初中数学拔高九年级 专题04 根与系数关系(含答案)

根与系数的四种考法【知识点精讲】根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程a x 2+b x+c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．类型一、整体代换求值【答案】/【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，∴， 故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌【答案】【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式进行计算即可．【详解】解：根据题意得，，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两4-0.25-122x x +=128x x =-122x x +=128x x =-121214x x x x +=-14-2x x 12b x x +=-12cx x =41232x x +=121x x =-1232x x +=121x x =-()2221212122x x x x x x +=+-()23212æö=-´-ç÷èø1741741x 2x ()200ax bx c a ++=¹z根，则有，．例3．已知是方程的两个实数根，则的值是 ．【答案】【分析】利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入计算即可．【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，∴把代入方程得：， 可得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．【分析】首先得到代数式 x1x2=1， x12−2021x1=-1，然后整体代入求值． 【详解】解：∵ x2−2021x+1=0 的两根分别为 x1，x2，∴有 x1x2=1， x12−2021x1=-1，∴原式=，故答案为-1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解决问题的关键．【变式训练1】已知关于x 的方程有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m 的值． 【答案】(1) (2)【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关12b x x a +=-12cx x a =a b ，230x x +-=23a b --1a b +x a =23a b --a b ，230x x +-=1a b +=-x a =230x x +-=230a a +-=23a a =-()23331a b a b a b --=---=-+=122121112202120211x x x x x x -=-=-220x x m ++=1x 2x 21212(1)2()0x x x x -++=1m <1m =-0D >m 1x 2x 2221212()7x x x x ++=2230m m +-=于的方程求得答案．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．，即；（2）解：由根与系数的关系可知：，，，，解得或， 而， 的值为．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．【变式训练2】已知，是方程的两个根，则代数的值为 ． 【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，原式=． 故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．类型二、降幂思想求值例．若，是方程的两根，则 ．【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得，，则，，代入代数式即可求解．m !x 220x x m ++=\2242410b ac m D =-=-´´>1m <122x x +=-12x x m ×=!21212(1)2()0x x x x -++=2(1)40m \--=12\-=±m 3m =1m =-1m <m \1-0D >Û1x 2x 20x px q ++=12x x p +=-12x x q =a b 230x x --=222a b a ab +++822133030a b ab b b a a +==---=--=，，，22133030a b ab b b a a +==---=--=，，，23b b =+23a a =+3263a b a =++++-2()6a b =++216=´+88a b 2340x x +-=3103a a b -+=21-2340a a +-=3a b +=-32340a a a +-=234+=a a【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴，， 即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式训练1】设方程的两个根是，则的取值是 .【答案】-42【分析】根据一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系得到x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1，再化简求得x15=5x1-3，x23=2x2-1，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵方程x2=-x+1的两个根是x1，x2， ∴x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1， ∴x15=(x12)2・x1=(1-x1) 2・x1=(1-2x1+ x12)・x1=(1-2x1+1-x1)・x1=(2-3x1)・x1=2x1-3x12=2x1-3(1-x1)=5x1-3， x23= x22・x2=(1-x2)・ x2=x2- x22=x2-(1-x2)=2x2-1， ∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+ x2)-22=20(-1)-22=-42．故答案为：-42．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．【变式训练2】已知，是方程的两个实数根，则【答案】【分析】，是方程的两个实数根，可得再把降次化为，从而可得答案.【详解】解： ，是方程的两个实数根，a b 2340x x +-=2340a a +-=3a b +=-32340a a a +-=234+=a a 3243a a a =-3103a a b -+243103a a a b =--+23933a a a b =--++()()2333a a a b =-+++343321=-´-´=-21-21x x =-+12,x x 5312410x x +´12b x x a +=-12cx x a =a b 2310x x +-=32310a b -=109-a b 2310x x +-=22+3,1,=3+1,31,a b ab a a b b =-=--=-+32310a b -()3019a b +-!a b 2310x x +-=22+3,1,=3+1,31,a b ab a a b b \=-=--=-+()()323103311031a b a a b \-=-+--+故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.【变式训练3】设a 、b 是方程的两实数根，则 ．【答案】2022【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得．【详解】解：是的两实数根，，，，，，则，故答案为：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．类型三、构造方程化简求值【答案】或【分析】实数、满足等式，，①当时，，可能是方程的同一个根，两数相等；②当a≠b 时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．2933010a a b =-++-()93133010a a b =--+++-3093010a b =-+-()()301930319109.a b =+-=喘-=-109-220210x x --=320222021a b +-=220210a a --=22021a a =+22021a a -=1a b +=1b a =-,a b !220210x x --=220210a a \--=111a b -+=-=22021a a \=+22021a a -=1b a =-33202220212022(1)2021a b a a +-=+--3202220222021a a =+--2(2022)1a a =-+2021(2022)1a a =+-+21a a =-+20211=+2022=a b 2310a a --=2310b b --=a b =a b 2310x x --=3a b +=1ab =-z 【详解】解：①当时，原式． ②当时，可以把，看作是方程的两个根．