2019高考数学一轮复习课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示理新人教A版

考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型预测热度1 .平面向量基本定理 了解平面向量的基本定理及其意义了解2017 江苏,12;2015 北京，13; 2013 北京,13 选輙 填空题2.平面向赢的坐标运 算①掌握平面向昴的正交分解及其坐标表不;②会用坐标表示平面向昴的加法、减法与 数乘运算；③ 理解用坐标表不的平面向最共线的条件掌握2016课标全国H ,3;2015 江苏,6; 2014 陕西,13; 2013 重庆，10选择题 填空题分析解读1 •理解平面向量基本定理的实质.理解基底的概念.会用给定的基底表示向量• 2.掌握求向量坐标的方法.掌握平面向量 的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题• 4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考 考查的重点.分值约为5分，属中低档题•五年高考1. __________________________________________________________ (2015北京」3,5分)在ZiABC 中，点M,N 满足二2三若二x+y,则x 二____________________________________________________ ,y= ________答案2. (2013北京,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示•若c 二;U+“b( A , “ WR),则二 ____答案4考点二平面向量的坐标运算1.(2016课标全国U ,3,5分)已知向量a=(l >m)>b=(3,-2),且(a+b)丄b,则m=( )A. -8B. -6C.6D.8答案D2. (2015 江苏,6,5 分)已知向量 a 二(2,1) ,b 二(1 ,・2)，若ma+nb 二(9,・8)(m,nWR),则 m-n 的值为 .答案-33. (2014 陕西,13,5 分)设向量 a 二(sin 20 ,cos 0 ),b=(cos 0,1),若 a 〃b,则 tan 0- _________ .答案教师用书专用(4一5)4. (2013重庆,10,5分)在平面上，丄，丨1 = 11=1,=+.若lie,则II 的取值范围是( ) A. B. C.D.答案D§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量基本定理5. (2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB=2,BC=1, ZABC 二60".动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且二入，二,则■的最小值为 _______ . 答案三年模拟A 组2016-2018年模拟•基础题组平面向量基本定理1. （2018江西南昌二中月考,9）D 是AABC 所在平面内一点，二入+ “（入，“ WR ）,则“0＜入＜1”是“点D 在AABC 内部（不含边界）”的（）A.充分不必要条件 B •必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2018江西新余一中四模,7）已知AOAB,若点C 满足二2，二入+ “（入，“ £R ）,则+二（ ） A. B. C.D.答案D3. （人教A 必4,二,2-3B,3,变式）正方形ABCD 中,E 为DC 的中点，若二入+ 〃，则入+ “的值为（ ） A. B.- C.l D.-1答案A4. （2017河南中原名校4月联考,7）如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点0,E 为A0的中点,若二入+ “（入，“为实数）,则 A 2+ZZ =（）A. B. C.lD.答案A5. （2017河南安阳调硏,13）已知G 为△ ABC 的重心、令二a, =b 、过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且，二nb,则答案3考点二平面向量的坐标运算6. （2018海南海口模拟,5）已知两个非零向量a 与b ，若a+b=（ -3,6） ,a-b=（ -3,2）,则的值为（） A.-3B.-24C.21D.12答案C7. （2017河北翼州模拟,7）已知向量a=,b=（4,4cos a ・）,若a 丄b,则sin=（ ） A. -B. -C.D.答案B8. （2017福建四地六校4月联考,13）已知A （1,0）,B （4,0）,C （3,4）,0为坐标原点，且二（+・）,则11等于 .考点一 R答案2B组2016—2018年模拟•提升题组（满分:15分时间:10分钟）一、选择题（每小题5分，共10分｝1.（2018四川德阳三校联考,11 ）在厶ABC中,AB=AC二5,BC二6,1是△ ABC的内心,若*■!!（m,n丘R）,则二（）A. B. C. 2 D.答案B2.（2017安徽安庆模拟,6）已知a,b丘R+,若向显”（2,12・2a）与向就n=（ 1,2b）共线,则+的最大值为（）A.6B.4C.3D.答案A二、填空题（共5分）3.（2016河北石家庄二模,15）在AABC中J 1=3 J l=5,M是BC的中点,= A（ A ER）,若二+,则AABC的面积为___答案C 组2016—2018年模拟•方法题组1. （2018河南林州一中调研,9）已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点0,点P 在△C0D 的内部（不含边界）.若二x+y,则实数对（x,y ）可以是（）B. D.D2. （2017山西大学附中模拟,15）在直角梯形ABCD 中,AB 丄AD,DC 〃AB,AD=DC 二1 ,AB=2,E,F 分别为AB,BC 的中点，点P 在以A 为圆 心,AD 长为半径的圆弧DE 上运动（如图所示）.若二入+ “，其中入，“WR,则2入的取值范围是答案[-1,1]方法2平面向量的坐标运算技巧3. （2018重庆一中月考,10）给定两个单位向量，，且•二・,点C 在以0点为圆心的圆弧AB 上运动 ，二x+y,则 x-y 的最小值为（）B.-lC.-2D.0答案B4. （2016江西赣州二模）设向量二（x+2,x —cos 2a ）, = ?其中x,y, a 为实数，若二2、则的取值范围为（） A.[-6,l]B.[-l,6]B. [4,8] D.（o,l]答案A方法3方程的思想方法5. （2017山西临汾一中月考,4）已知向量a=（2,m ）,b=（l,l ）,若a ・b=la-bl,则实数m=（ ） A. B. - C. D.-答案D6. （2018吉林长春期中,15）向量,，在正方形网格中的位置如图所示,若二入+ “（入，“ £R）,则二 _方法1 平面向量基本定理及其应用策略A. C.答案答案27.（2016浙江温州二模,⑶如图，矩形ABCD中,AB=3,AD=4MN分别为线段BC,CD（不包括端点）上的点，且满足+二1,若二x+y,则x+y的最小值为_______ .NMB 答案。

