3曲面的切平面与法线

第二章 曲面的表示与曲面论第三节 曲面的切平面和法线、 光滑曲面1、 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,),(0y x P 是其上一定点。

在该点的切线斜率为),(),()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为)(),(),(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,即0(,)()(,)()0xyF x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为(,)()(,)()0yxF x y x x F x y y y ''---=，(2)例1、 求笛卡尔叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.解 xy y x y x F 9)(2),(33-+=, y x F x 962-=',x y F y962-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='yx F F , 得到切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.图(1)2、 空间曲线的切线与法平面设空间曲线L 的方程为)(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0, )(),(),(0t z z t y y t x x ===,动点L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0. 动割线P P 0的方程为tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0的极限位置l : 0()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0P 的切线.其方向向量为 0{(),(),()}x t y t z t τ'''=r。

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

曲面的切平面方程1. 引言曲面的切平面方程是解析几何中一个重要的概念。

在三维空间中，曲面可以用方程描述，而曲面上的任意一点都有一个唯一的切平面。

切平面是通过该点并且与此点的切矢量垂直的平面。

本文将介绍曲面的概念、切线、法线以及曲面的切平面方程的推导与应用。

2. 曲面的概念在解析几何中，曲面是三维空间中的一个二维对象。

曲面可以通过方程来表示，例如二次曲面可以用二次方程Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0来描述。

其中的参数A、B、C等决定了曲面的形状。

常见的曲面有球面、圆柱面和锥面等。

3. 切线与法线曲面上的任意一点都有一个切平面。

为了求解切平面方程，我们首先需要了解曲面上点的切线和法线。

3.1 切线切线是曲面上一点处曲线的切矢量方向所确定的直线。

对于一个曲面上的点P，其切线可以通过对曲面方程求偏导来计算。

例如，对于二次曲面Ax2+By2+Cz2+ Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0，该曲面上的点P的切线可以通过计算x、y和z的偏导数得到。

3.2 法线法线是与切线垂直的一条线。

在曲面上的任意一点P处，可以通过对曲面方程的梯度向量作为法向量，从而得到法线的方向。

4. 曲面的切平面方程的推导我们已经了解了切线和法线的概念，现在我们来推导曲面的切平面方程。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是一个光滑函数。

设曲面上的一点为(x0,y0,z0)，对应的法线为(a,b,c)。

根据切平面的性质，切平面上的任意一点(x,y,z)都满足以下条件： 1. 该点在曲面上，即F(x,y,z)=0； 2. 切线上的任意一点到(x0,y0,z0)的矢量与法线方向(a,b,c)垂直。

根据以上条件，我们可以得到切平面上的任意一点(x,y,z)的坐标表示为：(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c)，其中t是一个任意参数。

将上述坐标表示带入曲面方程F(x,y,z)=0，得到：F(x0+ta,y0+tb,z0+tc)= 0对上述等式两边关于t求导，可得：a dx0dt +b dy0dt+c dz0dt+t(a dadt+b dbdt+c dcdt)+F x dx0dt +F y dy0dt+F z dz0dt=0由于曲面上的点(x0,y0,z0)满足F(x0,y0,z0)=0，所以上式可化简为：a dx0dt+b dy0dt +c dz0dt+t(a dadt+b dbdt+c dcdt)=0由于a dx0dt +b dy0dt+c dz0dt等于曲面上任意一点(x0,y0,z0)的切矢量，所以上式可以继续简化为：∇F(x0,y0,z0)⋅(x−x0,y−y0,z−z0)=0以上就是曲面的切平面方程的推导过程。

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。

由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。

记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

，y。

）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。

几何练习计算曲面的切平面和法线计算曲面的切平面和法线曲面是几何学中重要的概念之一，它在许多数学、物理学和工程学领域中都有广泛应用。

对于曲面上的点，我们可以通过计算其切平面和法线来描述其性质。

本文将介绍如何计算曲面的切平面和法线，以及其在实际问题中的应用。

一、切平面切平面是曲面上某一点的切线所在的平面。

在几何学中，切线是曲线上某一点处切线与曲线相切的直线。

类比地，曲面上某一点的切线与曲面相切的平面就是切平面。

计算曲面的切平面的一种常用方法是使用偏导数。

对于一个曲面，可以用一个方程来表示，例如 z = f(x, y)。

对于这个曲面上的一点 (x0,y0, z0)，切平面可以通过计算该点处的偏导数来确定。

偏导数描述了函数在某一点处的变化率，对于函数 z = f(x, y)，它的偏导数可以表示为∂z/∂x 和∂z/∂y。

对于曲面上的一点 (x0, y0, z0)，其切线的斜率就是∂z/∂x 和∂z/∂y。

因此，切线的方向向量为(∂z/∂x, ∂z/∂y, 1)。

通过这个方向向量，我们可以确定切平面的法向量。

由于切平面上的点与切线垂直，所以切平面的法向量与切线的方向向量垂直。

因此，切平面的法向量为 (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1)。

曲面上的法线是与切平面垂直的直线。

对于一个给定点，我们可以通过计算切平面的法向量来确定其法线。

法线与切平面的法向量方向相同，因此曲面上一点的法线方向向量为 (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1)。