由根与系数的关系，得，．∴．故本题答案为：或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“”的情况．【答案】/【分析】根据已知判断出m ，n 是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数，满足等式，，∴m ，n 是方程的两实数根，∴，，∴， 故答案为：．【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m ，n 是方程的两实数根是解题的关键．【答案】【分析】由题意可知，分别是方程的两个实数根，可得．，据此即可求解．【详解】解：，，，，，分别是方程的两个实数根，，，a b ==b a a b +112=+=a b ¹a b 2310x x --=3a b +=1ab =-b a a b +=()2292111a b ab ab +-+==--211-a b =2-0.5-220x x --=m ()n m n ¹220m m --=220n n --=220x x --=1m n +=mn 2=-111122m n m nmn ++===--12-220x x --=4-a b 240t t +-=1a b +=-4ab =-224a a b b +=+=!24a a \+=24b b +=a b ¹a \b 240t t +-=1a b \+=-4ab =-， 故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．类型四、求参数值（易错点）例．已知关于的一元二次方程有两个不相等．．．．．的实数根，且，则实数 ．【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得， ∵，，∴，解得（不合题意，舍去），∴ 故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程的实数根，满足，则m 的取值范围是 ．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m 的不等式组，通过解该不等式组，求得m 的取值范围．【详解】解：由题意得：， 所以，\()()()22222124944a b ab b a a b a bab ab +-=---´-++===-94-x 22220x mx m m ++-+=12122x x x x ++×=m =22220x mx m m ++-+=212122,2x x m x x m m +=-=-+12122x x x x ++×=m x 22220x mx m m ++-+=()()22242480m m m m D =--+=->m>2212122,2x x m x x m m +=-=-+12122x x x x ++×=2222m m m -+-+=123,0m m ==3m =2410x x m -+-=12,x x 121235x x x x -->45m <£12124,1x x x x m +==-121233(1)4x x x x m --=´--依题意得：，解得4＜m≤5． 故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m 的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0）①当b2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式训练2】若，是方程的两个根，且，则m 的值为 ． 【答案】3【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而即可确定m 的值，此题得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，， ∵，∴，∴，，∵方程有两个实数根，∴，解得：， ∴， 故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m 的一元二次方程是解题的关键．【变式训练3】关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是 ．【答案】 【分析】根据题意可得出，，整体代入，即2(4)4(1)03(1)45m m ì---³í´-->î1x 2x 22210x mx m m -+--=121211x x x x +=-121211x x x x +=-1x 2x 22210x mx m m -+--=122x x m +=2121x x m m =--121211x x x x +=-22)111(m m m -=--13m =24m =-22210x mx m m -+--=2224144()()0m m m m D =----=+³1m ³-3m =121211x x x x +=-x 2410x x m -+-=1x 2x 21112432x x x x -+>m 25<£m 211410x x m -+-=121x x m =-21112432x x x x -+>可求出．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式，可求出，最后取其公共解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根是，，∴，， ∴，∴．∵，∴，解得：．∵该方程有两个实数根，∴，解得：，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．课后训练【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m 的方程，解方程后代入检验即可．【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a 和b ， ∴，∵，∴，∴，检验：均为该方程的解； ∵，m>20D ³5m £x 2410x x m -+-=1x 2x211410x x m -+-=12111c m x x m a -===-21141x x m -=-()211124313122x x x x m m m -+=-+-=-21112432x x x x -+>222m ->m>2()()2244410b ac m D =-=---³5m £25<£m 25<£m 20(0)ax bx c a ++=¹24b ac D =-0D >Δ0=Δ0<12b x x a +=-12cx x a ×=()2212a b m ab m +=+=+，D ()2212a b m ab m +=+=+，111a ba b ab ++==()22112m m +=+1202m m ==，1202m m ==，0D ³z∴不成立， ∴， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．2．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，， ∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a ＜0，b ＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a ，b 是方程的两个根，∴，， ∴a ＜0，b ＜0，∴0m =2m =1x 2x 2210x x +-=1212x x x x+-×=1-12x x +12x x ×1x2x 2210x x +-=122x x +=-121x x ×=-()1212211x x x x +-=---=-1-()200ax bx c a ++=¹12b x x a +=-12cx x a ×=6a b +=-4ab =2)2)a b abab +-+=14=-2640x x ++=6a b +=-4ab =222)))2)b a a b b aa b a b aba b abab +=--=++=+-=z ∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b 的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，即可求解．【详解】解：方程的两根分别为，，， ，，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，那么，．【答案】【分析】先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得，，所以． 故答案为：．