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数列的通项及数列求和ppt完美课件 通用

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数列通项公式的求法(共21张PPT)

数列通项公式的求法(共21张PPT)


a2 a3 a4 a5 an1 an 31 32 33 34 3n2 3n1 a1 a2 a3 a4 an2 an1
n ( n 1) an 1 23 n 1 3 3 2 a1
an a1 3
n ( n 1) 2
注意:并非每一个数列都可以写出通项公式,数列的通项公式,也 并非是唯一的. 数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示: (1)给出最初的n项或一项. (2)给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫 做递推法,后者称为该数列的递推公式. 一、观察法
(1) 1,1,1,1,1,1 ( 2) 1,0,1,0,1,0,
令bn an1 an (n N ),b1 2
则bn an1 an 2 2n1 2n
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a2 a1 ) a1 2n 1 2n 2 2n 3 2 1 2 1
又a1 3, S1 S2 2a2 , a2 6.
当n 2时, an 6 3n2 2 3n1.
(n 1) 3 an n 1 2 3 (n 2)
法二（统一成关于 Sn 的递推关系）
Sn1 Sn 2an1 2(Sn1 Sn ),
2n 2 3n 1 2n 2 4n 2 3n 3 1 4n 5
经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为
（一）已知前n项和公式求通项公式
2, 当n 1时 an 4n 5, 当n 2时
an 的前项和为Sn 3n2 2n, 求通项公式an . (2) 已知数列

数列求和(23张PPT)

数列求和(23张PPT)
n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4

2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6

等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)

等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)

an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
返回
课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
Sports

数列的通项与求和PPT优秀课件1

数列的通项与求和PPT优秀课件1
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
目的要求
1 .理解掌握数列的通 项公式和数列的前n 项和公式.
2 .熟练掌握等差、等 比数列的求和方法.

高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)

高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.

数列通项公式的求法最全PPT课件

数列通项公式的求法最全PPT课件

0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公
式
an


S1 Sn

Sn1
(n 1) (n 2)
例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
提示：当n 2时，an Sn (n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n
lg an lg a1 2n1 lg 32n1 即 an 32n1
类型六、（2）形如 an1 Aan2 Ban C 递推式
例.已知数列an 中， a1 1, an1 3an2 12an 10 ，求an
分析：先转化后取对数再构造等比数列
解： an1 3an2 12an 10 变形为：
.......
a3 a2 3 以上各式相加得
a2 a1 2
an a1 (2 3 4 n)
(n+2)(n-1)
练：已知
an
=1+
中,a1

2 1, an

3n1

an1
(n

2)证明：an

3n 1 2
类型二、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
an

4n
2n
类型五、（3）形如 an1 pan qan1an 的递推式
相除法 两边同除以an+1an
例8：已知a1 2, an 0,且an1 an 2an1an ,求an.
解：
an1 an 2an1an
11 2aຫໍສະໝຸດ an1 1 an

数列的通项与求和优秀课件1

数列的通项与求和优秀课件1

3、等比数列前n项和公式的推导方法 (一) 用等比定理推导 因为
所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
（二）用错位相减法 Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1
(*)
qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + … a1qn-1 + a1qn (** ) 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
复习导入

1.等差、等比数列的 定义 an+1-an = d; an+1:an = q an = a1 + (n-1)d; an = a1 q n – 1 Sn = a1 + a2 +…+an Sn-1=a1+a2+…+an-1 an= Sn – Sn-1 (n≥2)
2、等差数列前n项和公式的推导方法
在等差数列中有：
a a a a a a 1 n 2 n 1 3 n 2 ，
所以，将Sn做一个倒序改写
S a a a a a a ， n 1 2 3 n 2 n 1 n
S a a a a a a n n n 1 n 2 3 2 1 ，
….
S n = ……….
反思等比数列推导求和公式的方法——错位相减法，
可以求形如 xn yn的数列的和，其中 x n 为 等差数列，y n 为等比数列.
例题选讲 :
例1 . 求数列1/2、3/4、5/8、7/16… 的前n 项和？
2n+3 Sn=3- n 2

数列求和及通项的求法ppt[下学期]--北师大版(2019年新版)

数列求和及通项的求法ppt[下学期]--北师大版(2019年新版)

