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平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
数学中的向量进阶平面向量的数量积与向量积数学中的向量进阶：平面向量的数量积与向量积在数学中，向量是用来表示大小和方向的量。
我们可以在平面或者空间中使用向量进行各种数学运算和推导。
本文将重点介绍进阶的向量运算——数量积和向量积，并探讨它们在几何和物理学中的应用。
一、数量积数量积是指两个向量的乘积与夹角的余弦值的乘积。
即对于两个向量a和b，在数量积运算中，我们可以通过以下公式计算它们的结果：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a与向量b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 数量积为0时，a和b垂直：若a·b = 0，则a和b垂直。
3. 数量积为非零时，a和b夹角为锐角或钝角：若a·b ≠ 0，则a和b 夹角为锐角或钝角。
数量积在几何学中有广泛的应用。
例如，通过计算数量积可以判断两个向量是否垂直，或者计算两个向量之间的夹角。
在物理学中，数量积可以用来计算向量的投影和求解力的功率等问题。
二、向量积向量积是指两个向量的乘积得到的另一个向量。
在平面向量中，向量积只存在于三维空间中。
给定两个向量a和b，它们的向量积可以表示为c=a×b。
向量积的计算公式如下：c = a×b = |a| |b| sinθ n其中，c表示向量积的结果，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角，n表示两个向量构成的平面的法向量。
向量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：a×b = -b×a2. 结果为零时，a和b共线：若a×b = 0，则a和b共线。
3. 结果的模为两个向量之间的平行四边形的面积。
向量积在几何学和物理学中也有广泛的应用。
例如，在几何学中，向量积可以用来计算两个向量所构成平行四边形的面积。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
初中数学中的平面向量如何进行向量和差与数量积运算在初中数学中，平面向量是一个非常重要的概念。
平面向量可以用于表示和描述平面上的各种物理量，如位移、速度、力等。
而向量和差以及数量积是平面向量运算中的重要内容。
在本文中，我们将介绍初中数学中的平面向量如何进行向量和差与数量积运算。
一、向量和差的运算在平面向量中，向量和差的运算是指两个向量之间的加法和减法运算。
1. 向量的加法若有两个向量a和b，它们的和记作a+b。
向量的加法满足以下运算规律：- 交换律：a+b=b+a- 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2. 向量的减法若有两个向量a和b，它们的差记作a-b。
向量的减法可以通过向量的加法来实现，即a-b=a+(-b)，其中-b表示b的相反向量。
向量的减法满足以下运算规律：- a-a=0，其中0表示零向量，即长度为0的向量。
- a-0=a，其中0表示零向量。
二、数量积的运算在平面向量中，数量积也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
数量积的结果是一个实数。
1. 数量积的定义若有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b。
数量积的计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示a与b之间的夹角。
2. 数量积的性质数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 分配律：(k·a)·b = k(a·b)，其中k为实数- 零向量：a·0 = 0，其中0表示零向量- 零夹角：a·b = 0当且仅当a与b垂直三、向量和差与数量积的应用向量和差与数量积在几何和物理问题中有广泛的应用。
1. 向量和差的应用向量和差可以用于表示位移、速度、力等物理量。
例如，两个位移向量a和b的和a+b可以表示物体从起点到终点的总位移，而两个速度向量a和b的和a+b可以表示两个物体的合成速度。
求平面向量数量积的5种方法平面向量的数量积（也称为内积、点积或标量积）是两个向量的乘积，结果是一个标量（即一个数），代表了两个向量之间的相似度。
平面向量数量积可以通过多种方法进行计算。
本文将介绍五种常用方法，包括点乘法、分量法、向量夹角法、模长法和运算法。
一、点乘法点乘法是最常用的计算平面向量数量积的方法。
给定两个向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积记作A·B，计算公式如下：A·B=a1*b1+a2*b2二、分量法分量法是另一种常用的计算平面向量数量积的方法。
当向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)的夹角为θ时，它们的数量积可以用以下公式表示：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
三、向量夹角法向量夹角法是通过向量夹角公式直接计算平面向量数量积的方法。
若向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
四、模长法模长法是一种通过计算向量的模长与夹角的余弦值来求解平面向量数量积的方法。
若向量A的模长为，A，向量B的模长为，B，向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
五、运算法运算法是一种通过平面向量的加、减、乘、除等运算求解数量积的方法。
根据数量积的性质，有以下运算法则：-若A·B=0，则向量A与向量B相互垂直。
-若A·B>0，则向量A与向量B夹角小于90度，即为锐角。
-若A·B<0，则向量A与向量B夹角大于90度，即为钝角。
平面向量的数量积运算考点71 平面向量的数量积运算1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.【难易程度】简单 【参考答案】12【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB +，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴AC BE=221122ADAB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+-2111cos60122AB AD AB ︒=+-=，（步骤1）∴12AB =.（步骤2）jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________.【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t =【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝ta b ＋(1－t )|b |2.（步骤1）又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e ea b a b a a a b b2112π2611cos2653.222+⨯⨯⨯+===e e e4．(13福建T7)在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D．