2(6)2427144--´=´=-´=-112202310x x -+=11220231x x -=-121x x ×=211122023x x x x -×!2202310x x -+=12,x x \121x x ×=112202310x x -+=\11220231x x -=-\222111112122023202320231x x x x x x x x -=-=-=-×1-()200ax bx c a ++=¹12,x x 12cx x a ×=12b x x a +=-32123x x +=122x x =12121211x x x x x x ++=123x x +=122x x =1212121132x x x x x x ++==32z m【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．【答案】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得，，再利用完全平方公式可得，结合【详解】解：∵关于的二次方程的两个实根为和，∴，，∴，∵∴，∴， ∴，∴． 故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题的关键是牢记当一元二次方程有两个实数根时，，． 7．已知是方程的两根，则= ． 【答案】【分析】先由根与系数的关系结合方程的解可得可得再整体代入求值即可．【详解】解：∵是方程的两根，∴ ∴∴∴12x x ，()200ax bx c a ++=¹1212,b cx x x x a a +=-=12x x p +=-122x x ×=()()22121221248x x x x x p x -=-+-=12x x -=x 220x px ++=1x 2x 12x x p +=-122x x ×=()()22121221248x x x x x p x -=-+-=12x x -=()2128x x-=288p -=216p =4p =±4±()200ax bx c a ++=¹12b x x a +=-12cx x a ×=m n ，2210x x +-=3536m n nm +-+3-22,1,210,m n mn m m +=-=-+-=()32221225,m m m m m m =-+=--+=-+m n ，2210x x +-=22,1,210,m n mn m m +=-=-+-=23212,2,m m m m m =-=-()32221225,m m m m m m =-+=--+=-+3536m n nm +-+，故答案为：.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，掌握“利用解的含义与根与系数的关系构建整体代入”是解本题的关键．8．如果一元二次方程的两个根为，，则 ．【答案】【分析】将代入方程可得，利用一元二次方程根与系数的关系求得和的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可；【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，由一元二次方程根与系数的关系可得：，，∵，∴， 故答案为：．【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【分析】由题意易得，则有是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵， 2553+6m n mn =-++-()53+4m n mn =+-()()5231+4=´--´-103+4=-+3=-3-2320x x +-=1x 2x 32111223+2=x x x x x +-4-1x 21132x x +=()12x x +12x x 1x 2320x x +-=211320x x +-=21132x x +=123x x +=-122x x =-()322111221111223232x x x x x x x x x x x +-+=+-+()()()32111221122121232222=2×32=4x x x x x x x x x x x x x ----+-+=-+=+-4-()200ax bx c a ++=¹1x 2x 12bx x a +=-12c x x a =221410b b +×+=1,a b 22410x x ++=20,420b b b ¹++=∴，∵，∴是方程的两个根，∴，∴；故答案为3．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．221410b b +×+=22410a a ++=1,a b 22410x x ++=14112,22a a b b +=-=-×=()22222221111122232a b a a a b b b b +æö=+=+-×=--´=ç÷èø。

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

10．已知关于 x 的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0． （1）请你选取一个合适的整数 m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根； （2）当 m＞0，且 m2-2m＜0 时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于 m 的一元二次方程 2x2+mx-1=0． （1）判定方程根的情况； （2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 -1 且小于
b a a b
3 ，那么它的另一个根是为
3
是关于 x 的方程 x2-4x+c=0 的一个根，则 c 的值是
7．已知关于 x 的方程 2x2-mx-6=0 的一个根 2，则 m=
，另一个根为
8．若 x1，x2 是方程 3x2-|x|-4=0 的两根，则
x1 x 2 1 的值 x1 x 2
9．方程 x2-3x+1=0 中的两根分别为 a 、b，则代数式 a 2-4 a -b 的值为
2
2
18．已知 x1，x2 是方程 x2-2x-2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值： （1）
2 2 x1 x 2
；
（2）
1 1 x1 x 2
19． 已知关于 x 的方程 x
2
x2 的积是两根和的两倍， ①求 m 的值； (2m 3) x m 2 6 0 的两根 ，求 a b 的值．
23．要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 30%， 试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由 20 元降到 5 元，已知降价前该产品的利润率是 25%，解答下列问 题： （1）求这种电热器的进价； （2）求经过两次降价后的售价； （3）求每次降价的平均降价率？（精确到 1%）

专题 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴Q 是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a的最小值为(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12cx x a =，由0=，得0b ca a +=，)12120x x x ++=，解得2x =假设2x ，由10x ＜推得3-不成立，故2x 假设21x ≥，1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所述21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c=++=-++=，()1f a b c a a c⎤=++=-⎦．若a＞0，0c＜，则0f＜，()10f＞；若a＜0，0c＞，则0f＞，()10f＜．∴0ac＜时，总有()10f f.＜，故原方程必1之间．A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤183提示：12x-＞，22x-＞与124x x+-＞，124x x⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n na b n+=+，22n na b n⋅=-，则()()()2221n na b n n--=-+，则()()211112221na b n n⎛⎫=--⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m∆-+＞（2）2124mx x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）43k-＞且0k≠（2）存在k=4 11．由题意得2m n=，224840n m n--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.x x mnx x m n+=⎧⎨=+⎩∵m，n，1x，2x均为正整数，设121x x≥≥，1m n≥≥，则()1212x x x x mn m n+-=-+，即有()()()()1211112x x m n--+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x xm n⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m mn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩B级1．