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数列通项与求和

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镇江市2010届高三数学二轮复习学案 数列的通项和求和 编者：林玲 单位：镇江中学 一、学习目标 能运用数列的通项和求和的基本方法解决数列的一般问题 二、知识梳理 1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。

2. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累乘法、归纳猜想证明法等。 3. 数列中nS与na的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意nS 与na的关系。 三、课前预习

1. (*)数列31537,,,,,5211717的一个通项公式是 。 2. (*)数列{}na的前n项和223nSnn，则na 。 3.(**)在数列}{na中，12a，1221nnaa，则na=_________________.

4.(**)已知数列}{na中，21a，且111nnaann，则na=________________. 5. (**)数列{}na的前n项积为2n，那么当2n时，{}na的通项公式为_______ 6. (**)已知数列{}na满足11a，nnaann111(2)n，则na=_________. 7. (***)已知数列}{na满足1a=1，122nnnaa，则na=_______________. 8.(***) 数列43297531qqqq＝ _______. 四、典型例题 例1. (*)已知数列{}na的前n项和2nSnpn，数列{}nb的前n项和232nTnn， （1）若1010ab，求p的值； （2）取数列{}nb中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列{}nc, 求数列{}nc的通项公式。

方法提炼： 例2、(**) 数列}{na满足12212,5,32nnnaaaaa， （1）求证：数列1{}nnaa是等比数列； （2）求数列}{na的通项公式na； （3）求数列}{na的前n项和nS.

方法提炼： 镇江市2010届高三数学二轮复习学案 例3(**)数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT 方法提炼：

例4 (**)设正项等比数列na的首项211a，前n项和为nS，且0)12(21020103010SSS。（Ⅰ）求na的通项；（Ⅱ）求nnS的前n项和nT。

方法提炼：

例5．(**)设xxf12)(1，定义2)0(1)0()],([)(11nnnnnffaxffxf，其中n∈N*. （1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若,23223212nnnaaaaT， 方法提炼：

例6. (**) 在等差数列}{na中，公差412,0aaad与是的等比中项. 已知数列,,,,,,2131nkkkaaaaa成等比数列，求数列}{nk的通项.nk 方法提炼： 五、课堂巩固

1.(*)已知数列{}na满足11a，11(1)nnaann(2)n，数列{}na的通项公式为____。

2.(*)已知数列的前n项和为1nnaS（a为不为零的实数），则此数列________ A、一定是等差数列 B、一定是等比数列 C、或是等差数列或是等比数列 D、既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

3.(**)已知数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，则实数的取值范围为____。 4.(**)求和：111112123123n .

5.(**)数列11111,2,3,4,392781的前n项和是 . 6 .(**)等比数列na前n项的和为21n，则数列2na前n项的和为______________。

六、课堂小结：

七、课后作业 镇江市2010届高三数学二轮复习学案 1. (*)2222222210099654321＝________________________. 2、(*)在数列{}na中，已知2032111,420aaaaaaann则，

_____.

3.（**)数列{}na满足12a，12nnnaa，则通项公式na ，前n项和

nS .

4．（**)已知数列na中，11a，11nnnnaaaa，则数列通项na___________。 5．（**)数列2211,(12),(122),,(1222),n的前99项之和为___________．

6．（**)等差数列}{na共有21n项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_____. 7．（**)设nS为等差数列}{na的前n项和．已知6636,324,144(6)nnSSSn,则n等于 ． 8. （**)数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．则实数c的值为 ． 9. （**)对正整数n，设曲线(1)2nyxxx在处的切线与y轴交点的纵坐标为

,{}1nnaan则数列的前n项和是___________.

10．（***)数列naaa,,21为n项正项数列，记n为其前n项的积，定义12nn为它的“叠加积”．如果有2007项的正项数列200721,,aaa的“叠加积”为20082，则2008项的数列200721,,,2aaa的“叠加积”为

11. （***)在数列na中，*nN，若211nnnnaakaa（k为常数），则称na为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列” 正确的的判断：__________________ ①k不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 12. （***)设数列{}237nnnanSan中前项的和，则na=________. 13. （***)若在由正整数构成的无穷数列{an}中，对任意的正整数n，都有an ≤ an+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k–1个k，则a2008= .

