平面向量的数量积及运算律经典练习题

平面向量的数量积及运算律同步练习一、选择题：1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )A.－６B.６C.３D.－３ 2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．34-3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．364．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ）A ．23B ．3C ．32D ．215．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．48．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1211．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,20,||πθ<<b a 则θ为（ ）A ．4π B ．6π C ．3π D ．3π或6π12．在ABC ∆中，5||,3||,415,0,,===<∙==∆S ABC ，则,夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 65π D. 32π二、填空题13.命题①若b ≠0，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2；正确命题的个数为____14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 15.向量c b a ,,满足0=++c b a ，且4||,1||,3||===c b a ，则a c c b b a ∙+∙+∙＝16．设))34sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝三、计算题17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o;(2)a ∥b ;(3)a ⊥b .18.已知()2,1-=，()m ,3=，若⊥，若∥，分别求出m 值。

专题二 平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°．(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0．投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θb |b |＝(a ·b )b |b |2． (2)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．3．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2．考点一 求平面向量数量积【方法总结】平面向量数量积的两种求法(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0答案 B 解析 a·(2a －b )＝2|a|2－a·b ＝2×1－(－1)＝3．(2)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172答案 D 解析 由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172． (3)如图，已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且|AB →－AC →|＝23，|AB →＋AC →|＝26，点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·BD →＝________．答案 －3 解析 由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0得BC →与∠A 的平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →．又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝|AB →||BD →|cos(π－B )＝AD 2＋BD 2·3·(－cos B )＝33×(－33)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B 解析 由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2．因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C 解析 连接OA ．在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON→－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．(6)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A ．16B ．12C ．8D ．－4答案 A 解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3)．设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA→＝________．答案 4 解析 由题意可建立如图所示的坐标系．可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB→＋CP →·CA →＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．(8)如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－12答案 B 解析 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3 OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116． 法二：以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0，1)，B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP →＝⎝⎛⎭⎫12，14，AP →＝⎝⎛⎭⎫12，－34，故AP →·OP →＝12×12－34×14＝116．(9)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案 1 解析 因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1． (10)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝________．答案 5 解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →．(AB→＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5．(11)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，DC ＝2，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，若向量AB →与DC →的夹角为60°，则AB →·EF →的值为________．答案 7 解析 EF →＝EA →＋AB →＋BF → ①，EF →＝ED →＋DC →＋CF → ②，由AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，有2EA →＋ED →＝0，，2BF →＋CF →＝0，，①×2＋②得2AB →＋DC →＝3EF →，所以EF →＝23AB →＋13DC →，则AB →·EF →＝AB →·(23AB →＋13DC →)＝23AB →2＋13AB →·DC →＝23×32＋13×3×2cos 60°＝7． (12)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD →·BC →＝m ，AC →·BD →＝n ．若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1答案 D 解析 AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(－AB →＋AD →)＝－AB →2＋AB →·AD →－AB →·BC →＋AD →·BC →＝－AB →2＋AB →·(AD →－BC →)＋m ＝－AB →2＋AB →·(AB →＋BC →＋CD →－BC →)＋m ＝AB →·CD →＋m ．又EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF →＝AB →＋DC →，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB →·DC →，所以AB →·DC →＝－12，则AB →·CD →＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D ． (13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ．记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C 解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3．∴I 3<I 1<I 2．(14)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4答案 C 解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝⎛⎭⎫－12－12×4＝－3．【对点训练】1．已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________．2．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．24．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6B ．10C ．5D ．105．(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．56．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记m i ＝AB 2→·AP i → (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．180B ．603C ．45D ．1538．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C ．23D ．329．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________．10．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________．11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．26912．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A ．23B ．32C ．33D ．