0 提示：由条件得21130x x+-=，22230x x+-=，∴2113x x=-，2223x x=-，∴()3211111111333343x x x x x x x x=-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x---+=--++=++．又∵121x x+=-,∴原式=0．2．853．5 4．638-提示：()2=240a∆-+＞，原式=2963632488a⎛⎫----⎪⎝⎭≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab+-=，即()21a b-=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-．11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a 故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0+=，得0b ca a =，即)12120x x x ++=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x ；假设21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =++=+=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1―2k=0即为x2+2mx+m―2=0，配方得：(x+m)2=m2―m+2，即x=―m±当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=―4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2―m+2=(m―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2< x2<4，那么方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为( )A．12<x3<1B．―4<x3<―2C．―12<x3<―14D．―1<x3<―12【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，再设方程cx2―bx+a=0的为m，n，根据根与系数的关系得出m+n=―(1x2+1x1)，mn=x1⋅x2，从而得出方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，然后由1<x1<2<x2<4，求出―1x1，―1x2的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，∴x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，设方程cx2―bx+a=0的两根为m，n，则m+n=bc ，mn=ac，∵m+n=bc =―ba⋅(―ac)，mn=1x1⋅x2，∴m+n=―(x1+x2)⋅1x1⋅x2=―x1+x2x1⋅x2=―(1x2+1x1)，∴方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，∵1<x1<2，2<x2<4，∴12<1x1<1，14<1x2<12，∴―1<―1x1<―12，―12<―1x2<―14，∵―1x1<―1x2，∴方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为―1<x3<―12．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px―3p―2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4―(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．―34C．―1D．―54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，进而推出x13=3px1+2x1―2px12，则x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1―2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=―2p，x12+x22=(x1+x2)2―4p 得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px―3p―2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，x1x2=―3p―2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1―2px12，∴x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，∵x12＋x13=4―(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1―2px12+x12+3px2+2x2―2px22+x22=4，∴(3p+2)(x+x)+(1―2p)(x2+x2)=4，∴(3p+2)(―2p)+(1―2p)(―2p)2―2(―3p―2)=4，∴―6p2―4p+(1―2p)4p2+6p+4=4，∴―6p2―4p+4p2+6p+4―2p4p2+6p+4=4，∴―2p2+2p―2p4p2+6p+4=0，∴―2p4p2+6p+4+p―1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=―1，p3=―34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=―1不符合题意，∴p1+p3=―34∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2―2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m，x2=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)2+a2―a=0的两个根为x1=m―2，x2=n―2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2―a+1=a+34 >0，从而即可对①进行判断；由于x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab=a2―a+1把方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，由于方程(x―1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，∵a+b=1，∴b=1―a，>0，所以①正确；∴mn=a2+(1―a)2+a(1―a)=a2―a+1=a―+34∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，∴a≥a2，所以③错误；∵a2+b2+ab=a2―a+1，∴方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，即(x―1)2+a2―a=0，∵方程(x+1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m―2，x2=n―2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2―8cx―9d=0的解，c、d是方程x2―8ax―9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2―8ac―9d=0，代入可得a2―72a+9c―8ac=0，同理可得c2―72c+9a―8ac=0，两式相减即可得a+c 的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x2―8cx―9d=0的根，所以a2―8ac―9d=0，又d=8a―c，所以a2―72a+9c―8ac=0①同理可得c2―72c+9a―8ac=0②①-②得(a―c)(a+c―81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2―a，bc=4，a=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x2―(2―a)x+4a≥0，即(a2+4)(a―4)≥0，∴Δ=(2―a)2―4×4a所以a≥4．