下载文档原格式
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。
曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。
该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。
记为G。
基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。
曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。
设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。
由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。
记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。
，y。
）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。
)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。
, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。
求切平面方程和法线方程
在数学和物理学中，切平面和法线方程是研究曲面和曲线的重要工具。
切平面是与曲面相切的平面，而法线是与曲面在切点处垂直的直线。
在本文中，我们将讨论如何求解曲面的切平面方程和法线方程。
首先，让我们考虑一个曲面S的切平面。
设P(x0, y0, z0)是曲面S上的一点，我们希望找到通过点P的切平面方程。
切平面的一般方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数。
为了找到切平面的方程，我们需要确定平面的法向量。
在点P 处，曲面的法向量就是曲面的梯度向量。
我们可以通过对曲面的方程进行偏导数运算来找到这个梯度向量。
假设曲面的方程是z =
f(x, y)，那么曲面在点P处的法向量可以表示为(∂f/∂x,
∂f/∂y, -1)。
然后我们可以利用点P和法向量来确定切平面的方程。
接下来，让我们考虑曲面S的法线方程。
法线方程可以表示为从曲面上的一点P(x0, y0, z0)出发，沿着曲面的法向量方向的直
线。
法线方程的一般形式可以表示为x = x0 + At, y = y0 + Bt, z = z0 + Ct，其中A、B、C是曲面在点P处的法向量的分量。
通过求解切平面方程和法线方程，我们可以更好地理解曲面的性质和特征。
这些方程也在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在光学、机械和流体力学等领域。
因此，对于研究曲面和曲线的性质和行为来说，求解切平面方程和法线方程是非常重要的。
高中数学-曲面及曲面的切平面与法线方程
一、曲面及曲面的切平面与法线方程历年考点分析
2016年上半年高中，在选择题的第3题考查了二次曲面的方程;
2017年上半年高中，在选择题的第3题考查了柱面方程，简答题第9题考查了椭球面切平面方程;
2017年下半年高中，在解答题考查了旋转曲面方程的求解;
2018年上半年高中，在选择题的第6题、简答题的第10题考查了抛物柱面与平面的交线、二次曲面的切平面和法向量.
从这几套历年真题可以分析出，教师资格证数学曲面的考点主要是两大考点，曲面的方程及曲面的切平面与法线方程.
考生在高中数学教师资格证考试的备考中应注意复习曲面及曲面的切平面与法线方程部分知识点.
二、曲面及曲面的切平面与法线方程历年真题及详细解析。
求曲面的切平面方程和法线方程大家好，今天我们来聊聊一个听起来有点儿复杂，但其实只要理清思路就会发现它也挺简单有趣的数学概念，那就是曲面的切平面和法线方程。
听起来是不是有点儿高深莫测？别担心，让我们一起来揭开这个神秘的面纱，顺便加点儿幽默感，轻松一下！1. 什么是曲面？首先，咱们得搞清楚什么是曲面。
你可以想象一下，曲面就像是一块柔软的橡皮泥，随便捏捏就能变出各种形状。
数学上，曲面可以用一个方程来表示，比如说z = f(x, y)。
这里的 f(x, y) 就像是你在烘焙时的配方，决定了曲面的“口味”。
有些曲面像球体那样光滑，有些则像马鞍一样凹凸不平。
1.1 曲面的切平面好，曲面搞清楚了，接下来我们来聊聊切平面。
简单来说，切平面就是在某一点“切”到这个曲面，像是在一块蛋糕上切出一片。
想象一下，你在生日聚会上切蛋糕，那一刀下去的瞬间，你就得到了一个平面，这就是你的切平面。
数学上，切平面的方程可以用来描述这一瞬间。
要找切平面，首先你得找到那个点的坐标，比如(x₀, y₀, z₀)。
1.2 如何求切平面方程那么，如何求这个切平面方程呢？其实很简单！我们可以用到偏导数的知识。
对了，你没听错，就是那个在微积分中出现的偏导数。
咱们得先计算出在点 (x₀, y₀) 处的偏导数，分别是 fx(x₀, y₀) 和 fy(x₀, y₀)。
接下来，根据切平面的公式 z z₀ = fx(x₀,y₀)(x x₀) + fy(x₀, y₀)(y y₀)，就能轻松得到切平面的方程啦！是不是觉得像是打开了新世界的大门？2. 法线方程接下来，我们再来聊聊法线。
法线是什么呢？简单说，它就像是一个“直立”的小杆子，垂直于切平面。
想象一下，如果你在切蛋糕的时候，切刀和桌面的角度就是法线的方向。
法线方程则是描述这根“小杆子”的方程。
2.1 如何求法线方程求法线的步骤其实和求切平面有些相似。
我们仍然需要用到那两个偏导数。
法线的方向就是这两个偏导数的反方向，具体来说就是 (fx(x₀, y₀), fy(x₀, y₀), 1)。
第二章 曲面的表示与曲面论
第三节 曲面的
切平面和法线、 光滑曲面
1、 平面曲线的切线与法线
设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,
),(0
y x P 是其上一定点。
在该点的切线斜率为
)
,()
,()(00000y x F y x F x y y x ''-
='. 从而曲线过点),(000y x P 的
切线方程为
)
()
,()
,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,
即0
(,)()(,)()0x
y
F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为
(,)()(,)()0y
x
F x y x x F x y y y ''---=，(2)
例1、 求笛卡尔叶形线09)(23
3
=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.
解 xy y x y x F 9)(2),(3
3
-+=, y x F x 962
-=',x y F y
962
-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y
x F F , 得到
切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.