10【测量目标】向量的数量积运算.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵AC BD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD.（步骤1）又|AC|＝2+，|BD|＝22125(-)+=+=4216425|AC||BD|＝5.（步骤2）S四边形ABCD＝125.（13陕西T3）设a，b为向量，则“|a b|＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】若,a b a b若a，b中有零向量，显=然a∥b；（步骤1）若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a ba bcos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即=a b a b ⇒a ∥b .（步骤2） 若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴==a b a b a b a b，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒=a b a b ；（步骤4）综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）6．（13浙江T17）设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12e e =1×1×cos30°=32.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴222221223x xy y x xyy ==++=++b b e e （步骤3）∴22222221133311324x x x x xy yx x x xy y x y y y ====++⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭b故当x y =3-时，x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4）7.（13山东T15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且3, 2.==AB AC 若λ=+AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等【参考答案】712【试题解析】∵AP ＝AB λ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB ) (AC ＋AB λ)＝0.∴AC 2＋AB λAC －AB AC －AB λ2＝0，即4＋(λ－1)×32⨯×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.8．（12浙江T15）在ABC △中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ＝______________．Yxj 63【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】16- 【试题解析】设AMB θ∠=,则,AMC θ∠=π-又,AB MB MA =-,AC MC MA =-(步骤1)2()()AB AC MB MA MC MA MB MC MB MA MA MC MA ∴=--=--+，2553cos 35cos(θθ=--⨯-⨯π-)+9=-16故答案为16-.（步骤2） 9.（12重庆T6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)x y ===-a b c 且,⊥a c b c ，则+=a b ( )5 B.10 C.5 D.10【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】,240,2,x x ⊥∴=-==a c a c （步骤1） ,1(4)2,2,y y ∴⨯-==-c b （步骤2） (3,1),10.∴+=-∴+=a b a b （步骤3）10.(12新课标T13)已知向量a,b 夹角为45，且|a |=1，|2a -b |=10则|b |= .【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】32【试题解析】由题意得，222224444cos 45-=-+=-+a b a a b b a b b，则244cos451032-+=⇒=a b bb11.（11辽宁T10）若a ，b ，c 均为单位向量，且=a b ，()()--a c b c ，则||+-a b c 的最大值为( ) A.12- B.1C.2D.2【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】∵2()()0()0--⇒-++a c b c a b c a b c又∵,,a b c 为单位向量，且a b =0，∴()1+c a b ，（步骤1） 而222222()+-=+++-+a b ca b c a b c a b =32()321-+-=c a b .∴+-a b c 的最大值为1．（步骤2）12.（11江苏T10）已知12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量，12122k =-=+，，a e e b e e 若0=a b ，则k 的值为【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】54【试题解析】解：∵12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量 ∴1212=-ee （步骤1）∴1212(2)()k =-+a b e e e e=2211212222k k -+-ee e e e e=522k -（步骤2） ∵0=a b∴5202k -=（步骤3）解得54k = 故答案为：54（步骤4） 13．（11广东T3）若向量,a b,c 满足a b ∥且⊥a c ，则(2)c a +b = （ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵a b ∥且⊥a c ，∴(2)20=c a +b c a +c b =． 14.（11重庆T12）已知单位向量ije ,e 的夹角为60，则2_____ij-=e e．【测量目标】平面向量数量积. 【难易程度】容易. 3【试题解析】22i j -e e =2(2)i j-e e=2244ii j j -+ee e e=54cos60- =3 ∴23ij-=e e315.(11新课标T10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题其中的真命题是（ ）12:10,3p θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3p θπ⎛⎤+>⇔∈π ⎥⎝⎦a b3:10,3p θπ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3p θπ⎛⎤->⇔∈π ⎥⎝⎦a bA.14,p pB.13,p pC.23,p pD.24,p p【测量目标】不等式比较大小及平面向量的数量积运算.