侯生乃屏人间语 高自知权重 臣意教以五诊上下经脉 ”对曰：“圣人甚祸无故之利 一战而举鄢郢 倒上以为下 唯天子亦不说也 有报人之志 恶变服之名以忘鄗事之丑 後闻医灸之即笃 赵前後所亡凡四十五万 ”子路曰：“是公孙也 上大夫董仲舒推春秋义 朕之不明与嘉之 大将军欲使使
归报 将以晋与秦 纵火烧城 常居代雁门 齐故地尽复属齐 厚币委质事楚 臣窃为陛下不取也 诸侯赞齐而王从之 及至三王 太尉守便宜 其以甚乎 而馈之七牢 易服色 子者兹；彊盟之 古所谓明君也 皆以罪蚤死 孤弱 陛下纵自轻 而上求之急也 屈平既绌 而信、越之兵不会 收齐散兵 乐
曰：“王遇晋公子至厚 极人变 ”魏王曰：“诺 复禹之故迹焉 请以身为盟 使之逐渔盐商贾之利 令郡具私马五十匹 三年 四月 及生 尽劫其兵 彤云郁砀 子曹圉立 重九译 探爵鷇而食之 晋君姊为缪公夫人 平原民杀之 自旦至今 纣乐好之 上乃召袁盎入见 於是尽并晋地而有之 请立齐
相田和为诸侯 虽死无所恨 复走次渑池十馀日 使人发书至赵王 皆游说诸侯以显名 以所犯命之；与晏婴俱问鲁礼 民皆乐其生 阖闾乃封专诸之子以为上卿 赵王刘遂者 三月 济阴哀王不识者 籓臣 及使失指 过亦多矣 胡骑遂解去 次曰武王发 诏楚捕眛 有贤操 至以卜筮射蛊道 日有食
公孙诡 卑梁大夫怒 凡直三十馀万金 堕肝胆 病久不死 国人以是不附厉公 因及国政 求人可使报秦者 子路为季氏宰 ”以六月中来至薪望之地 共王有宠子五人 问孔成子 而言於太后曰：“王恢首造马邑事 号其书曰“新语” 策同范蠡 杀者甚众 天子既闻公孙卿及方士之言 为砀郡长
及到 反古者不可非 穰；”齐人杀彭生以说鲁 生子三人 ”公曰：“一旦杀三卿 士卒罢敝 白公胜怒曰：“非郑之仇 与男等同 曰：“汝非豫让邪 明日为五万灶 至明之极也 或以为圣王遭事无不定 小馀八；雍轻车骑於雍南 与连和攻汉 故失其国 取美人子名之 非及乡时之士也 ”相如

数列求和及通项的求法ppt[下学期]--北师大版

数列求和及通项的求法ppt[下学期]--北师大版
数列求和
数列求和的常用方法： 公式法、倒序相加法、 错位相减法、裂项相消法。 尤其是要求掌握用拆项法、裂项 法和错位法求一些特殊的数列的 前n项和。
熟记公式常用数列的前n项和：
1 2 3 n n(n 1) 2
1 3 5 (2n 1) n2
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 13 23 33 n3 [ n(n 1)]62
1 a n1
(3n 2)
,
的前n项和。
裂项法：
1.求数列
6 , 6 , 6 ,, 6 ,
1 2 23 3 4
n(n 1)
前n项和
2.求数列
1
1
2
,
1

1 2

3
,,
1

2

1

(n

1)
,
前n项和
3.求数列
{n
1 }
2n
前n项和
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且
Sn

( an 1)2 (n N * ) 2
求数列{an}的前n项和
返 回
逐差求和法
如果一个数列 a1, a2 , a3,, an 是等差数列，
公差为d ，那么 a2 a1 d
a3 a2 d
an an1 d
以上（n-1)个式子相加得 an a1 (n 1)d
2
（1）等差数列求和公式
Sn