考点规范练23平面向量基本定理及向量的坐标表基础巩固组1.已知点^（-1,5）和向量a=（2,3）,若而=3%则点B 的坐标为（ ）A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)2.已知向量 a=(l,2),b=(l,0),c=(3,4).若 2 为实数,(a+2b)〃c,则 2=()B.扌C.lD.23. （2017浙江三市十二校联考）己知点力（1,3）,8（4,・1）,则与而同方向的单位向量是（4•如图，向量e b e 2,a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 可用基底e 】©表示为（） A.ei+e? B.・2e 】+e2 C ・2e]・e2D ・2e 〔+e25. （2017湖南长沙调研）如图，在△CM3屮f 为线段M 上的一点，丽=工苗+卩丽，且丽=2丙，则（）6. 若平面向量a,b 满足|a+b| = l,a+b 平行于兀轴,b=（2,・l ）,则a= -------7. （2017福建三明质检）已知向量a,b 满足a=（V3,l ）,|b|=l,fia=Ab,则实数久= ____(■舄A.x=2 13^=3B.兀却=|&(2017江苏南京盐城模拟)如图，在口MCQ 中“C/D 相交于点为线段力0的屮点.若 页T 丽 +“丽U,“WR),则 2+“= ____________________ .能力提升组9.(2017广东茂名二模)已知向量a=(3,・2),b=(x 』・l),且必匕若心均为正数JIJ- + -的最小值是() x y给定两个长度为1的平血向量丽和而，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧仙 上运动^OC=xOA+yOB^中x,yeR,则x+p 的最大值是()11•在平面直角坐标系 ◎中,已知点4,B 分别在兀』轴上运动，且|伯=2,若m 冷丽+ |而，则|m|的取值范围是(C. [0,2]D. 0,竽12. (2017浙江名校联考)在平面内，页 丄 両两|=3,|阪|=4,丽=画 + 両,若1<|丽|<2,贝9|刃| 的収值范围是()A.(2V3, V17) C.(V17,2V6)D.(V21,2V6)13. _____________________________________________________ 已知向量 a,b,且|b| =2,a• b =2,RiJ|rb+(1 -2/)a|(/e R)的最小值为 _______________________________ .14. (2017浙江杭州模拟)已知/(cos ct,V3sin a),B(2cos0,V5sin 〃),C(・l,O)是平面上三个不同的点，且满足关系丽=2就,则实数2的取值范围是 _________ . 15.如图，已知“ABC 的面积为14,D,E 分別为边AB.BCA1的点，且40 : DB=BE : EC=2 : ME 与CD 交 于点 设存在久和“，使AP =>^E f PD =fiCD, AB =a,BC =b.A.2410.B.8A.1B.V2C.V3D.2B. 1 21 393.(1)求久及“;⑵用a,b表示丽；(3)求LPAC的面积.答案：1.D 设点B的坐标为(X』),则4B=(x+l,才5).2.A 由于a+久b=（l+入2）,故（a+2b）〃cn4（l+久）・6=0,解得2=空,故选A.4.B 以的起点为坐标原点,ei所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得ei=(l,0),e2=(-l,l),a=(-3,l),\AB\雷，57因为玄=心+*2=兀(1,0)+尹(・1,1)=(兀少尹),则｛；?；"懈得｛； ~ j故a=-2ei+e2.5.A 由题意知丽 =OB +~BP,又耶=2丽,所以丽 =OB + ^~BA = OB +^(0A- Ofi)=|o^4 + 寺丽，所以x=|,y=|.6.(-1,1)或(・3,1)由|a+b| = l,a+b 平行于兀轴，得a+b=(l,O)或(・1,0),则a=(l,0)・(2,- 1)=(・1,1),或a=(-l,0)-(2r l)=(-3,l).7.±2很明显君0,则b弓=(弓占)，据此有:(¥) + (扌)=1，解得2=土2.&扌由平面向量基本定理可得旋=*丽+寺丽=寺氏？ +扌丽，故碍，“冷，所以几+“=|.9.B : a^b,Z-2x-3(y-l)=0,+节+6)訂x(12 + 2后)电化简得2x+3尹=3. Vx.y均为正数，当且仅当女=竺时,等号成立,扌+ 丫的最小值是&故选B.10 B 法一:以0为原点，向量0瓦丽所在直线分别为兀轴、y 轴建立直角坐标系，设 <OA t OC>=0,Qe [o,号，则页=(1,0),丽=(0,1),况=(cos 0,sin0).• ：x+y=cos 0+sin O=V^sin (0 + 扌),〃+扌 G /.x+y 的最大值为逅.法二：：•点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上,/.\OC\2=\xOA^yOB\2=x 2+y 2^-2xyOA - OB=x 2+y 2=l> 进匚・・・x+j^ V2.当且仅当x=y=¥时等号成立.11 A 由题意，设畑0)/(00),由|/冈=2,得/+/=4, Zm=|ol + |OB =扣,0)+|(00)=(壬 a,£b)・又0W/W4,・・・£ <|m|2<罟，得扌<|m|<扌•故选A.12D 根据题意，不妨以/为原点，分别以ABMB2为x 轴护轴建立平面直角坐标系xAy, 如图所示，由丽=画 + 巫，设\AB^\=a,\AB^\=b,则P(a,b).设O(x 』),且|瓯|=3,|腿|=4, 所以(x-t7)2+jr=9=>(x-67)2=9-y,x 2+(y-/))2=16=>(j^/))2=16-x 2,将两式相加得(x-a)2+(y-b)2=25 - (F+b),即I丽|2=25・|丽|2=>|丽|=』25・|丽|2,又 1<|丽|<2,所以VH<|OA|<2V6.^选 D.13.1 设 b=(2,0),a=(x,y),由 a b=2 得 x=l,・:a=( 1 丿).・：Zb+( 1 -2z)a=l +(1 -2t)y.・：|/b+(l ・2诃=1+(1・2咛$1,当且仅当 兮或尸0时取“」.故所求最小值为1.14. ；e[-2,l]且 舜0 ・・・丽=匚BC,Z(cos a+l,V5sin a)=A(-l-2cos^-V3sin ”), ・：1+cosa=A(-l-2cos^),V3sin DV3sin “，4+3於~~9~^OC=xOA +yO B,・•・% = cos 。

2.平向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 . 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，＋∞)
