2019年高考数学一轮复习： 课时分层训练27 平面向量的基本定理及坐标表示 理 北师大版

2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示（解析版附后）A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图4-2-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )图4-2-2A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向4．如图4-2-3，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则 ( )图4-2-3A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝145．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ).(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标.10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →2．向量a ，b ，c 在正方形 格中的位置如图4-2-4所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4-2-43．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图4-2-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )图4-2-2A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④B [①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．]2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .]3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向D [由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎨⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．]4．如图4-2-3，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则 ( )图4-2-3A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝14A [由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.]5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)B [AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2)，∵点Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．]二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 [由题意得a －b ＝(－4,3)，则|a －b |＝(－4)2＋32＝5，则a －b 的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.]7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎨⎧ 2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB →的坐标是(4,7)．]8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．m ≠54 [由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.] 三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标. [解] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1). 2分∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. 5分 (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2).7分∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3).12分10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 2分所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.5分(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，7分 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →A [由2AC →＋CB →＝0得AC →＋AB →＝0，即AC →＝－AB →，则OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →＝OA →－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →.]2．向量a ，b ，c 在正方形 格中的位置如图4-2-4所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4-2-44 [以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.]3．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线. [解] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2).2分当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.5分 (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2). 7分∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，10分 ∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线.12分。

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A.由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A.法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A.(2017·高考山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________．解析：因为a ∥b ，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3. 答案：－3在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN →＝3NC →，所以AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，又因为AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b平面向量基本定理及其应用[典例引领](1)已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足AE →＝2EC →，BF →＝3FD →，则EF →＝________(用AB →，AD →表示)．(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)如图所示，AE →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，BF →＝34BD →＝34(AD →－AB →)，所以EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－23(AB →＋AD →)＋AB →＋34(AD →－AB →)＝－512AB →＋112AD →.(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC→，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)－512AB →＋112AD → (2)341．在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.2．在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA →＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA→2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[通关练习]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：选D.因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.2．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP →＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47b D.47a ＋27b解析：选C.如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →，①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →，② ①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB →，③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →，④ 将④代入③，得2AP →＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →，解得AP →＝27a ＋47b .平面向量的坐标运算[典例引领]已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b解析：选A.设c ＝x a ＋y b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标； (3)三点共线问题．[典例引领]角度一 利用两向量共线求参数(2018·合肥市第一次教学质量检测)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________．【解析】 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6. 【答案】 －6角度二 利用两向量共线求向量坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【解析】 因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)． 【答案】 (2，4)角度三 三点共线问题已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．－23B.43C.12D.13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. (2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[通关练习]1．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充分必要条件． 2．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →.所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式．易错防范(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(3)两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．1．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B.因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.2．已知A (1，4)，B (－3，2)，向量BC →＝(2，4)，D 为AC 的中点，则BD →＝( ) A ．(1，3) B ．(3，3) C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)解析：选B.设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋3，y －2)＝(2，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6即C (－1，6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0，5)，所以BD →＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选 A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2. 4．已知非零不共线向量OA →、OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.5．(2018·江西吉安模拟)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A.由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →＋BA →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．6．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. 答案：π47．(2018·绵阳诊断)在△ABC 中，AN →＝12AC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋38AC →，则实数m的值为________．解析：因为B ，P ，N 三点共线，所以AP →＝tAB →＋(1－t )AN →＝tAB →＋12(1－t )AC →，又因为AP →＝mAB →＋38AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，12（1－t ）＝38，解得m ＝t ＝14.答案：148．(2018·福建四地六校联考)已知A (1，0)，B (4，0)，C (3，4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝________．解析：由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2，2)，所以BD→＝(－2，2)，故|BD →|＝（－2）2＋22＝2 2. 答案：2 29．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →. 所以2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)因为AC →＝2AB →，所以(a －1，b －1)＝2(2，－2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3. 所以点C 的坐标为(5，－3)．10.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .)1.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.89 B.49 C.83D.43解析：选A.因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →，因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23AC →，所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝23AB →＋29AC →， 因为AP →＝λAB →＋μAC →， 所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.2．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：选 B.由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，知OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在∠BAC 的平分线上，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 3．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________．解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1)．因为AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85. 法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：854．(2018·长沙市统一模拟考试)平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________． 解析：|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )(2y )≥(3x ＋2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2.又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2.答案：25．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →，可知M ，B ，C 三点共线．如图令BM →＝λBC →得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →，所以λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →得BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6．如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则把有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →的坐标为(1，1)．(1)求|OP →|；(2)过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点A 、B ，试确定A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小，并求出最小值．解：(1)过点P 作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于点M 、N .|ON →|＝1，|OM →|＝|NP →|＝1，∠ONP ＝120°， 所以|OP →|＝|ON →|2＋|PN →|2－2|ON →||PN →|cos 120°＝ 3.(2)设|OA →|＝x ，|OB →|＝y . OP →＝mOA →＋nOB →(m ＋n ＝1)，则OP →＝mOA →＋nOB →＝mx e 1＋ny e 2.得⎩⎪⎨⎪⎧mx ＝1，ny ＝1⇒1x ＋1y ＝1.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin 60°＝12xy sin 60°＝34xy . 因为1x ＋1y＝1≥2xy，所以xy ≥2，S △AOB ＝34xy ≥3， 当且仅当x ＝y ＝2，即当A (2，0)，B (0，2)时，△AOB 面积最小，最小值为 3.。

