正切函数的图像与性质

x

2
k , (k Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.
1、定义域
y tan x
终边不能落在y轴上。
定义域： { x | x

2
k ,k Z}
2、值 域
其中x的取值集合，即定义域为
{x | x R且x k

又由图像可知正切函数的值域是实数集R
2
, k z}
3、周期性
y sin x
T 2 T 2
T 2 T
y cos x
y tan x
sin x sin x tan x tan x cos x cos x
4、奇偶性
f ( x ) sin x , x R f ( x ) cos x , x R
2
2.正切函数性质
3.用数形结合的思想理解和处理有关的问题.
函数 y=tanx {x | x k , k Z } 2 R T= 奇函数 (k , k )k Z 增区间 2 2
定义域
值域 周期性 奇偶性 单调性
对称中心为零点及函数值不存在的点，( k , 0) k Z
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
三点两线作一个周期图象
y
渐 近 线
3 2
· ( ,1) 4 (0, 0) · 0 ( , 1) · 4



渐 近 线
3 2

2
2
x
然后有周期性左右平移得到整个定义域内的图象
y tan x
偶函数

13π > 17π (2)tan()_____tan() 4 5
例题分析
例2： 求函数y=tan3x的定义域，值域，周期，奇偶性， 单调增区间，对称中心。 解： k 定义域：｛ \ x x , k z｝ 3 6 值域： R
最小正周期是

3
奇偶性：奇函数
k k 单调递增区间：（ , ）k z , 6 3 6 3
k 对称中心： , 0 k Z 6
提高练习
求函数 y tan 3x 的定义域、值域，并指出它的 3 单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1、定义域 2、值域
1 5 x x | x R且x k ，k Z 3 18 yR
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移 正 切 线 得 tan x, x ( , )的 图 象 ， 平 y 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 向 左 、 右 扩 展 得 到 。 图
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z} 2 ⑶ 周期性： ⑵ 值域： R ⑷ 奇偶性：奇函数， 4 8
8
4
3 8
2
二:性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1
-3/2 - t- -/2
0
t /2
-1
t+ 3/2
x
函数 定义域
y=tanx
{x | x k

2
, k Z}
值域
周期性 奇偶性 单调性 增区间
练习：
1、 解不等式 1+tanx0

不能说 y tan x在定义域范围是增函数.
正
渐
近
切
线
函
渐
近
数
线
性图质 ⑴像⑵
:
定义域： {x |
值域： R
x
2
k, k Z}
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k ) ，k Z 内都是增函数。
2
2
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
x 2
正切函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最值
{x x k , k z}
2
R
奇函数
在R上没有单调性
在( k , k )上单调增
2
2
没有最值
例6
▪ （1）定义域
y
tan
x
2 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k,
k
Z
所以，原函数的定义域是
基础练习
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上。
定义域：{ x | x k , k Z}
2
周期性
y sin x y cos x y tan x
T 2 T 2 T
❖❖ 二二、、探探究究用用正正切切线作线正作切正函切数函图数图
(7)对称中心 (kπ,0) 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：

奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习

作业：
P45.2、3、4
课后思考

思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？

想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：

x (1) y 5 tan 2
2

(2) y tan(4 x ) 3

4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B