连续分布的物体：
xC
=
1 m'
xdm，yC
=
1 m'

i ji
n
n
n d f ij ( m i vi ) d t i 1
f12
F1
由于内力成对出现，根据牛顿第三定律得
m1
m2
F2

i ji
n
n
f ij 0
所以
d n Fi d t ( mi vi ) i 1 i 1
n
（微分形式）
f 21
两边积分得

t
t0
n n Fi d t mi vi mi vi 0（积分形式） n i 1 i 1 i 1
上式表明，在一段时间内，作用于质点系的外力的矢量和
的冲量等于质点系动量的增量。这个结论称为质点系动量定 理。
其分量式
Fix dt mi vix mi vi 0 x t0 t t0 Fiy dt mi viy mi vi 0 y t Fiz dt mi viz mi vi 0 z t0
位于其几何中心处；
2. 质心的位置不一定在质点系内部；
3. 不太大的实物，质心与重心相重合； 4. 质点系的重力势能为质心带着体系质量 具有的重力势能； 5. 质点 体系的质心，可以先求出部分体系质心，然 后以这些质心为质点，在求体系的质量。
例 在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2 的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。 解 由于对称只需求质心的x坐标， 由于大圆可看作小圆和剩余部分构成， 而大圆质心为坐标原点，有

Ft2 m2
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
rC m 1 r1 m 2 r2 m n rn m1 m 2 m n

碰撞: 两物体互相接触时间极短而互作用力较大的相互作用过 程. ex in
F
F
pi C
i
1) 完全弹性碰撞
系统内动量和机械能均守恒
2) 非弹性碰撞
系统内动量守恒, 机械能不守恒
3) 完全非弹性碰撞 系统内动量守恒, 机械能损失最大
弹性小球作对心碰撞, 两球的速度方向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v 和 v .
dp d(mvC ) F dt dt dvC m maC dt
5. 以质心区分平动, 转动
若外力的作用线经过质心, 则 物体只能平动而不转动; 只有 外力作用线不经过质心, 物体 才能转动.
例. 长为 L 质量为 m 的均质细杆, 右 端穿在光滑的轴上, 另一端用轻质 铰链悬挂于天花板. 求轻绳断开瞬 间, 轴提供的支持力. 解: 将细杆看作一个质点系, 其质 心位于中点处
碰前
m m1 v 2 v 10 20
A
碰后
(m2 m1 ) v20 2m1v10 v2 m1 m2
讨 论 1) 若 2) 若
B
v1
B
v2
A
3) 若
m1 m2 则 v1 v20 , v2 v10 m2 m1 且 v20 0 则 v1 v10 , v2 0 m2 m1 且 v20 0 则 v1 v10 , v2 2v10
碰后
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 2 2 2 2
v1
BБайду номын сангаас
v2
A
m1 v10 m2 v 20 1 2 1 1 2 1 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 A B 2 2 2 2 碰后 2 2 2 2 v1 v2 m1 (v10 - v1 ) m2 (v2 v20 )

第三章 动量守恒和能量守恒
17
y
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
3-0 教学基本要求 3-1 质点和质点系的动量定理 3-2 动量守恒定律
*3-3
系统内质量移动问题
3-4 动能定理
3-5 保守力与非保守力
第三章 动量守恒和能量守恒
势能
18
第五版
3-9
质心
质心运动定律
由质心运动定律有
2
d yC F F yg l 2 d t 2 2 d yc 1 dy 2 d y y ( ) y 2 而 c 2 dt l dt dt yC 2 dy d y o 考虑到 v ， 2 0 dt dt 2 2 d yC v 得到 F yg l l 2 dt l 2 F yg v
n
i i
m'
yC
m y
i 1 i
i
m'
zC
m z
i 1
i i
m'
对质量连续分布的物体： 1 1 1 z y y d m ， xC x d m ， C C m' m' m'
zdm
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
第三章 动量守恒和能量守恒
3
5
物理学
第五版
3-9
质心
质心运动定律
例2
求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心.
Rsin θ
y
Rd θ
R
θ O
dθ
Rcos θ
x
解 选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环
第三章 动量守恒和能量守恒