图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线L 的方程为
)(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0
, )(),(),(0
t z z t y y t x x ===,
动点
L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0
. 动割线P P 0
的方程为
t
z z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-0
00,
当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0
的极限位
置l : 0
()()()
x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0
P 的切线.
其方向向量为 0
{(),(),()}x t y t z t τ'''=r。
过0P 且与切线垂直的平面叫做曲线L 在点0
P 的法平面,其方程为
... (4)
例2 求螺旋线t z t y t x ===,sin 2,cos 2 在点)4/,1,1(π的切线方程与法平面方程.
解 切向量为}1,1,1{-=τρ,切线
方程为 1
4
/1111π-=
-=--z y x ; 法
平面方
程为
0)4/()1()1(=-+-+--πz y x ,即 04/=+--πz y x .
图(2)螺旋线的切线与法平面
3
曲面的切平面与法线
设曲面S 的一般式方程为 0),,(=z y x F ，
),(y x z z =是由该方程确定
的隐函数，则z
x F F x z ''-=∂∂，z
y F F y z
'
'-
=∂∂.设S z y x P ∈),,(0
,
令
)
,,(000z y x F A x '=,
)
,,(),,,(000000z y x F C z y x F B z y '='=,
则曲面S 在点P 的切平面方程的法向量可表为
... (5)
于是切平面π的方程为0)()()(0
=-+-+-z z C y y B x x A ;
法线方程为C
z z B y y A x
x 0
00
-=-=
-.
定理 设曲面S 的一般式方
程为 0),,(=z y x F ，S z y x P ∈),,(0
, {})0,0,0(,,≠=C B A n ϖ.设曲线L :)(),(),(t z z t y y t x x ===是曲面S 上过点P 的任意一条可微分曲线,)(),(),(0
t z z t y y t x x ===,
l 为L 在点P 的切线,则n l ρ
⊥. 证明 因为S L ⊂,所以有0))(),(),((≡t z t y t x F .两边对t 求导,再取 0
t t =,得 0)()()(0
00='+'+'t z C t y B t x A … … ① 则)}(),(),({0
00t z t y t x '''=τρ为切线l 的
方向向量.①式表示τρ
ρ⊥n .
图(3)
由该定理可见:曲面S 在点P 的切平面π恰好是由S 上过点P 的所有曲线在P 点的切线所织成的平面(如图(3)所示).
例 3 求椭球面0632),,(2
2
2
=-++=z y x z y x F 在点)1,1,1(P 的切平面及法线方程.
解 }6,4,2{=n
ρ
, 切平面方程为632=++z y x ;
法线方程为
3
1
2111-=
-=-z y x .
图(4) 椭球面的切平面
4 求两个曲面的交线的切线方程
设曲面1
S ：0),,(=z y x F ，
2
S ：0),,(=z y x G .
曲线L 是1S 与2
S 的交线.000
(,,)P x y z L ∈.如图(5)所示.
n 2
n 1
P
L
图(5)
注意到1
S 、2S 在点P 的法
向量分别为)}(),(),({1
P F P F P F n
z
y
x
'''=ρ
和 )}(),(),({2
P G P G P G n z
y
x
'''=ρ
,由于L 过点P 的切线的方向向量τρ同
时垂直于1n ρ与2
n ρ
,故可令2
1n n ρ
ρρ⨯=τ,得
... (6)
简记为
⎭
⎬
⎫
⎩⎨
⎧∂∂∂∂∂∂==),(),(,),(),(,),(),(},,{y x G F x z G F z y G F n m l τρ
,
于是切线方程为 n
z z m y y l x
x 0
00
-=-=
-.
例4求球面
50),,(222=-++=z y x z y x F
与锥面=),,(z y x G 2
2
2
0x y z +-=的交
线在点)5,4,3(P 处的切线与法平面方程. 解
{}z y x z y x gradF 2,2,2),,(= ,{}5,4,31
=n ρ
;
{}z y x z y x gradG 2,2,2),,(-=,{}5,4,32
-=n ρ
;
{}0,3,410
121-=⨯=
n n ϖ
ρρ
τ.
切线方程是0
5
3443-=-=--z y x ,
即
⎩
⎨
⎧==-+-50
)4(4)3(3z y x ;
法平面方程是 0)4(3)3(4=-+--y x , 即034=-y x .
图(6)
球面与锥面交线的切线
例5、 设球面的双参数方程为 )cos ,sin sin ,sin cos (),(ϕϕθϕθθϕr r r f =ρ，
π)20π,0(≤≤≤≤θϕ。
求过点 )cos ,sin sin ,sin cos (000000ϕϕθϕθr r r P 的切平面方程。
提示 ： 因为 ),sin ,cos sin ,cos cos (1ϕϕθϕθϕτr r r f -=∂∂=ρρ
).0,sin cos ,sin sin (2ϕθϕθθ
τr r f -=∂∂=ρρ 所以, 法向量
)sin cos ,sin sin ,sin cos (2222221ϕϕϕθϕθττr r r n =⨯=ρρρ
或 ).cos ,sin sin ,sin (cos ϕϕθϕθ=n ρ
故过点0
P 的切平面方程为 ,0)cos (cos )sin sin (sin sin )sin cos (sin cos 0000000000=-+-+-ϕϕϕθϕθϕθϕθr z r y r x 整理得
.0cos sin sin sin cos 00000=-++r z y x ϕϕθϕθ
即 球面2222x y z r ++=在其上一点
000(,,)x y z 处的切平面方程为
2000x x y y z z r ++=。