√D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析 由题意知向量a，b不共线， 故2m≠3m－2，即m≠2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(2019·蚌埠期中)已知向量 m＝sin A，12与向量 n＝(3，sin A＋ 3cos A)共线，
其中 A 是△ABC 的内角，则角 A 的大小为
π A.6
π B.4
√π
C.3
π D.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.(3,1)
√B.(4,2)
解析 A→C＝A→D＋D→C＝(3,1)，

第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e 1，e 201不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a 02λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j 04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i 05(1,0)，j 06(0,1)，0＝07(0,0).3．平面向量的坐标运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b 08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b 09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa 10(λx 1，λy 1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB →11(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|12 错误!. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． 2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 5．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33. 6．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 3－y 1)．1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)答案 D解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2答案 D解析 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又因为a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－34答案 B解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.4．设向量a ＝(－1,2)，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，25 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，－255 答案 B解析 因为向量b 是与a 方向相同的单位向量，所以b ＝a|a|＝错误!(－1,2)＝错误!(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－55，255.故选B. 5．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.考向一 平面向量基本定理的应用例1 (1)如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋2μ＝( )A ．1B ．32C ．43D ．2答案 B解析 设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i ，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j ，∴AB→＝－2i ＋2j ，AC →＝4i ，AP →＝i ＋j ，∵AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，即i ＋j ＝λ(－2i ＋2j )＋μ×4i ，i ＋j ＝(4μ－2λ)i ＋2λj ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－2λ＝1，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，∴λ＋2μ＝32.故选B.(2) 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．(2020·北京市朝阳区一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 满足BC→＝2BD→，CA →＝3CE →.若DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．－12B ．－13C.12 D ．13答案 B解析 △ABC 中，点D ，E 满足BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.DE →＝DC →＋CE →＝12BC →＋13CA→＝12(AC →－AB →)－13AC →＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16，∴x ＋y ＝－12＋16＝－13.故选B.2．(2020·青岛市高三上学期期末)在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋2DE →＝0，若EB→＝x AB →＋y AC →，则( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x C ．x ＝2y D ．x ＝－2y答案 D解析 如图所示，∵AB→＋AC →＝2AD →，∴点D 为边BC 的中点．∵AE →＋2DE →＝0，∴AE →＝－2DE →，∴DE →＝－13AD →＝－16(AB →＋AC →)．又DB →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴EB →＝DB →－DE →＝12(AB →－AC →)＋16(AB →＋AC →)＝23AB →－13AC →.