高中数学 第1章 导数及其应用 14 应用导数解决实际问题(2)教学案苏教版选修2-2

导数在实际生活中的应用
苏教版教科书选修2-2《数学》
新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用,利
用导数求最值的方法,可以解决实际生活中 的某些最值问题. 1.几何方面的应用 (如：面积、体积等最值问题) 2.物理方面的应用(如：功、功率等最值问题)
3.经济学方面的应用 (如：利润最大化问题等)
例题分析
则利润函数
答 生产1000个单位产品时，边际成本最低； 当产品的单价为75时，利润最大.
用图象来表示有下列3种形式，这就是如何确定生产规 模的一般数学模型.
练习
课堂小结
求解实际应用题的步骤： ①仔细审பைடு நூலகம். 关注实际生活背景. ②建立数学模型. 建立函数模型，关注定义域. ③求解数学问题. 可以用导数法求解最值问题. ④检验并回答. 作答要符合问题要求.
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系统中重要的 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备自我激励能力的人，富 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自家的后院练习棒球。在挥动球棒前， 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有击中。男孩子停下来，检查了球棒和球， 然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很棒的挥球手。接着男孩子又对自己喊：“我是 世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著是很多人并不具备的……而许多奇迹往往是执著 者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要目标不能激发你的想象力，目标的实现就会遥遥 无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你可以安排自己的休整点。事先看看你的时间表， 框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下，即使是离开自己挚 爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中 找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自己。获得别人对自己的反映很不错，尤其正面反 馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的棋局该由自己来摆。不要从别人身上找寻自己， 应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵感的降临。你可不要这样。如果有些事你知道需要 做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以，这次犯错，是为了下次接受挑战后，要尽量放松。 在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的勇气。事过境迁，面对人生，面对社会，面对工 作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努力。谁都不可能一生一世的帮你，一时的享受也 只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有稍微有点意识的年轻人都想努力提高自己。看着 身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕着越来越多的年轻人，我们太想改变自己，太想 早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉矶成为大家励志的手段，纷纷开始早起打卡行动。 其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点滴的时候，都觉得是对时间的一种浪费。想快点结 束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速度。打完点滴走在回家的路上，我就在想，平时做 事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变，够我们学习成长。身体就像是1000前面的那个若是 1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全是没有方向、不分主次的一通乱忙乎才导致的，病 倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而且他们取得的成就远远超过我了，为啥他们反到身 体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你如果每次砸倒9个瓶子，最终得分是90分，而你如果每次能 砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了，都累病了，我讲这个故事是告诉你，你现在就是那个每次 砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能砸倒10个瓶子，他就能比你轻松十倍，得分却还是远远超过 你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米，那边挖几米。第一个人早早的就挖出水来了，而另一个人则是 直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力也是有限的，你这样分散精力去努力，最终得到的结果只会是永远装 不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来，挑出最重要的、最必须的，写在第一行，再以此类推，排完手中所有 的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转行新媒体咯，那么学习历练新媒体技能就是第一位。而新媒体所需学习 的技能又有很多，那怎么办呢？先挑自己有点底子的，有点基础的，把巩固持续加强。个人感觉自己写还是有点小基础的，所以就给自己一个小目标，每周必须持续输出几篇文字，加强文案方面的训练。 而另外PS也是做运营的必备条件之一，所以在训练文案的同时，还得练习PS，给自己的要求是每天练习PS半小时。还有别的吗？不敢有了，两样训练加上还要上班已经差不多了。一直很喜欢作家刘瑜的 一段话：每当我一天什么也没干的时候，我就开始焦虑。每当我两天什么都没干的时候，我就开始烦躁。每当我三天什么都没干的时候，我就开始抓狂。不行啊，不行了，我三天什么都没干啊，我寝食 难安……这正是我三个月前的真实写照。多年来，我已经养成一种习惯，绝不让任何一分钟死有余辜：我在堵车的时候听日语，在等人的时候写文章，在上厕所的时候看书，在任意两件事的衔接点那里 扒出细缝，用来回邮件、回短信……我以为这就是所谓的勤奋，也心安理得地享受着同伴的钦佩。但我很快就发现，我的工作时间越来越长，我的休息时间越来越短，我的情绪越来越焦躁，只要有十分 钟的无作为，我就会变得非常慌张！而我的社交时间也不得不尽量地缩短，我甚至不再有功夫交朋友。更可怕的是，我的工作量明明没有变化，可看起来每一天它都在成倍地递增。我开始害怕夜幕降临 的那一刻，因为那意味着这一天有更多的事情被贴上了“没完成”的标签。我责备那是自己“无能”的表现，直到我意识到问题的关键“没有效率的勤奋，就是懒惰。”