3 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．15．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．616．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是 ( )A ．112B ．132C ．6D ．7 17．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________．18．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________．20．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．3C ．2D ．2321．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．1222．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．623．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________． 25．在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO →·AE → ＝8，则AC →·BD →＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－32327．设△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，若P A →＋PB →＝CP →，则P A →·PB →＝( )A ．－92B ．－32C ．3D ．9 28．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →＝( )A ．1B ．2C ．tD ．2t考点二 已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若BQ ·CP ＝－2，则λ等于( )A ．13B ．23C ．43D ．2 答案 B 解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB→2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23． (2)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( ) A ．12 B ．1±22 C ．1±102 D ．－3±222答案 A 解析 ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12． (3)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF ．若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B 解析 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝(12BC →－BA →)(BC →＋1λBA →)＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B ． (4)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．13 D ．－13答案 A 解析 法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →) ·(BP →－BC →)＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →]＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x ，0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP →＝λAB →，∴λ＝12．故选A ． (5)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C 解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．(6)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形答案 C 解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB→|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形． (7)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形答案 C 解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．(8)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6．则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A ．23 B ．－23 C ．56 D ．－56答案 B 解析 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23． 考点三 平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．答案 1＋2 解析 依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．答案 12解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ．即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．∴a ·b 的最大值为12． (3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1 答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ． 方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ． (4)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．∴PB →·PC →的最大值等于13．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 另解：设圆心为O ，AB 的中点为D ，由题得AB ＝2×2×sin π6＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由题得⎩⎪⎨⎪⎧P A →＋PC →＝2PM →，PC →－P A →＝AC →，两方程平方相减并化简得PC →·P A →＝PM →2－14AC →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132 解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．在四边形ABCD 中，作AO⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． (7) (2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2，6) B ．(－6，2) C ．(－2，4) D ．(－4，6)答案 A 解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1<x <3．所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)．另解 AB →的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB →的取值范围是(－2，6)，故选A ．(8)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92 解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO→|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC→|＝32时，等号成立，故最小值为－92． 【对点训练】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．252．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且 满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2B ．⎝⎛⎭⎫32，2C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 3．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则ME →·MC →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤716，12B ．⎣⎡⎦⎤716，1C ．⎣⎡⎦⎤12，1 D ．[0，1] 4．在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．5．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－726．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边， 在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC →·OB →的取值范围是________．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大 值为________．8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．[]0，1 9．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ， AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE →·CD →的取值范围为________．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．11．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．12．如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，1B ．⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1，1] D ．[－1，0]13．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－13214．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．15．设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( )A ．1＋2B ．1－2C ．2－1D ．116．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．。