14. （***)已知数列na满足1111nnnnaanaa（n为正整数）且26a，则数列na的通

项公式为na ． 15、(**)设数列}{na的前n项和为nS，且*111,42()nnaSanN， （1）设2nnnab，求证：数列{}nb是等差数列； （2）求数列}{na的通项公式及前n项和的公式。

16、(**)已知数列{}na是等差数列，且12a，12312aaa， （1）求数列{}na的通项公式； （2）令nnnbax(xR)，求数列{}nb前n项和nS的公式. 镇江市2010届高三数学二轮复习学案 17. (**)数列na满足：为偶数为奇数n,nan,naa,annn221111 ⑴ 求2a，3a，4a，5a； ⑵ 设*nnNn,ab22，求证：nb是等比数列，并求其通项公式； ⑶ 在⑵条件下，求数列na前100项中的所有偶数项的和S．

18、(**)已知数列{}na的通项公式65(2(nnnnan为奇数）为偶数），求数列{}na的前n项的和nS. 19、(**)非等比数列{}na中，前n项和21(1)4nnSa， （1）求数列{}na的通项公式； （2）设1(3)nnbna(*)nN，12nnTbbb，是否存在最大的整数m，使得对任意

的n 均有32nmT总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

20、(**)已知数列}{na的首项1aa（a是常数且1a），121(,2)nnaanNn． （1）}{na是否可能是等差数列，若可能，求出}{na的通项公式；若不可能，说明理由； （2）设(,nnbacnNc是常数)，若{}nb是等比数列，求实数c的值，并求出}{na的通项公式。

答案： 课前预习

1. (*)数列31537,,,,,5211717的一个通项公式是 232nnan 。 2. (*)数列{}na的前n项和223nSnn，则na 45nan 。 3.(**)在数列}{na中，12a，1221nnaa，则na=____32n_____________.

4.(**)已知数列}{na中，21a，且111nnaann，则na=___4(1)nn_____________. 5. (**)数列{}na的前n项积为2n，那么当2n时，{}na的通项公式为_______22(1)nnan

6. (**)已知数列{}na满足11a，nnaann111(2)n，则na=121n_.

7. (***)已知数列}{na满足1a=1，122nnnaa，则na=______12nnan_________.

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数列总结(求通项公式、求和)

数列总结(求通项公式、求和)

数列专题总结（二）求数列的通项公式一、 用定义法求数列的通项公式 1、 等差数列n n a a a a a 求满足）已知等差数列（,26,7}{1753=+=的通项公式求数列满足已知数列}{),2(1,2}{)2(11n n n n a n a a a a ≥=-=-的通项公式求数列）已知数列（}{,211,2311n nn a a a a =-=+的通项公式求满足）已知数列（}{,1,22}{411n n nn n a a a a a a =+=+2、 等比数列的通项公式求的各项均为正数，且）等比数列（}{,9,132}{1622321n n a a a a a a a ==+的通项公式求数列）已知数列满足（}{,1,2211n n n n a a a a a ==-+的通项公式求满足）已知数列（}{),5(25,2}{3111n n n n n n a a a a a -=-=++二、 迭加法（适用于)n (1f a a n n +=+型的数列）的通项公式求数列满足）已知数列（}{,1,12}{111n n n n a a n a a a =++=+的通项公式求数列满足）已知数列（}{,141,21}{2211n n n n a n a a a a -+=-=+三、迭乘法（适用于n n a n f a )(1=+型的数列）n n n a a n n a a 求）若（,1,32211+==+三、 设x 的待定系数法（适用于q 1+=+n n pa a 型的数列）|}{32,1}{11的通项公式，求中，在数列n n n n a a a a a +==+四、已知Sn 求n a :⎩⎨⎧=≥-=-1,2,11n S n S S a n n n (1)已知数列{a n }的前n 项和为2Sn=2-a n ，求数列{a n }通项公式（1）若12n n na a +=，且12a =，求n a (2)知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，且2112221n n ab a b a b n ++⋅⋅⋅+=+，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式。