又EB →＝x AB →＋y AC →，∴x ＝23，y ＝－13，即x ＝－2y .故选D.考向二 平面向量的坐标运算例2 (1)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A ．(3,1) B ．(4,2) C ．(5,3)D ．(4,3)答案 B解析 AC→＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1，1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC→＋BC →＝(4,2)．(2)(2020·辽宁省辽南协作校二模)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，83 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－83C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )＝－13(5＋4×2，－2＋2×3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43.故选D. (3)(2020·天津和平区模拟) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B ．85C ．2D ．83答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1,2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.4．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，若点E 满足OC→＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23答案 A解析 解法一：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC→＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )， 由OC →＝3EC →，知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.解法二：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，由OC →＝3EC →得OC →＝3(OC →－OE →)，所以OE→＝23OC→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，所以点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2020·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C．12D．－12答案 D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－12.故选D.(2)(2021·海口市海南中学高三月考)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.答案(－3，－6)解析由题意，设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)，∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x ＝－3，∴B(－3，－6)．利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析 解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)． 又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．6．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案 －2解析 ∵B ，C ，D 三点共线， ∴BD→＝x BC →＝x (BA →＋AC →)， 即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cosα＝xsinα，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.一、单项选择题1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5答案 D解析 因为AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5，所以CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.3. 如图，在梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC→，且AE →＝r AB →＋s AD →，则2r ＋3s ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C解析根据题图，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD→＋14AB→＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝r AB→＋s AD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案 B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm＝5，解得λ＝5，m ＝1，所以λ＋m ＝6.6．(2020·青岛模拟)已知向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则sin x ＝( )A.45B ．35C ．25D ．255答案 A解析 根据题意，向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，若a ∥b ，则2sin x ＝1＋cos x ，变形可得cos x ＝2sin x －1，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，则有sin 2x ＋(2sin x －1)2＝1，变形可得，5sin 2x －4sin x ＝0，解得sin x ＝0或sin x ＝45，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin x ＝45.