又当a=4，b=c=―1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a―b―c=a―(2―a)=2a―2，∵a≥4，故2a―2≥6，当a=4，b=c=―1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a―2，即可求出b―2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=―2，x1x2=a―2，进而得出ax1+x1x2+ax2=―2a=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，根据方程a2―t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2a+1，设a+1a―4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2―2=0，∴a(x+1)2―2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a―2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a―2，∴b―2c=2a―2(a―2)=4；∵x1+x2=―2，x1x2=a―2，a=―2a++1，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=―2a+a―2a∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2―4ac=(2a)2―4a(a―2)8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2―t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2―4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=―2a+1≤―3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t2―44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn，∴m、n为t2―44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x3+y3=(x+y)x2+y2―xy=(x+y)(x+y)2―3xy=n[n2―3m]=n3―3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x1+x2=―ba时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求1x1―1+1x2―1的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x21+3x1―5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴1x1―1+1x2―1=x2―1+x1―1 (x1―1)(x2―1)=x1+x2―2x1x2―(x1+x2)+1=―3―2―5―(―3)+1=5；（2）∵x1是一元二次方程x2+3x―5=0的根，∴x21+3x1―5=0,∴x21+3x1=5，又∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴3x21+6x1+x22=2x21+3x1+(x1+x2)2―2x1x2=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca．（1）根据方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2m)2―4(m2―n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且x1>x2，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=m2―n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1=3x2，∴4x2=2m，3x22=m2―1，∴3×m24=m2―1，解得：m1=―2，m2=2．当m=2时，x2=1，则x1=3x2=3，符合题意，当m=―2时，x2=―1，则x1=3x2=―3<x2，与x1>x2不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=―m2―m∵αβ=―2，∴―2=―m2―m∴m=1或m=―2；（2）解：设方程x2+2x―m2―m=0的两个根为：x1,x2则x1+x2=―ba =―2,x1⋅x2=ca=―m2―m，∴1 x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4…．．1α2024+1β2024=22024×2025∴1+1+1+1+⋯+1+1=2×+1+...+=2×1―12+12―13+...+12024=2×1―=4048202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m 的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m 的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，因为1α+1β=―1，所以2m+3m 2=1，解得m 1=3，m 2=―1，结合m >―34，即可作答；（3）因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，结合α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，得m 2+2(2m +3)+4=(m +2)2+6，则(α―2)(β―2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2+(3)x +m 2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b 2―4ac =(2m +3)2―4×1×m 2=4m 2+12m +9―4m 2=12m +9>0，即m >―34；（2）解：∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=―1，且α+β=―b a =―(2m +3)，αβ=ca =m 2∴2m+3m 2=1整理得m 2―2m ―3=0，解得：m 1=3，m 2=―1∵由（1）知m >―34，∴m =3检验：当m =3时，m 2≠0，即m =3；（3）证明：因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，把α+β=―(2m+3)和αβ=m2代入上式，得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6，∵(m+2)2≥0，∴(m+2)2+6≥6∴(α―2)(β―2)≥6>0∵α>2，∴α―2>0，∴β―2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．【思路点拨】（1α+β=―4,αβ=1，再求得(α―β)2的值，进而求得|α―β|的值．++α+β=―4,αβ=1代（2入计算即可；（3+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=―4,αβ=1∴(α―β)2=(α+β)2―4αβ=12∴|α―β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵+=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2―2αβαβ+2=16，=4（负值舍去）；（3+=(1α+1β)+―=α+βαβ=α+βαβ=―411=―52==1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=―2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0可有x=m为整数，则Δ=m2―10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[―(m―1)]2―4m×2=m2―10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=――(m―1)m =m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，∵m―1m =1―1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1―10+1=―8<0，不符合题意；当m=―1时，Δ=1+10+1=12>0，m―1m =―1―1―1=2，为整数，符合题意；∴m的值为―1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=―2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0的根为：x=若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2―10m+1为完全平方数，设m2―10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n―k)=24，∴k+n=12n―k=2或k+n=6n―k=4或k+n=8n―k=3或k+n=24n―k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=11（不合题意，舍去）或k=232n=25（不合题意，舍去）∴m 2―10m +1=12=1或m 2―10m +1=52=25；当m 2―10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）；当m 2―10m +1=25时，解得m =―2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或―2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m 2+m ―2)x 2―(7m +2)x +12=0有两个整数实根．