北京四中数学必修四平面向量应用举例提高版

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精校版 平面向量应用举例

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。

【要点梳理】

要点一：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//abab（或x1y2－x2y1=0）。

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0abab（或x1x2+y1y2=0）。

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos||||abab。

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。

要点诠释：

用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。 高中数学-打印版

精校版 常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。

（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。

（4）夹角问题：利用公式cos||||abab。

要点三：向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。

【典型例题】

类型一：向量在平面几何中的应用

例1．如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P。求证：BP⊥CD。

【思路点拨】将向量BP和CD用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成0BPCD的问题。

【解析】设PDCD，正三角形ABC的边长为a， 高中数学-打印版

精校版 则1211(21)3333PAPDDACDBABABCBABABC。

又13EABABC，//PAEA，∴PAkEA。

∴11(21)33BABCkBAkBC。

于是有1(21)313kk，解得1737k。

∴17PDCD，37PAEA，

∴33()77BPBAAPBAAEBAABBE434314777737BABEBABCBC，

23CDBABC，

从而2221428110cos60077321721BPCDBCBABABCaaa，即BPCD，

故BP⊥CD。

【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解，如本题便是将向量BP，CD由基底BA，BC线性表示。当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知。

举一反三：

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例3】

【变式1】平面内△ABC及一点O满足AOABBOBA，BOBCCOCB，则点O是△ABC的（ ）

A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心

【答案】D 高中数学-打印版

精校版 【高清课堂：平面向量的应用举例395486

例4】

【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________；DEDC的最大值为________.

【答案】1 1

【解析】||||cos,DECBDEDADEDADEDA=2||||||DADADA=1

||||cos,DEDCDEDCDEDC

=||||cosDEDCEDC42EDC

=||cosDEEDC

=||DF （F是E点在DC上的投影）

1

当F与C点重合时，上式取到等号。

例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。

求证：AF=AE。

【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量AE和AF，证明||AE=||AF。

【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则(,1)BExy，(1,1)AC。

因为BE∥AC，即//BEAC，所以x+y―1=0。

又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。

由222010xyxy，得132132xy，即1313,22E。

又设F（x＇，1），由(',1)CFx和1313,22CE共线， 高中数学-打印版

精校版 得1313'022x，解得'23x，

所以(23,1)F。

所以(13,0)AF，3313,22AE。

所以223313||13||22AEAF。

所以AF=AE。

【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。

举一反三：

类型二：向量在解析几何中的应用

例3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且11022PCPQPCPQ，求动点P的轨迹方程。

【思路点拨】设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程。

【答案】2211612xy

【解析】设P,xy，则(8,)Qy

由11022PCPQPCPQ

得：221||||04PCPQ

即22212(8)04xyx

化简得2211612xy。

【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。 高中数学-打印版

精校版 举一反三：

【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。

（1）求直线DE、EF、FD的方程；

（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。

【答案】（1）x―y+2=0 x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0

【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），

设M（x，y）是直线DE上任意一点，

则//DMDE。(1,1)DMxy，(2,2)DE。

∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，

即x―y+2=0为直线DE的方程。

同理可求，直线EF，FD的方程分别为

x+5y+8=0，x+y=0。

（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则CNAB。

∴0CNAB。又(6,2)CNxy，(4,4)AB。

∴4(x+6)+4(y―2)=0，

即x+y+4=0为所求直线CH的方程。

【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。

（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。

类型三：向量在物理学中“功”的应用

例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）

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【答案】5003 ―22

【解析】 设木块的位移为s，

则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×350032（J）。

F在竖直方向上的分力的大小为11||||sin305025(N)2FF。

则1(||)0.02(81025)1.1fmgF（N）。

则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。

即F与f所做的功分别是5003J与―22 J。

【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。

举一反三：

【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，

（1）F1，F2分别对质点做的功；

（2）F1，F2的合力对质点做的功。

【答案】（1）―28，23；（2）―5

【解析】(7,0)(20,15)(13,15)AB。

（1）F1做的功111(1,1)(13,15)131528WFsFAB，

F2做的功222(4,5)(13,15)4(13)(5)(15)755223WFsFAB。

（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。

类型四：向量在力学中的应用

例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别