故选A.7. (2020·黑龙江省大庆一中三模)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB ＝3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA→＝λBE →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－925 B ．725C ．1625D ．1答案 B解析 由题意建立如图所示平面直角坐标系，因为AB ＝3，BC ＝4，则B (0,0)，A (0,3)，C (4,0)，BA→＝(0,3)，AC →＝(4，－3)，设BE →＝(a,3)，因为BE ⊥AC ，所以AC →·BE →＝4a －9＝0，解得a ＝94.由BA →＝λBE →＋μAC →，得(0,3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，3＋μ(4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧94λ＋4μ＝0，3λ－3μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1625，μ＝－925，所以λ＋μ＝725，故选B.8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC ＝150°，点P 在弧BC 上运动，AP →＝λAB →＋μAC→，则3λ－μ的最小值是( )A ．0B ．3C ．2D ．－1答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (cos150°，sin150°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)(0°≤θ≤150°)，因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cos θ＋3sin θ，μ＝2sin θ，那么3λ－μ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋60°)，因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－12，因此3λ－μ的最小值为－1.故选D.二、多项选择题9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B ．DA →与BC → C.CA →与DC →D ．OD→与OB → 答案 AC解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA→与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案 ABD解析 各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB →＝OB →－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，则下列结论正确的是( ) A.AD →＝－12a －bB ．BE →＝a ＋12bC.CF →＝－12a ＋12bD ．EF →＝12a答案 ABC解析如图，在△ABC中，AD→＝AC→＋CD→＝－CA→＋12CB→＝－b－12a，故A正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，故B正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12×(－b－a)＝－12a＋12b，故C正确；EF→＝12CB→＝－12a，故D不正确．故选ABC.12. (2020·山东潍坊高三模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点P，若AP→＝λAB→，OC→＝μOA→＋3μOB→，则()A．P为线段OC的中点时，μ＝1 2B．P为线段OC的中点时，μ＝1 3C．无论μ取何值，恒有λ＝3 4D．存在μ∈R，λ＝1 2答案AC解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋λAB→＝OA→＋λ(OB→－OA→)＝(1－λ)OA→＋λOB→，因为OP→与OC →共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C 正确，D 错误；当P 为OC 的中点时，则OP →＝12OC →，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A 正确，B 错误．故选AC.三、填空题13．(2020·哈尔滨六中二模)已知向量a ＝(log 2x,1)，b ＝(log 23，－1)，若a ∥b ，则x ＝________.答案13解析 因为a ∥b ，所以－log 2x ＝log 23，所以log 2x ＋log 23＝0，所以log 2(3x )＝0，所以3x ＝1，所以x ＝13.14．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析 因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．15. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． 由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.16．(2020·济南市高三上学期期末)平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析 因为M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →， 所以DM →＝12DC →，BN →＝23BC →. 又因为AB→＝λAM →＋μAN →， 所以AB→＝λ(AD →＋DM →)＋μ(AB →＋BN →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12DC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC → ＝λAD →＋λ2DC →＋μAB →＋2μ3BC →.① 又因为在平行四边形ABCD 中，AB→＝DC →，AD →＝BC →， 所以①整理得，AB →＝λAD →＋λ2AB →＋μAB →＋2μ3AD →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2－μAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋2μ3AD →. 又因为AB→，AD →不共线，由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ2－μ＝0，λ＋2μ3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝32，所以λ＋μ＝12.。