数列求通项与求和总结(精)

数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。

在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。

首先，我们来讨论数列的求和问题。

数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。

数列求和的方法主要有以下几种。

1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。

这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。

2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。

这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。

3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。

4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。

这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。

其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。

数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。

数列求通项公式的方法主要有以下几种。

1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。

2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。

例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。

数列的通项与求和例题和知识点总结一、数列的通项在数列中，通项公式是指第 n 项 an 与项数 n 之间的关系式。

（一）等差数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

其通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中a1 为首项，d 为公差。

例如：数列 2，5，8，11，14，是一个首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 的等差数列，其通项公式为 an ＝ 2 ＋（n 1)×3 ＝ 3n 1 。

（二）等比数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

其通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，q 为公比。

例如：数列 2，4，8，16，32，是一个首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2 的等比数列，其通项公式为 an ＝ 2×2^（n 1) ＝ 2^n 。

（三）常见的求通项公式的方法1、观察法通过对数列前几项的观察，找出规律，从而推测出通项公式。

例如：数列 1，3，5，7，9，很容易观察出其通项公式为 an ＝ 2n1 。

2、累加法当数列的递推关系为 an an 1 ＝ f(n) 时，可用累加法求通项公式。

例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ n ，求 an 。

因为 an an 1 ＝ n ，所以a2 a1 ＝ 2a3 a2 ＝ 3an an 1 ＝ n将上述式子相加得：an a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋＋ n所以 an ＝ a1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n ＝ 1 ＋（2 ＋ 3 ＋＋ n) ＝ 1 ＋ n(n＋ 1)／2 。

3、累乘法当数列的递推关系为 an ／ an 1 ＝ f(n) 时，可用累乘法求通项公式。

例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an ／ an 1 ＝ n ，求 an 。

因为 an ／ an 1 ＝ n ，所以a2 ／ a1 ＝ 2a3 ／ a2 ＝ 3an ／ an 1 ＝ n将上述式子相乘得：an ／ a1 ＝ 2×3××n所以 an ＝ a1×2×3××n ＝ n! 。

