初中数学拔高九年级 专题19 与圆有关的角(含答案)
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专题19 与圆有关的角
阅读与思考
与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供
相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的
位置关系.
角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三
角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________. （海南省竞赛题）
D
ECBA
O
D
MO
BA
C
例1题图 例2题图
解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.
【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是»BC的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB的
长是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．3
解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.
【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，
∠DCE是直角，点D在线段AC上.
(1) 证明：B，C，E三点共线；
(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM； (3) 将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，
N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由. 解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.
【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，
∠BAE＝∠DAC. 求证：(1)△ABE∽△ACD；
(2) AB·DC＋AD·BC＝AC·BD. （陕西省竞赛试题）
解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.
【例5】如图1，已知⊙M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－
2,0），B（0，4），AB＝BC.
(1) 求圆心M的坐标；
(2) 求四边形ABCD的面积；
(3) 如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.
解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC＝BE，得∠
BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.
xy
xy
EC
DMB
AOC
D
MB
AO
F
COOED
M1E1D1A
BN
MA
BCN1
图1 图2
OA
BCD
E
【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.
求证：(1) ∠CAD＝2∠DBE；
(2) AD2－AB2＝BD·DC. （浙江省竞赛试题）
解题思路：对于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝ (AD＋AE)(AD－AE)＝ (AD＋AE) ·DE，需证(AD
＋AE) ·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.
O
EAB
DC
能力训练
A 级
1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x
的取值范围是________.
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF
的长为________.
x
第3题图
第2题图第1
题图PBF
DC
OAOBOBAC
PGE
A
DC
3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD
的长为________.
4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知AB＝BC，CD＝12BD＝1.设AD＝x，用x
的代数式表示PA与PC的积：PA·PC＝__________. （宁波市中考试题）
5.如图，ADBC是⊙O的内接四边形，AB为直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝( )
A．50 B．32 C．52 D．42
O
ABCD
OAB
DC
GO
BA
C
ED
第4题图 第5题图 第6题图
6.如图，在△ABC中，AD是高，△ABC 的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2＝
BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（哈尔滨市中考试题）
7.如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧»BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB
＋PC；②111
APPBPC；③PA·PE＝PB·PC.其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，∠M＝20°，∠
N＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．35° B．60° C．65° D．70°
EOA
BCP
CB
DO
MN
A
EOABC
D
第7题图 第8题图 第9题图
9. 如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于点E.
求证：(1) ADDE
BDAD；
(2) AD·CD－AE·EC＝DE2； （扬州市中考试题）
10. 如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2＝AE•AC，BD
＝8，求△ABD的面积. （黑龙江省中考试题）
EOCB
AD