法线的长度可以通过对法向量进行单位化来得到，单位化后的法向量为：n = (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1) / √( (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 + 1 )三、应用举例计算曲面的切平面和法线在许多实际问题中都有广泛应用。

以下是一些应用举例：1. 切平面和法线在计算机图形学中被用于生成逼真的曲面渲染效果。

通过计算曲面上每个点处的切平面和法线，可以确定光线与曲面的相交关系，从而实现曲面的光照效果。

空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。

在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。

一、空间曲线的切线与法线空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。

在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。

切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。

切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。

如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。

这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。

对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。

假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。

可以使用以下公式计算切线斜率：k = dy/dx = dy/dt / dx/dt其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。

通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。

同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。

除了切线，每个点处还有一个法线。

空间曲线的法线垂直于曲线平面。

法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。

二、空间曲面的切线与法线空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。

在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。

切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。

切平面的计算方法与切线类似。

首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。

以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dF/dx(x0, y0, z0)(x-x0) + dF/dy(x0, y0, z0)(y-y0) + dF/dz(x0, y0, z0)(z-z0) = 0其中dF/dx, dF/dy, dF/dz为曲面方程F(x, y, z)对应的偏导数。

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0,函数F（x , y，z）在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ.设其方程为，且对应于点；不全为零.由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上,这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面。

点称为切点。

向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y，z)=0上，而F(x，y，z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零,则曲面F(x，y，z)=0在点处的切平面方程为。

法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f （x, y) 在点M0 (x0，y0）处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为。

过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x（u, v) , y = y(u, v） , z = z（u，v）给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 ，v0)对应，而x(u , v） , y(u , v) ，z（u，v）在（u0 ，v0)处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v） , y = y（u , v) , z = z（u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 ，v0)对应,怎样确定∑在点X0处的法向量？注释:设x（u , v） , y(u , v) , z（u , v）在（u0 ，v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线。

Γ1：x = x（u ，v0) ，y = y(u，v0） , z = z（u，v0);Γ2：x = x(u0，v) , y = y（u0，v) ，z = z(u0 , v）.它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为。

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。

在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。

本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。

切平面是指与曲面在该点处相切的平面。

在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。

因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。

为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。

曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。

梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。

对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。

因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。

法线是指与曲面在该点处垂直的向量。

在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。

因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。

曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。

通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

法线方程和切平面方程的关系法线方程和切平面方程是解析几何中常用的两个方程，它们之间存在一定的关系。

本文将从理论和实际应用两个方面来讨论这种关系。

一、理论方面1. 法线方程的定义在三维空间中，一条直线的法线方程可以用一个点和一个与该直线垂直的向量来表示。

设直线上一点为P，直线的方向向量为n，则法线方程可以表示为：(P-P0)·n=0，其中P0为直线上的一个已知点。

2. 切平面方程的定义在三维空间中，一个曲面的切平面可以用一个点和一个与该曲面切线垂直的向量来表示。

设曲面上一点为P，曲面上的切向量为n，则切平面方程可以表示为：(P-P0)·n=0，其中P0为曲面上的一个已知点。

根据定义可知，法线方程和切平面方程的形式是相同的，都是(P-P0)·n=0。

这意味着法线方程中的n可以被视为切平面方程中的n，也就是说，直线的法向量可以被视为曲面的切向量。

二、实际应用方面1. 几何图形的法线方程和切平面方程在解析几何中，我们经常需要求解几何图形上某一点的法线方程或切平面方程，以便进行相关的计算或分析。

例如，对于一个球体，我们可以通过求解球心到某一点的向量，然后将该向量作为法向量，得到该点的法线方程。

同理，我们也可以求解球心到某一点的向量，并将该向量作为切向量，得到该点的切平面方程。

2. 曲线的法线方程和切平面方程对于曲线而言，法线方程和切平面方程也是非常重要的。

在计算机图形学中，我们常常需要绘制曲线的平滑效果，这就需要求解曲线上每一点的法线方程和切平面方程。

通过求解得到的法向量，我们可以在每一点处确定曲线的法线方向，从而使得曲线绘制出来更加真实和平滑。

法线方程和切平面方程在解析几何中有着重要的应用。

它们之间的关系在理论和实际应用中都得到了充分的验证。

熟练掌握法线方程和切平面方程的求解方法，对于理解和应用解析几何中的相关概念和问题具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和应用这两个方程，提高解析几何的学习和应用能力。