数列求通项与求和重难点梳理山东省淄博市博山区实验中学 张健发表于《教学考试》一、求数列的通项1.已知数列是等差、等比数列，直接套用公式求通项【例1】已知各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意n N +∈均有246n n S S +=+成立.求等比数列{}n a 的通项n a .【解析】（Ⅰ）由已知，得31424646S S S S =+⎧⎨=+⎩，，①②②-①，得424a a =，所以2424a q a ==， 又因为等比数列{}n a 各项为正数，所以2q =. 又由①，得311(12)4612a a -=+-，所以12a =. 所以=2n n a .2.已知数列的递推公式求通项（1）公式法：“从右向左”利用公式11 1 2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，. 【例2】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--，且211a =，求数列{}n a 的通项n a .【解析】因为2122232(21)S a a a =+=-⨯-，又因为211a =，所以15a =.当2n ≥时，由3(1)n n S na n n =--，①得11(1)3(1)(2)n n S n a n n --=----，②①-②，得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=----+--，得1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-，即16n n a a --=.所以数列{}n a 是以5首项，6为公差的等差数列.所以16(1)61n a a n n =+-=-.（2）衍生法：用递推公式与其衍生形式相减或相除.【例3】已知数列{}n a 满足：1n n a a n +-=，若数列{}n b 满足：14b =，3122331313131n n n b b b b a =++++++++ ，求数列{}n b 的通项公式. 【解析】由122313131n n n b b b a =++++++ ，① 得11212131313131n n n n n b b b b a +++=++++++++ ，② ②－①，得11131n n n n b a a n +++=-=+，即11(31)n n b n ++=+. 所以411( 31)2n n n b n n =⎧=⎨-+≥⎩，（），． 【评注】有的递推公式n 取不同的值，其长度不变，是“无弹性”的，如例2；有的递推公式n 取不同的值，其长度改变，是“有弹性”的，如例3.（3）累加法：若()11n n a a a a f n +=⎧⎪⎨=+⎪⎩， 则1211()+()n n n a a a a a a -=+-+-….（4）累乘法：若()11n na a a f n a +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 则2111n n n a a a a a a -=⨯⨯⨯…. （5）化归法：若数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，求其通项n a 时一般要采取“迂回战术”， 即构造（题目中常常已构造好）一个与数列{}n a 有关的等差数或等比数列{}n b ，使()n n b f a =，先求n b ，再解出n a .【例4】已知数列{}n a 中，111 1,33?n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩，为奇数，为偶数，证明数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求2n a . 【解析】设232n nb a =-，则1213131(1)2326b a a =-=+-=-. 因为2(1)(21)112233223322n n n n n n a a b b a a ++++--==-- 21213(21)3232n n a n a +⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦=- []22133(2)(21)3232n n a n n a -⋅++-=- 2211132332n n a a -==-. 所以数列23{}2n a -是以16-为首项，13为公比的等比数列. 所以123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭. 二、求数列的前n 项和 1. “从左向右”利用公式11 1 2-=⎧=⎨-≥⎩，，n nn S n a S S n . 【例5】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--，且211a =，数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---，得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-，即131n n S S n n --=-.所以数列{}n S n是以3为公差的等差数列. 又因为2226822S a -==， 所以83(2)32n S n n n =+-=+，即232n S n n =+. 【评注】例2和例5的已知条件一样，求解时用的都是公式11 1 2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，值得注意的是，前者是“逆用”公式，后者是“正用”公式.2.倒序相加法：如果数列{}n a 首末两端等“距离”的两项的和相等时常可用此法.比如，等差数列的前n 项公式就是用此法推导的. 121 n n n S a a a a -=++++…，①121 n n n S a a a a -=+++…，②①+②，得12112()()()n n n n S a a a a a a -=+++++…1()n n a a =+，所以12()n n S n a a =+，即1()2n n n a a S +=. 3.错位相减法：数列{}n a 的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的常可用此法.4.裂项相消法：如果将数列{}n a 的每一项分解后求和就可以消去诸多项而剩余有限项时常可用此法.【例6】（1）数列{}n a 满足：1(1)n a n n =+，则数列{}n a 的10项和9S =___________. （2）数列{}n a 满足：21(1)(1)n n n a n n +=-+，则数列{}n a 的10项和9S =___________. 【解析】（1） 因为111(1)1n a n n n n ==-++， 所以10S =11111(1)()()223910-+-+⋅⋅⋅+-1911010=-=. （2） 因为2111(1)(1)()(1)1n n n n a n n n n +=-=-+++， 所以10S =11111(1)()()223910--+++⋅⋅⋅++1911010=-+=-. 【评注】“裂项”只是一种手段，“相消”才是的目，因此，“裂项”时思路要开阔，不拘一格.5.分组转化法：若数列{}n a 是由若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成时可用此法．【例7】设(35)2n n c n =+-，求数列{}nc 的前n 项和nT . 【解析】因为132n n n c c +-=-，所以1n =时，2110c c -=>，即12c c <； 2n ≥时，10n n c c +-<，即1n n c c +>.所以1234n c c c c c <>>>>>…….又因为16c =，27c =，36c =，41c =，512c =-，…，所以数列{}n c 的前4项为正，从第5项开始往后各项都为负.①当4n ≤时，211212313||||||222n n n n n n T c c c c c c ++=+++=+++=-+……； ②当5n ≥时，12||||||n n T c c c =+++…12345n c c c c c c =+++--…121234()2()n c c c c c c c =-+++++++…2131340(22)2n n n ++=--+ 213132382n n n ++=-++. 所以2121313224231323852n n n n n n S n n n ++⎧+-+≤⎪⎪=⎨+⎪-++≥⎪⎩，，. 【例8】设11()? 21 (2)n n n n a n n n -⎧⋅⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，奇，偶为数为数，求数列{}n a 的n 项和n S . 【解析】（1）当n 为偶数时，022111[1()3()(1)()]222n n S n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 1111111[()()()]224462n n +-+-+⋅⋅⋅+-+. 设0221111()3()(1)()222n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，① 则2241111()1()3()(1)()2222n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，② ①-②，得：024********()2[()()()](1)()422222n n T n -=⋅+++⋅⋅⋅+--⋅， 11()314212(1)()14214n n n T n -=+⋅--⋅-， 得：2012201()992n n n T +=-⋅. 所以，2012201()9924(2)n n n n S n +=-⋅++. （2）当n 为奇数时， 1n +为偶数11n n n S S a ++=-1201232111[()]9924(3)(1)(3)n n n n n n +++=-⋅+-+++ 120123211()9924(1)n n n n ++-=-⋅++. 综上，12012201()? 9924(2)20123211()? 9924(1)n n n n n n n S n n n n ++⎧-⋅+⎪+⎪=⎨+-⎪-⋅+⎪+⎩，是偶，是奇数数. 【评注】例7和例8主体上采用的都是“分组转化法”，具体环节上，例7采用的是直接套用等差、等比数列前n 项和公式的方法，例8采用的是“错位相减法”、“裂项相消法”.。

