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平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
平面向量的数量积和向量积的角度平面向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算，它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和向量积的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，表示为两个向量的点乘结果。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，计算方法为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积的计算方法可以看出，它是一个实数。
当两个向量夹角为锐角时，数量积的值为正；当夹角为直角时，数量积的值为零；当夹角为钝角时，数量积的值为负。
这一特点使得数量积在判断向量之间的夹角关系时非常有用。
数量积的应用广泛，其中一个典型的应用是计算向量的投影。
通过数量积，我们可以得到一个向量在另一个向量方向上的投影的长度。
这在物理学中特别重要，比如我们可以通过数量积计算物体在某一方向上的运动速度。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，表示为两个向量的叉乘结果。
设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b，计算方法为|a×b| = |a| |b|sinθ n，其中|a×b|表示向量积的模长，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的计算方法可以看出，它是一个向量，方向垂直于原来的两个向量所在的平面。
向量积的模长等于两个向量模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量积也具有一些重要的应用。
例如，在物理学中，它可以用来求解力矩，力矩是一个向量，方向由向量积确定。
此外，向量积还可以用于求解平面的面积，通过向量积可以得到由两个向量所确定平面的面积。
三、平面向量的数量积和向量积的角度关系对于平面向量a和b，其数量积和向量积之间存在一定的角度关系。
设数量积的结果为N，向量积的结果为V，则有以下关系式：N = |a| |b| cosθ|V| = |a| |b| sinθ根据三角函数的定义，我们可以得到tanθ = |V| / N这说明向量积的模长和数量积之间的关系可以通过夹角的正切值来表示。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
平面向量的数量积与夹角在二维平面上，向量具有大小和方向两个特征，我们可以通过数量积和夹角来描述和计算向量之间的关系。
本文将详细介绍平面向量的数量积和夹角的概念、性质以及计算方法。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也被称为点积或内积，用符号“·”表示。
对于平面上的两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（即长度），θ表示a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积与夹角的关系：若a·b = 0，则a与b垂直通过数量积，我们可以判断向量之间的垂直关系。
当且仅当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直。
二、平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角，它描述了向量的方向关系。
夹角的计算可以通过数量积的性质得到。
设有两个非零向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模。
夹角θ的范围在0到π之间，可以通过反余弦函数求得具体的夹角值。
三、平面向量数量积和夹角的应用1. 判断向量的平行和垂直关系：根据数量积的性质，当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直；当两个向量的夹角为0或π时，它们平行。
2. 计算向量的模：根据数量积的定义，我们可以得到向量的模公式：|a| = √(a·a)通过计算向量的数量积，可以求得向量的模。
3. 计算向量的投影：向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
通过数量积的概念，我们可以计算出向量a在向量b上的投影长度为：proj_b a = (a·b) / |b|其中，a·b表示a和b的数量积，|b|表示b的模。
第三节平面向量数量积及应用重点：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
难点：
1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
教学过程：
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网
(3)夹角：cos θ＝a·b
|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21·x22＋y22
.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a ⊥
b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22
(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
6．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
高频考点一 平面向量数量积的运算
例1、(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，
DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )
A ．20 B.15 C ．9 D ．6
(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；
DE →·DC →的最大值为________．
(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设
E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.
因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，
故DE →·DC →的最大值为1.
方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB
→＝|CB →|·1＝1，
当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，
∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.
【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
高频考点二 用数量积求向量的模、夹角
例2、(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )
A.－8
B.－6
C.6
D.8
(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.
解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，
即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.
(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，
∴(2a －3b )·c <0，
即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.
又若(2a －3b )∥c ，
则2k －3＝－12，即k ＝－92
. 当k ＝－92
时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 此时2a －3b 与c 反向，不合题意.
综上，k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 答案 (1)D (2)⎝
⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b |a ||b |
(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.。