铁路运输每吨千米与公路运输每吨千
米的运费之比为 3∶5 ，为了使原料从 B处运到工厂C的运费最省，D应选在 何处？ 解题的关键是设出恰当的变量，将运费表示成变
量的函数，然后利用导数求出函数的最值．
解 设铁路运输每吨千米运费为3k(k为比例系数)，则公路 运输每吨千米运费为5k，设D点距离A处为x km. 则D点距B处为(100－x)km，设原料从B处运到C处的运费为 y，则y＝ 400＋x2· 5k＋(100－x)· 3k(0≤x≤100)， x ∴y′＝ 5k－3k(0≤x≤100)． 2· 400＋x 令y′＝0有x＝15，在x＝15附近，y′是左负右正，所以y在 x＝15处取得极小值即为最小值，所以当D点距A处15 时，y有最小值． km
(8 分)
当2<x≤3时，g′(x)<0，
故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数． (12 分 )
∴当x＝2时，g(x)取得最大值．即将2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大． (14分)
【题后反思】 解决利润最大问题，关键是选择合适的变量x， 将利润表示为x的函数，然后运用导数知识解答．利润＝销 售收入－成本．
1．4 导数在实际生活中的应用
【课标要求】 1．通过实例，初步学会解决生活中的优化问题 (如求利润最
大、用料最省、效率最高等)；
2．体会导数的广泛应用性及实际应用价值． 【核心扫描】 1 ．掌握由实际问题建立数学模型，并表示为适当的函数关 系式．(重点、难点)
2．运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题．(重点)
则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最
大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术 改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销 1 3 2 售额约为－ x ＋x ＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方 3 案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－ 投入资金)

跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位： 万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5 (0≤x≤10)，若 不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；
解答
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
命题角度2 费用用材最省问题 例4 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速 为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费 与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料 费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
解答
当堂训练
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为__4_.
解析 设底面边长为x，高为h， 则 V(x)＝x2·h＝256，∴h＝2x526. ∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·2x526＝x2＋4×x256， ∴S′(x)＝2x－4×x22 56. 令S′(x)＝0，解得x＝8，判断知当x＝8时，S(x)取得最小值. ∴h＝28526＝4.
10x8－130x020，x>10. (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的 年利润最大，并求出最大值.
解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的 函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.

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导数在实际生活中的应用●三维目标1．知识与技能（1)研究使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．（3）掌握利用导数解决某些实际问题的方法，能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．2．过程与方法通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体现导数的工具性．3．情感、态度与价值观通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力．●重点难点重点:掌握利用导数解决实际生活中的优化问题．难点：将实际问题转化成数学模型．【问题导思】已知某生产厂家的年利润y(单位:万元）与年产量x(单位:万件）的函数关系式为y＝－错误!x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为多少？导数在实际生活中有着广泛的应用，如、、等问题一般可以归结为函数的问题，从而可用导数来解决．【题型分类】【类型一】面积、容积的最值问题例1、(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图3－4－1所示，ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．（1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?(2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．图3－4－1变式：用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成如图3－4－2，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？图3－4－2【类型二】用料最省、节能减耗问题例2、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C（x)＝k 3x＋5(0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1）求k的值及f(x）的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x)达到最小，并求最小值．变式：统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升)关于行驶速度x（千米/时)的函数解析式可以表示为y＝错误!x3－错误!x＋8(0≤x≤120)，已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地需耗油多少升?（2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?【类型三】利润最大问题例3、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨）之间的关系式为p＝24 200－错误!x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元)，问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少?(利润＝收入－成本）变式：已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25 000＋200x＋错误!x2（元)，问:（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？【课堂小结】解决生活中的优化问题的思路：（1)审题:阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2）建模：利用数学知识建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题转化为函数最值问题并求解．(4）检验．【课时作业】一、填空题1．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x）件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．2．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．3．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x（0≤x≤390）的关系是R(x)＝－错误!＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是________．5．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格P与产量q的函数关系式为P＝25－错误!q，则利润L最大时，产量q等于________．6．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________．7．某厂生产某种产品x件的总成本c（x)＝1 200＋错误!x3(万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为________件时,总利润最大．二、解答题8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋错误!）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（1）试写出y关于x的函数关系式;（2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？9．两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以A B为直径的半圆弧错误!上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A 和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在错误!的中点时,对城A和城B的总影响度为0。