初中数学“K型”专题

「初中数学」构造K型全等

45°的条件在平面几何中比较常见，与45°联系最为紧密的图形无非是等腰直角三角形或正方形。看到等腰直角三角形你能联想到什么？对，是”K”型全等；看到含45°角的正方形你又能想到什么呢？对，是半角模型。“K”字型与半角模型本头条号曾经作过有关介绍，本文着重介绍构造''K“字型的处理策略。

【例1】 （难度系数☆☆☆☆）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，点E在BC上,∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3,求AB的长。

【解法一】

第一步：构造“K”字型

作EF⊥DE交BD于F，作FH⊥BC

∵∠BDE=45°，EF⊥DE

∴△DEF是等腰直角三角形

∴DE=DF

∵∠DEC+∠FEH=90°

∠EFH+∠FEH=90°

∴∠DEC=∠EFH

∴Rt△DEC≌Rt△EFH

∴CE=FH,EH=DC

第二步：利用“A”型相似计算

设CE=x,则BE=5x,FH=x，EH=CD=3,BH=5x-3,BC=6x

∵△BHF∽△BCD

第三步：利用“斜A型”相似求AB

当x=1时，CB=6,作DG⊥AB

∵BD平分∠ABC ∴DG=DC=3

设AG=a,AD=b

∵Rt△ADG∽Rt△ABC

当x=1.5时，不合题意，舍去。综合上述，AB=10

【解法二】

第一步：变异的''K“字型

作HB⊥DB，交DE的延长线于H，作HF⊥BC

易证Rt△BCD≌Rt△HFB

∴CD=FB，HF=BD

第二步：利用“X”型相似计算

设CE=x,则BE=5x,EF=5x-3,BC=HF=6x

∵Rt△CDE∽Rt△FHE

第三步：利用“斜A型”相似求AB

同方法一，略。

【总结】

此题的解法一是构造一线三直角模型之”K“字型，解法二是构造一线三直角模型之变异”K“字型，两种解法大同小异。除了构图，解题关键都离不开相似，并且大量运用了用同一个字母表示不同的线段，方程思想，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论等，而这些恰恰是初中数学之利器，其重要性可窥一斑！建议同学们阅读之后，自己独立动手计算一遍。

用好“K”形图，发现数学之美

在初中数学教学中，发现和总结一些基本图形，有利于积累解决问题的策略，用“数学”眼光发现数学之美。例如教学参考中提到的“A”、“X”等图形。受这些启发，我结合自己的教学经验，为学生们总结了另一个有用的基本模型“——K”形图，下面我们一起去感受“K”形图带来的数学之美。

一、初识“K”形图

如图1,如果∠C=∠E=∠ABD=90°，则试着证明△ABC∽△BDE.

分析：欲证明两个三角形相似，已经知道的是∠C=∠E=90°再关注∠ABD=90°这一重要条件，结合“同角的余角相等”，不难得到∠A=∠DBE，从而得到△ABC∽△BDE；或者利用∠D=∠ABC，从而得到△ABC∽△BDE。

二、发现“K”形图

在很多数学题目中，“K”形图不是孤立存在的。它往往隐藏在复杂图形中，比如这个勾股定理的典例，里面就蕴含着“K”形图。

小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,长BC为10cm。当小红折叠时，定微设计 点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，想一想，此时EC有多长?

分析：在学习勾股定理后，我们利用程思想不难求出EC的长度。老师们在讲授相似三角形的知识和技能后，学生就会用“K”形图相似求出EC的长度。在学习解直角三角形之后，我们可以借助“K”形图和转化思想，把求∠EFC的正切值转化成求∠BAF的正切值，起到事半功倍的作用。

三、构造“K”形图

在一些习题或者竞赛题中，则需要添加适当的辅助线构造“K”形图。下面我们来看两道典型例题。

1.已知点A、B分别在反比例函数

图象上，且 OA ⊥OB,求sinB的值.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边AC 上,且AD=BC,延长CB至点E,使得BE=AC,连结ED交AB于点F.求∠EFB的度数.

四、中考链接(有改动）

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)，B(4,0)，与Y轴正半轴交于点C，且0C=20A.抛物线的顶点为D，对称轴交X轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.

专题05 一线三等角（K型图）模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K型图）模型（全等模型）

【模型解读】

在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】

同侧型一线三等角（常见）：

锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角

条件：ACEDB+ CE=DE

证明思路：,ABCBED+任一边相等BEDACE

异侧型一线三等角：

锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角

条件：FACABDCED+ 任意一边相等

证明思路：,ABCBED+任一边相等BEDACE

1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC中，90BAC，ABAC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． (1)特例体验：如图①，若直线lBC∥，2ABAC，分别求出线段BD、CE和DE的长；

(2)规律探究：①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转045，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转4590，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若3CE，1DE，求BFCS△．

【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2

全等三角形专题训练之K型图

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班级：姓名：

三垂直基本图形K型图

K型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用

典例1、如图，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE求证：AC=BF,BC=EF

（2）K型图变化将△ABC向右移动会出现下面两种情况

①如图，已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF求证：AB=CE

FECABGFECAB全等三角形专题训练之K型图

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②已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AG⊥CE，AG=CE求证：AG=CF

（4）赵爽弦图如图：已知，AE⊥BD，CD⊥BD，∠ABC=90°。AB=AC，求证：AE=BD ，BE=CD

EABDCGFECA全等三角形专题训练之K型图

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典例2、如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

(1)在图①中，说明：①△ADC≌△CEB；②探索线段DE，AD，BE之间的数量关系；

(2)当直线MN绕点C旋转到图②或图③位置时，△ADC与△CEB全等吗？线段DE，AD，BE还满足(1)中得到的结论吗？请写出你的推导过程。

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE又怎么样的数量关系？答： 。

全等三角形专题训练之K型图

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典例3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．