曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。

在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。

对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。

本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。

在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。

切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。

因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。

由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

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曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.2.1.2曲线与方程安徽师范大学附属外国语学校二0 年十二月二十四日2.1.2 曲线与方程一 教学目标1、知识目标：（1）理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3）学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论； （4）强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。

在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。

本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。

切平面是指与曲面在该点处相切的平面。

在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。

因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。

为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。

曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。

梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。

对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。

因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。

法线是指与曲面在该点处垂直的向量。

在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。

因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。

曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。

通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法空间曲面是三维空间中的曲面，它由平面或非平面的曲线组成。

对于一个给定的空间曲面，计算其切平面与法线是非常重要的。

切平面是曲面上某点处与曲面相切的平面，而法线是切平面上的垂直于曲面的线段或矢量。

本文将介绍如何计算空间曲面的切平面与法线的方法。

1. 曲面的方程要计算曲面的切平面与法线，首先需要知道曲面的方程。

根据曲面的类型，可以使用不同的方程表示。

例如，对于二次曲面，可以使用二次方程表示；对于参数曲面，可以使用参数方程表示。

在此文章中，我们将以二次曲面为例进行讨论。

2. 二次曲面的切平面对于二次曲面，其方程通常可以表示为：F(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数。

为了计算曲面上某一点处的切平面，我们需要找到该点的切线方向。

切线方向可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则切线方向为向量：∇F(x0, y0, z0) = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)其中∂F/∂x，∂F/∂y和∂F/∂z分别表示对于x、y和z的偏导数。

有了切线方向后，我们可以得到切平面的法向量。

切平面的法向量与切线方向垂直，因此可以取切线方向的相反数作为法向量。

3. 二次曲面的法线与切平面类似，曲面的法线也可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则法线方向为向量：N = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)法线方向是垂直于曲面的方向，因此可以通过对法线向量进行单位化（即将其长度归一化为1）得到单位法线。

4. 示例计算为了更好地理解如何计算切平面与法线，我们将通过一个示例进行演示。

空间曲面的切平面与法线设曲面方程为),,(=z y x F 一、曲面的切平面与法线n τM M.θ),cos(lim 00=∑∈→n MM M M MnM .C),(),(),(:t z z t y y t x x C ===的参数方程设曲线))(),(),((000t z t y t x '''=→τ0)](),(),([≡t z t y t x F 0)(),,()(),,()(),,(000000000000='+'+'t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x )},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =记0=⋅τ n 则板书上，在曲面曲线∑C ，对应的参数上任一点曲线0t M C 点处的切向量0M τ)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =令则,T n⊥ 由于曲线是曲面上通过0M 的任意一条曲线，它们在0M 的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 的切平面.切平面方程为))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x通过点),,(0000z y x M 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =曲面在M 0处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为),(y x f z =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000z z y y y x f x x y x f y x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x ,),(),,(z y x f z y x F -=令}),,(),,({0000-1y x f y x f n y x =特殊地：空间曲面方程形为),(x z f y =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000y y z z x z f x x x z f z x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(1),(0000000x z f z z y y x z f x x z x -=--=-,),(),,(y x z f z y x F -=令)},(,1),,({0000x z f x z f n z x -=特殊地：空间曲面方程形为),(z y f x =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000x x z z z y f y y z y f z y -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(),(10000000z y f z z z y f y y x x z y -=-=--,),(),,(x z y f z y x F -=令)},(),,(,1{0000z y f z y f n z y -=))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00y x y x f z =因为曲面在M 0处的切平面方程为),(y x f z =在),(00y x 的全微分，表示曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处的切平面上的点的竖坐标的增量.二、全微分的几何意义若α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos 22yx xf f f ++-=α,1cos 22yxyf f f ++-=β.11cos 22yx f f ++=γ),(00y x f f x x =),(00y x f f y y =其中例 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程. 解设为曲面上的切点,),,(000z y x 切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x 依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000z y x ==.2000z y x ==⇒因为是曲面上的切点，),,(000z y x ,10±=∴x 所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(---0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 2164=++⇒z y x 0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 2164-=++⇒z y x 切平面方程(1)切平面方程(2)三、小结曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）。