数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。

例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。

高三数学数列的通项公式及求和

高三数学数列的通项公式及求和


1 1 1 1 ， ， ， ， ， 1 2 2 3 3 4 nn 1
1 1 1 ( ) n(n 1) n n 1
1 1 1 1 ( ) n( n k ) k n n k
总结：通项
1 1 ( a b) a b a b
0 1 2 6.求证: Cn +3Cn +5Cn +…+(2n+1)Cnn =(n+1)2n.
1 2n n 1 n 2 1 2 n n 1 n 2
2
4.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的和. 解 :若a=0, 则Sn=0 解题分析 :利用错位相减法求和 ,并注意对a的讨论. n( n 1) 若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n= 2 若a≠0且a≠1, 则Sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 +nan ∴ a Sn = a2+2a3+3a4+………+(n-1)an +nan+1
数列的通项公式及求和
通项的求法
｛
特殊数列
｛
等差数列 等比数列
S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1
累加 若 an - an-1= f(n) n 累积 = f (n)
一般数列
a an 1
凑等比
an=pan-1+q
猜想、归纳
等差数列 等比数列 特殊数列 数列前n项 和的求法
∴
aa na Sn 2 (1 a) 1 a a=0时 ,也成立 bn 为等比数列， 总结：此数列特征 an 为等差数列，
数列的通项公式与求和公式

数列的通项公式与求和公式

数列的通项公式与求和公式在数学的广阔天地中，数列就如同繁星点点，而数列的通项公式与求和公式则是我们探索这些繁星奥秘的关键钥匙。

首先，咱们来聊聊啥是数列的通项公式。

简单说，通项公式就是一个能够准确表示数列中每一项的式子。

比如说，咱们常见的等差数列 1，3，5，7，9它的通项公式就是 an ＝ 2n 1 。

通过这个公式，只要给定一个 n 的值，咱就能轻松算出这一项具体是多少。

再比如等比数列 2，4，8，16它的通项公式是 an ＝ 2^n 。

通项公式就像是数列的身份证，独一无二地标识了每一个数列。

那数列的求和公式又是啥呢？它呀，就是用来计算数列中所有项之和的式子。

还是拿刚才的等差数列 1，3，5，7，9 来说，它的前 n 项和公式是 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 ，这里的 a1 是首项，an 是末项。

如果咱们要求前 5 项的和，那就是 S5 ＝ 5×（1 ＋ 9) ／ 2 ＝ 25 。

等比数列2，4，8，16的前 n 项和公式是 Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q) （其中 q 是公比）。

通项公式和求和公式在解决数学问题中可太有用啦！比如说，让你判断一个数是不是某个数列中的项，有了通项公式，那简直是小菜一碟。

给定一个数，代入通项公式，能算出一个整数的 n 值，那它就是数列中的项，否则就不是。

求和公式的用处也不少呢！假如要计算一堆有规律排列的数的总和，要是一个一个加，那得累死人。

但有了求和公式，几下就能算出来。

那怎么去推导这些公式呢？咱们先来看等差数列的通项公式。

假如一个等差数列的首项是 a1 ，公差是 d ，那么第二项就是 a1 ＋ d ，第三项是 a1 ＋ 2d ，第四项是 a1 ＋ 3d 依此类推，第 n 项就是 an ＝ a1 ＋（n 1)d 。

再看等差数列的求和公式。

咱们可以把前 n 项倒过来写一遍，然后和原来的式子相加。

比如说，原来的式子是 Sn ＝ a1 ＋（a1 ＋ d) ＋（a1 ＋ 2d) ＋＋ a1 ＋（n 1)d ，倒过来就是 Sn ＝ a1 ＋（n 1)d ＋ a1 ＋（n 2)d ＋＋（a1 ＋ d) ＋ a1 。