（1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0．求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x 1,x 2，根据两个整数实根，则x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m 2+a 2m ―12a =0，m 2+b 2m ―12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m 2+m ―2≠0，∴m ≠―2或m =1，∵方程有两个实数根，∴Δ=b 2―4ac =[―(7m +2)]2―4×12×(m 2+m ―12)=m 2―20m +580=(m ―10)2+480>0设原方程的两个解分别为x 1,x 2∴x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，∴m 2+m ―2=1,2,3,4,6,12m 2+m ―2=1，解得：m =m 2+m ―2=2，解得：m =m 2+m ―2=3，解得：m =m 2+m ―2=4，解得：m =―3或m =2m 2+m ―2=6，解得：m =m2+m―2=12，解得：m=当m=―3时，7m+2m2+m―2=―21+24=―194不是整数，舍去当m=2时，7m+2m2+m―2=14+24=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2―6a+2=0，b2―6b+2=0，当a=b时，a=b=3当a≠b时，a、b是方程x2―6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=a2+b2=(a+b)2―2ab=36―4=32=c2，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔABC=12ab=1；②a=b=3c=2(3―<故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3c=2(3+>SΔABC=12×=综上，△ABC的面积为1或15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m +n =―ba =3，mn =ca =―1，再根据nm +mn=m 2+n 2mn=(m+n )2―2mnmn，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，即得出s +t =―b a =3，s ⋅t =ca =―1，从而可求出(t ―s )2=(t +s )2―4st =13，即t ―s =t ―s =―【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―ba =――31=3，x 1⋅x 2=c a =―11=―1．故答案为：3，―1；（2）∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―ba =3，mn =ca =―1，∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =32―2×(―1)―1=―11；（3）∵实数s 、t 满足s 2―3s ―1=0，t 2―3t ―1=0，∴s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，∴s +t =―ba =3，st =ca =―1，∵(t ―s )2=(t +s )2―4st =32―4×(―1)=13∴t ―s =t ―s =―当t ―s =1s―1t =t―s st==―当t ―s =―1s―1t =t―s st==综上分析可知，1s ―1t 的值为16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx 2+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x ―2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点；（3）小聪继续研究(x ―3)(x ―1)，x (x ―4)及x ――x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx ―5c )=bx 2―4cx ―2a ―4是“2系多项式”，求a 与c 的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx ―5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx 2―4cx ―2a ―4=0的两个根为x 1=―1，x 2=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x ―2)=0，∴3x +1=0或x ―2=0，∴x =―13或x =2，则此多项式的零点为―13或2；故答案为：―13或2；（2）解：∵多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，∴将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，得a ―(a ―1)―a2=0，解得a =2，∴B=2x2―x―1=(x―1)(2x+1)，令2x+1=0，解得x=―12，∴多项式B的另一个零点为―12；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，令cx―5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得y=―1，即2ax+b=0时，x=―1，则―2a+b=0①，令M=bx2―4cx―2a―4=0，根据题意，方程bx2―4cx―2a―4=0的两个根为x1=―1，x2=5，∴x1+x2=――4cb =5+(―1)=4，x1⋅x2=―2a―4b=5×(―1)=―5，∴c=b②，5b―2a―4=0③，解①②③得c=b=1，a=12，∴a=12，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2+2．由(x1+1)(x2+1)=8，可得x1x2+(x1+x2)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，再由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0．最后结合题意即可得出s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，∴x1+x2=―ba =――2(k+1)1=2(k+1)，x1x2=ca=k2+21=k2+2，∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k2+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k2+2k―3=0，解得：k1=―3，k2=1．当k=―3时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2(―3+1)]2―4(―32)+2=―28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=―3不符合题意；当k=1时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2×(1+1)]2―4(12+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x2―x―1=0，∴a=1，b=―1，c=―1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，∴α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，∴s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=12―2×(―1)=3；②猜想：s n=s n―1+s n―2．