数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。

数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。

以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。

等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。

其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。

求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。

等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。

其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。

求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。

斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。

其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。

求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。

这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。

在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。

数列的通项与求和计算方法总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。

求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。

例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。

例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。

例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。

求数列的通项公式和前N 项和的几种类型总结熟练掌握求数列通项公式常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用； 熟练掌握求数列前n 项和常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用；在一些复杂问题中，将求通项公式与求和综合运用，对分析问题能力，计算能力要求较高重点应该提高对代数式的敏感，提高模式识别能力.知识讲解一、求数列的通项公式的方法1：观察法：此方法适用于小题和大题中的先猜后证；2：公式法等差数列通项公式：)()1(1m n d a a n d a a m n n -+=-+=等比数列通项公式mn m n n n q a a q a a --⋅=⋅=113：递推关系累加法：)(1n f a a n n =--21321(1)(2)(1)n n a a f a a f a a f n --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩ 累乘法：)(1n f a a n n=-321121(1)(2)(1)n n n a a aa f f f n a a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅- 构造法：（1）),,0,1,0(1为常数q p q p p q pa a n n ≠≠≠+=-：令λλ++=-1n n n a a b ，则n b 为等比数列（2）),1,0(1为常数p p p p pa a n n n ≠≠+=-令nnn p a b =,则n b 为等差数列（3）),,0,1,0(1为常数q p q p p q pa a n n n ≠≠≠+=-令nnn p a b =,则转化为第一类（4）),,,0(11为常数q p s spq qpa sa a n n n ≠+=--令nn a b 1=,则转化为第一类（5）)(1n f n n a a -=令n n a b lg =,则用累乘法4：退位相减法⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 二、求数列的前n 项和的方法1、观察法： 此方法适用于小题和大题中的先猜后证；2、公式法等差数列前n 项和公式：n da n d n n d n a n a a S n n )2(2)1(22)(1211-+=-+=+=等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--⋅==)1(11)1(11q q q a q na S nn几个常用的等差数列求和公式，最好记住：（1） ；（2） ()11232n n n +++++= ()213521n n++++-= （3） ()24621n n n ++++=+ 3、倒序相加法：首尾对称类型4、乘公比错位相减法等差和等比组合数列，123(1)n n S a a a a =++++ 2341(2)n n qS a a a a +=++++ 解出.1n n n n S qS a a +-=-11(1)(2)1(1)n n a q q S qna q ⎧-≥⎪=-⎨⎪=⎩5、裂项相消法（分母可以写成两个数相减为常数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+++-=+n n nn n n n n 111111)1(16、分组求和法（等差数列和等比数列相加）例题精析【例题1】在数列{n a }中，31=a ，)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .【例题2】已知数列满足，前项和，求的通项公式.{}n a 11,a =n 23n n n S a +={}n a 【例题3】数列{}n a 满足2,2311=-=-a a a n n ，求n a .【例题4】已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T .【例题5】求和：.1111212312n+++++++++ 【例题6】已知数列的前项和为，且，数列满足{}n a n n S 22,*n S n n n N =+∈{}n b 。

数列求通项、求和的方法总结一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型（等差or 等比）的题目．例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-三、由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

【关键字】总结一 公式法例1 数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.二 利用与的关系例2 若数列的前项和为求的通项公式. 三 累加法例3 数列中已知, 求的通项公式.四 累乘法例4数列中已知, 求的通项公式. 五 构造法例5 ①数列中已知, 求的通项公式;②数列中已知, 求的通项公式.③数列中已知是数列的前项和,且,求的通项公式 一 利用公式例6 等比数列的前项和求的值. 二 分组求和例7 求数列的前项和. 三 错位相减例8 求和 四 裂项相消例9 求和 五 倒序相加例10 设,求和1. 求数列,的前项和.2 已知，求的前n 项和.3. 求数列a,2a 2,3a3,4a4,…,nan, …(a 为常数)的前n 项和。