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法空间曲面是三维空间中的曲面，它由平面或非平面的曲线组成。

对于一个给定的空间曲面，计算其切平面与法线是非常重要的。

切平面是曲面上某点处与曲面相切的平面，而法线是切平面上的垂直于曲面的线段或矢量。

本文将介绍如何计算空间曲面的切平面与法线的方法。

1. 曲面的方程要计算曲面的切平面与法线，首先需要知道曲面的方程。

根据曲面的类型，可以使用不同的方程表示。

例如，对于二次曲面，可以使用二次方程表示；对于参数曲面，可以使用参数方程表示。

在此文章中，我们将以二次曲面为例进行讨论。

2. 二次曲面的切平面对于二次曲面，其方程通常可以表示为：F(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数。

为了计算曲面上某一点处的切平面，我们需要找到该点的切线方向。

切线方向可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则切线方向为向量：∇F(x0, y0, z0) = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)其中∂F/∂x，∂F/∂y和∂F/∂z分别表示对于x、y和z的偏导数。

有了切线方向后，我们可以得到切平面的法向量。

切平面的法向量与切线方向垂直，因此可以取切线方向的相反数作为法向量。

3. 二次曲面的法线与切平面类似，曲面的法线也可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则法线方向为向量：N = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)法线方向是垂直于曲面的方向，因此可以通过对法线向量进行单位化（即将其长度归一化为1）得到单位法线。

4. 示例计算为了更好地理解如何计算切平面与法线，我们将通过一个示例进行演示。

9.2空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线是微积分中的基本概念，它们的应用十分广泛，例如在物理、几何、计算机图形学等领域中常常会用到。

本文将介绍空间曲面的切平面与法线相关的概念和性质。

一、曲面的定义空间曲面是指一个具有二维性质的三维空间图形的数学表示。

它可以用参数方程形式表示为：$$\bold{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$二、曲面的切平面曲面的切平面是指与曲面相切于某一点的一个平面。

在点$\bold{r}(u_0,v_0)$处，曲面上的任何一条曲线都可以用下列方式来表达：$$\bold{\gamma}(t)=\bold{r}(u_0+at,v_0+bt)$$其中，$a,b$是常数，$t$是参数。

因为$\bold{\gamma}(0)=\bold{r}(u_0,v_0)$，所以曲线过点$\bold{r}(u_0,v_0)$。

同时，曲线在点$\bold{r}(u_0,v_0)$处的切线方向应该与曲面在该点的切平面相同。

这个想法可以通过如下方式来表示。

先用$\bold{r}_u=\frac{\partial\bold{r}}{\partial u}$和$\bold{r}_v=\frac{\partial \bold{r}}{\partial v}$来表示曲面在点$\bold{r}(u_0,v_0)$处的两个方向向量，则曲面在该点处的法向量$N$为：而曲线在该点处的切向量$\bold{\gamma}'(0)$为：因此，曲线在该点处的切线方向可以用切平面的法向量来表示：即，这个方程可以看成是一个二元一次方程，因此很容易解决。

从而得到一个点$(x,y,z)$处的切平面方程为：$$(\bold{r}_u(x,y,z) \cdot N(x,y,z))(x-x_0)+(\bold{r}_v(x,y,z) \cdotN(x,y,z))(y-y_0)+(N(x,y,z) \cdot (x_0,y_0,z_0))=0$$其中，$(x_0,y_0,z_0)$是曲面上的某一点。

曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。

由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。

记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。

曲面的切平面与法线方程处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数FΓ。

设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点Γ则有由于曲线不全为零。

在Σ上，，且对应于点；的曲线在该点的切。

该方程表示了曲面上任意一条过点及点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称处的一个法向量。

记为。

称为曲面Σ在点. 为切点向量基本方法：且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面.法线方程为.处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00处的切平面方程为.的法线方程为过X0．..的情形2实际上是方法1中取注：方法若曲面∑由参数方程3、)vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0处的法向量为当时，得∑在点X0处的法向量为X则∑在点0.四、典型例题222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点，= 6.z + 2即x y + 3，所求法线方程为. 即.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2.，因此. 解设切点为曲面.则曲面在处的法向量为处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z，解得切点坐标为所求切平面方程为，.即在点求曲面例3处的切平面方.程和法线方程其中点解对应曲面上的点..则曲面在点处的法向量为处的切平面方程为所求曲面在点X0. 即所求的法线方程为. 即.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程过直线的平面方程可设为解，，即.其法向量为，则记.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为且有．解得(3)、由(1),得代入(2).=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为，. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x，证明..处的法向量为故曲面上点的切平面方程为则过曲面上点，整理后得．.，从上述方程得切平面方程为注意到..可知其必定过原点．。