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练27平面向量的基本定理及坐标表示理北师大版A 组 基础达标一、选择题1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B ．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C ．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D ．e1＝(2，－3)，e2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34B [两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.]2．(2018·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( ) A. B ．－25 C.D ．－35B [由已知得a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，因为向量a ＋λb 与c 共线，设a ＋λb ＝mc ，所以解得故选B.]3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )【导学号：79140153】A ．－a ＋bB ．a －bC ．－a －bD ．－a ＋bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴∴∴c＝a －b.]4．已知点A(－1,5)和向量a ＝(2,3)，若＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)D [设点B 的坐标为(x ，y)，则＝(x ＋1，y －5)．由＝3a ，得解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.故点B 的坐标为(5,14)．]5．(2017·江西南昌十校二模)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,3y －5)，且a∥b，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( ) A ．2 B ．2512 C ．D ．256C [∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝5. ∵x＞0，y ＞0，∴5＝2x ＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y ＝2x 时取等号．] 二、填空题6．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为________．(－3,4) [由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)．]7．已知向量a ＝(3cos α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α等于________.【导学号：79140154】π4[因为a ＝(3cos α，2)，b ＝(3,4sin α)，且a∥b，所以3cos α·4sin α－2×3＝0，解得sin 2α＝1. 因为α∈，所以2α∈(0，π)， 所以2α＝，即α＝.]8．如图4­2­3，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别是M ，N ，且＝e1，＝e2，若＝xe2＋ye1(x ，y∈R)，则x ＋y ＝________.图4­2­3...23 [设＝a ，＝b ，则＝a ，＝－b. 由题意得解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43e2－23e1，b ＝43e1－23e2.∴＝e2－e1. 故x ＝，y ＝－， ∴x＋y ＝.]三、解答题9．如图4­2­4，在梯形ABCD 中，AD∥BC，且AD ＝BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设＝a ，＝b ，试用a ，b 为基底表示向量，，.图4­2­4[解] ＝＋＋＝－b －a ＋b ＝b －a ，DF →＝＋＝－b ＋＝b －a ， CD →＝＋＝－b －＝a －b.10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k ＝－.B 组 能力提升11．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A. B ．－23 C.D ．－32B [设P(x ，y)，则由＝＋λ，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B.] 12．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若＝x ＋(1－x)，则x 的取值范围是( ) A. B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x)·，且、不共线，于是有x ＝1－λ∈，即x 的取值范围是，选D.法二：∵＝x ＋－x ，∴－＝x(－)，即＝x ＝－3x ，∵O 在线段CD(不含C 、D 两点)上，∴0＜－3x ＜1，∴－＜x ＜0.]13．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．k≠1 [若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量，不共线．∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝－＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]14．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值.【导学号：79140155】[解] (1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2.(2)因为＝(－a ，b)，＝(2,2－b)， 由A ，B ，C 三点共线，得∥，所以－a(2－b)－2b ＝0，即2(a ＋b)＝ab ， 因为a ＞0，b ＞0， 所以2(a ＋b)＝ab≤， 即(a ＋b)2－8(a ＋b)≥0， 解得a ＋b≥8或a ＋b≤0. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．。