参数曲面的切平面和法矢量ComputerGraphics

§6-7 曲面的切平面
一、基本知识

切平面的概念
根据相交两直线决定一平面可知，只要作出曲面上一 个点的两条曲线的切线，就决定了一个切平面。 对于直纹曲面，过曲面上一点的直素线就是曲面的一 条切线。
§6-7 曲面的切平面
二、切平面和法线的几个性质
1.直纹面上一点的切平面必过该曲面上的一条直素线。 可展面同一条直素线上各点的切平面重合，各点的 法线相互平行。 不可展直纹面同一条直素线上各点的切平面不重合， 各点的法线相交叉。
a
L2
L1
§6-7 曲面的切平面
三、曲面切平面的作图
例3 过柱面外一点A ，作柱面的切平面。
分析：
a’
X
O
a
§6-7 曲面的切平面
三、曲面切平面的作图
例3 过柱面外一点A ，作柱面的切平面。
分析：
a’
X
O
L1
L2
T1 T m
A
a
L1AM 、L2AM 平面为所求
§6-7 曲面的切平面
三、曲面切平面的作图
曲面的切平面
一、基本知识 二、切平面及法线的几个性质 三、曲面切平面的作图
§6-7 曲面的切平面
一、基本知识
切平面的概念
过曲面上的一般点，所作与曲面相切的平面称为曲面 在该点处的切平面。 显然，过点A 在曲 面上可以作无数条曲线 法线 N L1、 L2、 L3…，它们在A点 Q 的切线T1、T2、T3 … ，必 T T1 L2 定在同一平面(切平面) 内。 A L1 L 切平面 T2 过点A 垂直于切平面Q 的直线N ，称为曲即所求的切平面。
举例： 例1 过圆锥面上点A ，作圆锥面的切平面。
例2 过球面上点A ，作球面的切平面。

求切平面方程的方法切平面是指在一点上与曲面相切的平面。

求切平面方程的方法可以根据曲面的方程类型和给定的切点通过不同的数学方法来计算。

本文将介绍求切平面方程的几种常用方法。

一、对于函数图像曲面：1.含有两个变量的曲面方程：对于含有两个变量的曲面方程，可以通过计算其偏导数来求解。

假设曲面方程为F(x,y,z)=0，设给定的切点为点P(x0,y0,z0)，则曲面在点P处的切平面法线向量可以通过计算偏导数F_x,F_y,F_z，并且求得其法线向量为<n1,n2,n3>，则切平面的方程可以表示为：n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=02.含有三个变量的曲面方程：对于含有三个变量的曲面方程，可以通过计算梯度向量来求解。

假设曲面方程为F(x,y,z)=0，设给定的切点为点P(x0,y0,z0)，则曲面在点P处的梯度向量可以通过计算梯度向量∇F(x0,y0,z0)=<F_x,F_y,F_z>来求解。

则切平面的方程可以表示为：F_x(x-x0)+F_y(y-y0)+F_z(z-z0)=0二、对于参数方程曲面：1.参数化求解：对于参数方程曲面，可以通过将曲面方程中的变量用参数t表示，并且通过给定切点的参数值求解出切点的坐标值。

假设曲面的参数方程为：x=f(u,v)y=g(u,v)z=h(u,v)设切点的参数值为(u0,v0)，则求得切点坐标为P(x0,y0,z0)。

然后可以计算切平面法线向量为：<n1,n2,n3>=<f_u,g_u,h_u>×<f_v,g_v,h_v>其中，f_u,g_u,h_u分别表示对u求偏导数，f_v,g_v,h_v分别表示对v求偏导数。

最后，切平面的方程可以表示为：n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=0三、对于旋转曲面：1.旋转对称性：对于旋转曲面，可以通过曲面的旋转对称性来求解切平面方程。

3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函

S (t ) P (t ) dt
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
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用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1 曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
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例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0