细化版还有更多更多的细化版与优化版联系旺旺:o 弦官买一赠多,买细化版赠优化版,word2013(可激活),相关原教材,mathtype6.9最新版三、曲面的切平面与法线我们先讨论由隐式给出曲面方程F(x,y,z)=0(15)的情形,然后把由显式给出的曲面方程z=f(x,y)作为它的特殊情形,设曲面∑由方程(15)给出,000M(x ,y ,z )是曲面上∑的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面∑上,通过点M 任意引一条曲线Γ(图9-8),假定曲线Γ的参数方程为x φ(t),y ψ(t),z ω(t)(αt β)===≤≤(16)0t t =对应于点000M(x ,y ,z )且0φ(t )'00ψ(t ),ω(t )''不全为零,则由(8)式可得这曲线的切线方程为000000x x y y z z .φ(t )ψ(t )ω(t )---==''' 我们现在要证明,在曲面∑上通过点M 且在点M 处具有切线的任何曲线, 它们在点M 处的切线都在同一个平面上,事实上,因为曲线Γ完全在曲面∑上,所以有恒等式F(φ(t),ψ(t),ω(t)]0,≡又因F(x,y,z)在点000(x ,y ,z )处有连续偏导数,且00φ(t ),ψ(t )''和0ω(t )'存在,所以这恒等式左边的复合函数在0t t =时有全导数,且这全导数等于零:0t=t d F[φ(t),ψ(t),ω(t)]|0,dt= 即有x 0000F (x ,y ,z )φ(t )'y 0000F (x ,y ,z )ψ(t )'+z 0000F (x ,y ,z )ω(t )0.'+=(17) 引入向量x 000y 000z 000n F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F (x ,y (,z ),)=则(17)式表示曲线(16)在点M 处的切向量000T φ(t ),ψ(t ),(t ))ω('''=与向量n 垂直, 因为曲线(16)是曲面上通过点M 的任意一条曲线,它们在点M 的切线都与同一个向量n 垂直,所以曲面上通过点M 的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上(图9-8). 这个平面称为曲面∑在点M 的切平面, 这切平面的方程是x 0000F (x ,y ,z )(x x )-y 0000F (x ,y ,z )(y y )+-+z 0000F (x ,y ,z )(z z )0.-=l(18) 通过点000M(x ,y ,z )且垂直于切平面(18)的直线称为曲面在该点的法线, 法线方程是0x 000x x F (x ,y ,z )-0y 000y y F (x ,y ,z )-=0z 000z z 0.F (x ,y ,z )-==(19) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,向量x 000y 000z 000n F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F (x ,y (,z ))=就是曲面∑在点M 处的一个法向量,现在来考虑曲面方程z=f(x,y)(20)令F(x,y,z)=f(x,y)-z,可见x x F (x,y,z)f (x,y),=y y F (x,y,z)f (x,y),=z F (x,y,z) 1.=-于是,当函数f(x,y)的偏导数x f (x,y),y f (x,y)在点00(x ,y )连续时,曲面(20)在点000M(x ,y ,z )处的法向量为x 00y 00n (f (x ,y ),f (x ,y ),1),=- 切平面方程为x 000y 0000f (x ,y )(x x )f (x ,y )(y y )(z z )0,-+---=或0x 000y 000z z f (x ,y )(x x )f (x ,y )(y y ),-=-+-(21) 而法线方程为000x 00y 00x x y y z z f (x ,y )f (x ,y )1---==-(22) 这里顺便指出,方程(21)右端恰好是函数z=f(x,y)在点00(x ,y )的全微分, 而左端是切平面上点的竖坐标的增量,因此,函数z=f(x,y)在点00(x ,y )的全微分,在几何上,表示曲面z=f(x,y)在点000(x ,y ,z )处的切平面上点的竖坐标的增量,如果用α,β,γ表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角,则法向量的方向余弦为cos α=f cos β-=cos γ=这里,把x 00y 00f (x ,y ),f (x ,y )分别简记为x y f ,f .例6求球面222x y z 14++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程,解222F(x,y,z)x y z =14=++x y z n (F ,F ,F )(2x,2y,2z),==(1,2,3)n |(2,4,6)=所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0. 法线方程为y 2x 1z 3,123---== 即y x z .123== 由此可见,法线经过原点(即球心).例7求旋转抛物面22z x y 1=+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程, 解22f(x,y)x y 1,=+-x y n (f ,f ,1)(2x,2y,1),=-=-(2,1,4)n |(4,2,1).=-所以在点(2,1,4)处的切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0. 即4x+2y-z-6=0. 法线方程为y 1x 2z 4.421---==-loo。