全国2019版高考数学一轮复习第章平面向量第讲平面向量的基本定理及坐标表示增分练2
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第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．[2018·东北三校联考]已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →
＝1
2MN →，则P 点的坐标为
( )
A ．(－8,1)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32
D ．(8，－1)
答案 B
解析 设P (x ，y )，则MP →
＝(x －3，y ＋2)． 而12MN →
＝12(－8,1)＝⎝
⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －3＝－4，y ＋2＝1
2.解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－3
2.
∴P ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－32.故选B.
2．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)
答案 B
解析 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．故选B.
3．若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →
＝(3,5)，AC →
＝(2,4)，则AD →
＝( )
A ．(－1，－1)
B ．(5,9)
C ．(1,1)
D ．(3,5)
答案 A
解析 由题意可得AD →
＝BC →＝AC →
－AB →
＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．故选A. 4．[2018·福建模拟]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B
解析 若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，故a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为
－15≠2
－2
，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来，C ，D 选项中e 1，e 2都为共线向量，故a 不能由e 1，e 2表示．故选B.
5．[2018·广西模拟]若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋3
2b
B.12a －3
2b C.32a －1
2b D ．－32a ＋12
b
答案 B
解析 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －3
2
b .故选B.
6．已知O 为坐标原点，且点A (1，3)，则与OA →
同向的单位向量的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－32
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，－32
答案 A
解析 与OA →
同向的单位向量a ＝
OA
→
|OA →
|
，又|OA →|＝
1＋ 3 2
＝2，故a ＝12(1，3)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32.故选A.
7．已知向量OA →
＝(1，－3)，OB →
＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )
A ．k ＝－2
B ．k ＝1
2
C ．k ＝1
D ．k ＝－1
答案 C
解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，
则向量AB →，AC →
共线， ∵AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
AC →
＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，
∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.
8．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －5
4
解析 AB →
＝(a －1,3)，AC →
＝(－3,4)，据题意知AB →∥AC →
，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝
－5，∴a ＝－5
4
.
9．[2018·延安模拟]已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，
C (4,2)，则点
D 的坐标为________．
答案 (2,4)
解析 因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →
＝2AB →
.
设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC →
＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．
10．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则
λ
μ＝________.
答案 4
解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，
∴a ＝AO →
＝(－1,1)，b ＝OB →
＝(6,2)，c ＝BC →
＝(－1，－3)．
∵c ＝λa ＋μb ，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3. 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λ
μ
＝4.
[B 级 知能提升]
1．[2018·广东七校联考]已知向量i ，j 不共线，且AB →
＝i ＋m j ，AD →
＝n i ＋j ，m ≠1，若
A ，
B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )
A ．m ＋n ＝1
B ．m ＋n ＝－1
C ．mn ＝1
D ．mn ＝－1
答案 C
解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →
∥AD →
，存在非零实数λ，使得AB →
＝λAD →
，即i ＋
m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j
不共线，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－λn ＝0，
m －λ＝0，则mn ＝1.故选C.
2．[2018·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →
＝23OA →＋13OB →，则
|AC →|
|AB →
|
的值为( )
A.12
B.13
C.14
D.2
5 答案 B
解析 由已知得，3OC →
＝2OA →
＋OB →
，即OC →
－OB →
＝2(OA →－OC →
)， 即BC →
＝2CA →
，如图所示，
故C 为BA 的靠近A 点的三等分点，因而|AC →
||AB →|
＝1
3
.选
B.
3.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →
＝λAE →＋μAF →
，其中λ，
μ∈R ，则λ＋μ＝________.
答案 43
解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →
＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋1
2AD →
，
又AC →
＝λAE →
＋μAF →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →
＋⎝
⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →
，
于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 1
2λ＋μ＝1，λ＋1
2μ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2
3，μ＝2
3，
故λ＋μ＝4
3
.
4．[2018·杭州测试]如图，以向量OA →
＝a ，OB →
＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝1
3
CD →
，
用a ，b 表示OM →
，ON →，MN →
.。
