必修四2-5-1~2平面向量应用举例

2.5 平面向量应用举例知识梳理一、向量在平面几何中的应用平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题.对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点.对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.对于求直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与直线l 2:A 2x+B 2y+C 2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l 1、l 2分别平行的向量m =(-B 1,A 1)，n =(-B 2,A 2)，设向量m 、n 的夹角为θ，则cosθ=212121212121||||B A B A B B A A n m n m +∙++=∙,当cosθ＜0时，直线l 1、l 2的夹角等于π-θ；当cosθ≥0时，直线l 1、l 2的夹角等于θ.二、向量在物理中的应用力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量. 知识导学要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：(1)建模,把物理问题转化为数学问题；(2)解模,解答得到的数学问题；(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.疑难突破1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题. 剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M 是对角线AC 、BD 的交点.设AB =a ,AD =b . 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.由向量加法法则AM +MB =a +AM +MD =b .故2AM +MB +MD =a +b .另外, AM +MC =a +b .两式相减得AM -MC +MB +MD =0. 因为-与共线, +与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使AM-MC=λAC,MB+MD=μBD.∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,即-=+=0.∴=,=.第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？剖析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；（3）动量mv是数乘向量；（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题.其基本思路和方法为何？剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.。

1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法
则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向
a∥b⇔a＝λb(或 x1y2－x2y1＝0) 量平行(共线)的条件：___________________________.
新课标导学
数 学
必修④ ·人教A版
第二章
平面向量
2.5 平面向量应用举例
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
英国科学家赫胥黎应邀到都柏林演讲，由于时间紧迫，他一跳上出租车， 就急着说：“快！快！来不及了！”司机遵照指示，猛开了好几分钟，赫胥黎 才发现不太对劲，问道：“我没有说要去哪里吗？”司机回答：“没有啊！你 只叫我快开啊！”赫胥黎于是说：“对不起，请掉头，我要去都柏林．”由此 可见，速度不仅有大小，而且有方向．在我们的生活中，有太多的事物不仅与 表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角
形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不 同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下， 可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力 ． _____________________________________________ (2)速度向量 速 度 向 量 是 具 有 大 小 和 方 向 的 向 量 ， 因 而

平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。 如图，平行四边形两条对角线的长度与
两条邻边长度之间的关系吗？
猜想：DC1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类uu比ur 猜u想uur，平uu行ur 四边形uuu有r 相u似uu关r 系u吗uur？
AC2
BD2
2
ab
2
a b
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 常设基底向量或建立向量坐标。
0
解得：n= m = 1
A
B
3
uuur 所以AR
1
uuur
uuur
AC ,同理TC
1
uuur
uuur
AC ,于是RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
C
r
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
b
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
m(ar
1
r b
)
D
F
C
uuur uuur uuu2r E 因为 AR AE ER

1 2
b)．
因此n(a＋b)＝
1 2
b＋m(a－
1b)，
2
即(n－m)a＋(n＋ m 1 )b＝0．
2
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
nm0
由解于 得向n＝量ma＝、13b不．共所线以，AR要＝使13上A式C ．为0，必须n
m 1 2
0
同理 TC
＝1
3
AC ．于是 RT
＝1
3
AC
．
所以AR＝RT＝TC．
例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°， 作AE⊥BD交BC于E，求 BE 的值．
EC
【解题过程】
方法一：(基向量法)
设 BA ＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2．
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，BD ＝a＋b．
设BE ＝λBC ＝λb，则 AE ＝BE － BA＝λb－a．
4
即
，得m＝
4 5
，∴
BE EC
5 6
2 3
．
5
【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是
选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，
求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得
几何命题的证明．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
知识梳理
（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系．
（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题 转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把 所得的数学结论回归到物理问题．