§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析
前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析
1．有利因素
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素
一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计
课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
学 海 无 涯
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量
a
与
b
，作
OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a
与b
的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，a
与b
同向；
（2）当θ＝π时，a
与b
反向；
（3）当θ＝
2
时，a
与b
垂直，记a
⊥b
；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0≤≤180
（2）两向量共线的判定定理
（3）练习
1.若a
=(2，3)，b
=(4，-1+y)，且a
∥b
，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F
||s
|cos，是F
与s
的夹角.
功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a
与b
，它们的夹角是θ， 学 海 无 涯
则数量│
a
││
b
│
cos
叫a与b的数量积，记作a•b，即有a•b= │a││b│cos， （其中０≤θ≤π）. 并规定：0向量与任何向量的数量积为0. 探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
【平面向量数量积的几点说明】
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a•b
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功
图1
W=|F||s|cosθ
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义
a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：
通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
四、教学设想
（一）导入新课 思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
自主学习
知识梳理
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是______________，向量b在a方向上的投影是__________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝__________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝__________(分配律)．
自主探究
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔__________；
(2)当a与b同向时，a·b＝________，
当a与b反向时，a·b＝________；
(3)a·a＝__________或|a|＝a·a＝a2；
(4)cos θ＝__________；
(5)|a·b|≤__________.
对点讲练
知识点一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
变式训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)AB→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→.