4. 求证：5. 求数列，，，…，，…的前n 项和S6. 数列{an}：，求S2002.7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和Sn 8. 已知数列 是等差数列，且，求的值.9. 已知数列的通项公式为 求它的前n 项的和.10. 在数列中， 证明数列是等差数列，并求出Sn 的表达式.11. 数列为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n 项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q. 12. 已知数列 求.13. 设 为等差数列，Sn 为数列的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列的前n 项和，求Tn .14. 求数列的前项和 15. 已知：.求. 16. 求和.17. ，求。

18. 设数列｛an ｝的前n 项和为Sn ，且方程x2－anx －an ＝0有一根为Sn －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an ｝的通项公式。

数列的通项公式与求和公式知识点总结数列是数学中常见的数值按照一定规律排列形成的序列。

在数列的研究中，通项公式和求和公式是两个重要的概念，它们能够帮助我们对数列进行分析和计算。

本文将对数列的通项公式和求和公式进行总结和说明。

一、通项公式通项公式又称为一般项公式，可以表达数列中第n个数值与n的关系。

通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意位置的数值，从而更好地理解和分析数列的特性。

1.1 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示数列中第n个数值，an-1为前一项的值。

1.2 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为r，则其通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

其中，an表示数列中第n个数值，an-1为前一项的值。

1.3 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是一种特殊的数列，其每一项都是前两项之和。

设斐波那契数列的首项为a1，前一项为a(n-1)，当前项为an，则其通项公式为an = a(n-1) + a(n-2)。

其中，a2是斐波那契数列的第二项，一般取1。

二、求和公式求和公式是用来计算数列前n项和的公式。

通过求和公式，我们能够快速计算出数列的和，从而更方便地进行数列求和的操作。

2.1 等差数列的求和公式等差数列前n项和的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。

2.2 等比数列的求和公式等比数列前n项和的求和公式分两种情况，当r=1时，Sn = na1；当r不等于1时，Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。

2.3 斐波那契数列的求和公式斐波那契数列前n项和的求和公式为Sn = a(n+2) - a2，其中Sn表示前n项的和，a(n+2)为斐波那契数列的第n+2项，a2为第二项。

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消n a。

n，}的1a1－*)，型如1()n na a f n--=,1()nnaf na-=)n，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n=的情21()(1)(2)a f n f n f a ⋅⋅=⋅-⋅⋅(2)f ⋅⋅，检验“累加法”（“累乘法”（2）已知数列n 满足12n n n ++，且31，求n a .【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11n +n a b =}n即为(四).倒数法1nn nka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)【方法】两边取倒数，得111n n p ca k a k+=⋅+,转化为待定系数法求解【例5】. 已知数列{}n a 的首项为135a =，1n a +且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为 ( )A ．31B ．120C ．130D ．185 练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n项和S n＝32164，则项数n等于()A．13 B．10 C．9 D．62.设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，)在练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.。

【最新整理，下载后即可编辑】专题一：数列通项公式的求法详解（八种方法）关键是找出各项与项数n 的关系.） 4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nn a（2）;122++=n n n a n（3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n n a n n .公式法1：特殊数列例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)例 4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n .例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n .（2）12-=n s n答案：（1）n a =3232+-n n ，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：)(52N n n a n ∈+=例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a .答案：n a =12+n例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：a n12-=【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a .（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-=，试求通项公式n a . .答案：.)12(12(1-+=n n a n思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c dλ，所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项na .答案：12-=n n a构造2：相邻项的差为特殊数列例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求na .提示：变为)(31112n n n n a a a a --=-+++.构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n +=--11】 例12： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式. 答案nb a n 11==}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n n bq d n a c 建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a nn =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如)(1n f a a n n =⋅+型①若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15： 数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式. 专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2)1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=-- 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn [例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.答案n ＝8时，1)(max =n f n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.答案： 124-+-=n n n Sn 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，然后再除以2得解.[例4] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S ＝44.5当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组； [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 答案2)13(11n n a a a s n n -+--=-.试一试1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和 .简析：由于与n kka =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(9199999111111个、分别求和. . 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f a n -+= ； （2）11++=n n a n =n n -+1；（3）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n（5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n . [例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和. [例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n ，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。