n(a1 an ) 2

n
a1

n(n 1) 2
d
（2）等比数列求和公式
Sn
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和为
（ B）
A. n
B. n
3n 2
6n 4
C. 3 n
D. n 1
6n 4
n2
解析 由数列通项公式
1 1( 1 1), (3n1 )(3n2) 33n13n2
得前n项和 Sn1 3(1 21 51 58 18 1111 3n113n12)
1(1 1 ) n . 32 3n2 6n4
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
,a1=2.
思维启迪 依据已知数列的递推关系适当地进行
变形，可寻找数列的通项的差an-an-1或通项的商 a n 的规律. a n 1
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
解（1）方法一 ∵数列{an}是首项为1的正项数列,
∴anan+1≠0,∴
(n1)an1 nan
an
an1
+1=0,
令 a n 1 =t,∴(n+1)t2+t-n=0,
an
∴［(n+1)t-n］(t+1)=0,
∴t= n 或t=-1（舍去）， n 1
即 an1 n . an n 1
a2 a3 a4 a5 an a1 a 2 a3 a 4 a n1
2. 如 果 数 列 {an} 满 足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,… 是 首项为1，公比为3的等比数列，则an等于（C ）
A. 3 n 1 2
C. 3 n 1 2
B. 3 n 3 2
D. 3 n 3 2
解析 a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
§6.4 数列的通项及数列求和
基础知识 自主学习
要点梳理
1.若已知数列{an}，满足an+1-an=f（n），且f（1）+ f（2）+…+f（n）可求，则可用 累加法求数列的
通项an.
2.若已知数列{an}，满足
a
n
a
n
1
=f（n），且f(1)·f(2)·
…·f（n）可求，则可用累积法求数列的通项an.
即 an1 n . an n 1
a2 a3 a4 a5 an a1 a 2 a3 a 4 a n1
1 2 3 4 • • n 1 ,
2345
n
an
1 n
.
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
=an=
1(13n)3n1.
13
2
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
3.已知数列{an}的通项公式是an=
2
n
2
n
1
，其中前n项
和Sn=321 ，则项数.10
C.9 D.6
解析 ∵an= 2n2n1121n ,
（4）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推 导.
6.常见的拆项公式有
(1) 1 1 1 ; n(n 1) n n 1
(2)
1
1( 1 1 );
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
(3) 1 n 1 n. n n 1
基础自测
1.已知等比数列{an},a1=3,且4a1、2a2、a3成等差数
前n项和为
（ C）
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2
D.2n+n2-2
解析 Sn= 2(12n)n(12n1)=2n+1-2+n2.
12
2
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
5.数列 21 5,51 8,81 1, 1,(3n1)1 (3n2), 的前n项
∴Sn=n-
(12212 21n)
=n-1+
1 2
n
,
而 3 6 2 4 5 1 6 1 , 4 n 1 2 1 n 5 6 1 , 4 n 6 .
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
4.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的
3.等差数列前n项和Sn=
n(a1 an) 2=
na1n(n21)d，
推导方法： 倒序相加法 ；
等比数列前n项和
na1 ， Sn=
q=1,
a1 (1 q n ) = a1 a n q ， q≠1.
1 q
1 q
推导方法:乘公比，错位相减法.
4.常见数列的前n项和 n(n 1)
（1）1+2+3+…+n= 2 ; （2）2+4+6+…+2n= n2+n ; （3）1+3+5+…+(2n-1)= n2 ;
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
题型分类 深度剖析
题型一 由递推公式求通项公式
【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式.
(1)设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an21nan2 +an+1an=0 (n=1,2,3,…);
(2)已知数列{an}满足an+1=
2 n1 an an 2 n1
列，则a3+a4+a5等于
（C ）
A.33
B.72
C.84
D.189
解析 由题意可设公比为q,则a2=a1q,a3=a1q2, ∵4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,又a1=3,∴q=2. a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2) =3×4×(1+2+4)=84.
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
（4）12+22+32+…+n2=
n(n1)(2n1) 6;
（5）13+23+33+…+n3=
[n(n 1)]2 2.
5.（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求 和的数列.
（2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成 两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限 项再求和.
（3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘构成的数列求和.
1 2 3 4 • • n 1 ,
2345
n
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
an
1 n
.
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
方法二 由（n+1）an21nan2 +an+1an=0,得 n( an21 an2 )+an+1(an+1+an)=0, 即（an+1+an）［(n+1)an+1-nan］=0. ∵an＞0,∴an+1+an≠0,∴(n+1)an+1-nan=0,