【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】222cos 22cos 1θθ+=++=+>a b a b a b 得，1cos 2θ>-，2π0,3θ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭，（步骤1）由222cos 22cos 1θθ-=+-=->a b a b a b 得1cos 2θ<π,π3θ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦， 选A（步骤2）16．(10重庆T2)已知向量a ，b 满足a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0 2 C. 4 D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】2-=a b 222(2)44822-=-+==a b a a b b 17.(10安徽T3)设向量11(1,0),(,)22==a b ，则下列结论中正确的是 （ ） A.||||=a b B.22=a b C.-与a b b 垂直D.a b【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】 由于a =（1，0），b =（21，21），那么|a |=1，|b |=22，选项A 错；（步骤1）a•b =1×21+0×21=21，选项B 错；（步骤2） （a －b ）•b =（21，－21）•（21，21）=21×21－21×21=0，即a －b 与b 垂直，选项C 正确；（步骤3）112≠210，选项D 错.（步骤4） 18.(10广东T10)若向量()1,1,x =a ,()1,2,1=b ，()1,1,1=c ,满足条件()()22-=-c a b ,则x = .【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算.【难易程度】容易 【参考答案】2 【试题解析】()0,0,1x -=-c a ，()()()()()220,0,11,2,1212x x -=-=-=-c a b解得2x =．19．（09福建T9）设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，⊥a c ，=a c ，则b c 的值一定等于 ( ) A ．以a ，b 为两边的三角形面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积【测量目标】平面向量的数量积运算，三角形面积．【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依题意可得cos(,)sin(,)S===b c b c b c b a a c ，故选C ．20.（09广东T16）已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中π(0,)2θ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若10πsin()102θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．【测量目标】平面向量的数量积运算和两角和与差的余弦.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵ 向量()sin ,2θ=-a 与()1cos θ，b =互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-=a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ②① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2）由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ.故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-<（步骤5）则()()2310cos 1sin ,θϕθϕ-=--=（步骤6）()()()2cos cos cos cos sin sin .2ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7）21.（09江苏T2）已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b .【测量目标】向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】3 【试题解析】3233==a b .22．（09江苏T15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【测量目标】向量的数量积运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-=a b c a b a c ，（步骤1）即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2） （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4）所以||+b c 的最大值为42.（步骤5） （3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=（步骤7） 所以a ∥b .（步骤8）23.（09全国Ⅰ T6）设a 、b 、c 是单位向量，且0=a b ，则()()--a c b c 的最小值为 （ ） A.2- B.22C.1-D.12【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】,,a b c 是单位向量 ()()()2∴--=-++a c b c a b a b c c ()112,12=-+=-<+>-a b c a b c 故选D.24.（09辽宁T3）平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b ( )3 B. 23C.4 D. 12【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】由已知2222,2444421cos60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a a b a a b b ,∴223+=a b 25.（09全国Ⅱ T6） 已知向量()2,1,10,||52=•=+=a a b a b ||=b （ ）A.5B. 10C.5D.25【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】222250||||2||520||=+=++=++a b a a b b b ，||5∴=b .故选C.26．（09重庆T7）设ABC △的三个内角,,A B C ，向量(3sin ,sin )A B =m ，(cos ,3cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】平面向量的数量积运算、两角和与差的正弦． 【难易程度】中等. 【参考答案】C 【试题解析】3sin cos 3cos sin 3sin()1cos()A B A B A B A B =+=+=++m n ，πA B C ++=，所以31cos C C=-即3cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．。