综合算式专项练习题平面向量的数量积与向量积综合算式专项练习题：平面向量的数量积与向量积一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点乘或内积，是两个向量之间的一种运算。

设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A•A。

其计算公式如下：A•A = |A| * |A| * cos(A)其中，|A|表示向量A的模或长度，|A|表示向量A的模或长度，A表示向量A和A之间的夹角。

数量积的几何意义是，向量的数量积等于它们的模的乘积与夹角的余弦值的乘积。

通过计算数量积，我们可以了解到两个向量之间的夹角大小及其正负关系。

二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉乘或外积，是两个向量之间的一种运算。

设有两个平面向量A和A，它们的向量积记作A×A。

其计算公式如下：A×A = |A| * |A| * sin(A) * A其中，|A|表示向量A的模或长度，|A|表示向量A的模或长度，A表示向量A和A之间的夹角，A表示单位法向量。

向量积的几何意义是，向量的向量积等于它们的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，并且结果是一个垂直于这两个向量所在平面的向量。

向量积的模表示两个向量所在平行四边形的面积。

三、综合算式练习题下面是一些综合算式练习题，旨在帮助你巩固平面向量的数量积与向量积的概念和计算方法。

1. 已知A = 3A + 2A，A= −2A + A，计算A•A和A×A的结果。

2. 已知A = 2A− 4A，A = 5A + 3A，计算A•A和A×A的结果，并判断向量A和A是否垂直。

3. 已知A = AA + AA，A = A− A，若A•A = 6，且A与A的夹角为30°，求A和A的值。

- 以上仅为示例题目，你可以通过类似的题目进行练习，掌握平面向量的数量积与向量积的运算方法及其几何意义。

在解答问题时，记得先求解向量的模或长度，然后计算夹角的余弦或正弦值，并根据公式得出结果。

如果有需要，可以引入平面解析几何的知识来辅助计算。

平面向量的数量积及运算律年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共15题，题分合计75分)1.对任意向量a､b,|a|·|b|与a·b的大小关系是A.|a|·|b|<a·bB.|a|·|b|>a·bC.|a|·|b|≥a·bD.两者大小不确定2.设|a|=12,|b|=9,a·b=-542,则a与b的夹角θ为A.45°B.135°C.60°D.120°3.边长为2的正三角形ABC中,设=c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c+c·a等于B.-34.a、b是非零向量，a·b=|a||b|是a、b共线的A.B .必要非充C. D.既不必要也不充分条件5.已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是A.60B.30C.135D.４５°6.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为A.2 B .23C.6D.127.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知a 、b 为两个单位向量，下列四个命题正确的是A.a =b B .a ·b =0 C.|a ·b | D.a ２＝b ２9.若|a |=2,|b |=21,a 与b 的夹角为60°,则a ·b 等于 A.21 B.41C.1D.210.已知△ABC ，=a ,=b ，当a ·b ＜０时，△ABC 为A. B. C. D.等腰直角三角形11.下列叙述不正确的是A. B .C.向量的数量积满足结合律D.a ·b 是一个实数12.设向量a 和b 的长度分别为4和3,夹角是60°,则|a +b |等于A.37B.13C.37D.1313.有四个式子:①b ·a =0;②0·a =0;③0;=-④|a ·b |=|a |·|b |,其中正确的个数为A.4个B.3个C.2个D.1个14.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于A.72 B .-72 C.36 D.-3615.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为A. B.C.夹角为3πD.不平行也不垂直二、填空题(共13题，题分合计52分)1.设a +b =2i －8j ，a －b =－8i +16j ,那么a ·b = .2.已知a 、b 的同向单位向量分别为a ０、ｂ０，向量a 、b 的夹角为32π，则a ０·ｂ０＝__________.3.若a ∥b ，则a ·b = .4.在△ABC 中，已知|AB =||=4，且AB ·=8，这个三角形的形状为 .5.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= .6.对任意向量a 、b ，|a ·b |与|a ||b |的大小关系为 .7.已知|a |=6,e 为单位向量，它们之间的夹角为45°，则a 在e 方向上的投影为 .8.在△ABC 中，a =5,b =8,C =60°，则·= . 9.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 10.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=,|a -b |= . 11.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .12.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .13.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝ .三、解答题(共32题，题分合计339分)1.已知|a |=6,|b |=8,且a ∥b ，求a ·b .2.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b (2)a ２－ｂ2（3）(2a -b )·(a +3b )3.已知一个平行四边形的三个顶点分别为( 3,-2)、（5,2）和（-1，4）求它的第四个顶点的坐标.4.a 与b 为两个不共线的向量，AB =2a +k b ，CB =a +3b ，CD =2a -b，若CD AB // 求k的值.5.在△OAB 中，记OA =a ，OB =b ，M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =λa ，ON =μb（)1,0(,∈μλ），记AN 与BN 的交点为P ，试用a 与b表示.6.设|a |=2sin 24π，|b |=4cos 24π，a 与b 的夹角为12π，求a ·b 的值.7.设a 是非零向量，且b ≠c ，求证：a ·b =a ·c 的充要条件是a ⊥(b -c ) 8.求证：直径上的圆周角为直角已知：如下图所示，AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 是圆周角 求证：∠ABC =90°.9.已知（a +b ）⊥(2a －b ),(a －2b )⊥(2a +b )，求a 、b 的夹角的余弦值.10.已知：|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为6π求：(1)a ·b (2)a ２(3)b ２11.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a ､b 的夹角为60°,求|a +b |; (3)若a -b 与a 垂直,求a 与b 的夹角12.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 13.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.14.已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角. 15.已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足2OA+2BC=2OB+2CA=2OC+2AB，求证：O 是△ABC 的垂心.16.非零向量1l 与2l 不共线，若AB =21l +32l , BC =61l +232l ,CD =41l -82l，则A 、B 、D 三点共线.17.用向量的方法证明：三角形三中线交于一点，且此点与各顶点的距离等于相应中线长的32.18.已知三点：A (2,1),B (3,4)，C (1,4) ，P 为平面内一点是P A +PB +PC =O 求P 点坐标.19.在四边形ABC D 中，E ，F 分别为对角线AC 、B D 的中点，记AB =a ，BC =b ，C D=c。