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，∵s=α+β，s=α+β，s=α+β，∴s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2―4ac”，根与系数关系“x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=―1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，将x12+x22转化即可求解；（2）根据点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数图像上，得出A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，再根据根与系数关系得到x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，根据AB=（3）根据直角三角形两直角边x1,x2为整数，得出Δ=b2―4ac=m2―12m+4，令m2―12m+4=k2(k为正整数)，得出(m+k―6)(m―k―6)=32，又m+k―6>m―k―6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=―1时，方程为x2―x―4=0，Δ=b2―4ac=(―1)2―4×1×(―4)=17>0，∴x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，即x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=12―2×(―4)=9；（2）将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y=3x+1可得A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，又Δ=(m+2)2―4×4m>0，故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2=10(x1―x2)2，即10(x1―x2)2=10，(x1―x2)2=1，(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=1，(m+2)2―4×4m=1，(m―6)2=33，m1=6+2=6―（3）∵直角三角形两直角边x1,x2为整数，∴Δ=b2―4ac=(m+2)2―4×4m=m2―12m+4为平方数，不妨令m2―12m+4=k2(k为正整数)，(m―6)2―32=k2，(m+k―6)(m―k―6)=32，m+k―6>m―k―6，当①∴m+k―6=32,m―k―6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k―6=16,m―k―6=2，解得m=15，∴方程x2―17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k―6=8,m―k―6=4，解得m=12，∴方程x2―14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x =x 1y =y 1 和x =x 2y =y 2是关于x ，y 的方程组x 2―y +k =0x ―y =1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出ab +ba 的值；（2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =―c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，再根据c 2―4×16c≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1，x 1x 2=k +1，再解y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，∴a +b =―15，ab =5，∴ab +ba =(a+b )2―2abab=(―15)2―2×55=43，∴ab +b a =43；（2）∵a +b +c =0，abc =16，∴a +b =―c ，ab =16c ，∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，∴c 2―4×16c≥0，∴c 2―43c≥0，∵c 是正数，∴c 3―43≥0，∴c 3≥43，∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =―2时，y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2．理由如下：∵x2―y+k=0①x―y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x―1，∴x2+k=x―1，即x2―x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2―x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴(―1)2―4(k+1)>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k<―34，∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解，∴y1y2=(x1―1)(x2―1)，∴y1y2―x1x2―x2x1=(x1―1)(x2―1)―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴x1x2―(x1+x2)+1―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴k+1―1+1―1―2(k+1)k+1=2，整理得：k2+2k=0，解得：k1=―2，k2=0（舍去），∴k的值为―2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x 1=―7，x 2=―2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32，代入x 1+x 2+x 1x 2=―1，即可求出k 1=2，k 2=―1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x 1=―1，x 2=m 或x 1=m ，x 2=―1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m <0且m ≠―1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x 2+9x +14=0，(x +2)(x +7)=0，∴x +2=0或x +7=0，∴x 1=―7，x 2=―2．∵―7<―2，3<―7―2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2，∴x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32．∵x 1+x 2+x 1x 2=―1，∴―k+72+k 2+32=―1，解得：k 1=2，k 2=―1．分类讨论：①当k =2时，原方程为2x 2+9x +7=0，∴x 1=―72，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，3<x 1x 2=72<4，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”，∴k =2符合题意；②当k =―1时，原方程为2x 2+6x +4=0，∴x 1=―2，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，x 1x 2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=―1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1―m)x―m=0，(x+1)(x―m)=0，∴x+1=0或x―m=0，∴x1=―1，x2=m或x1=m，x2=―1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠―1，∴(1―m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠―1．分类讨论：①当―1<m<0时，∴x1=―1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<―1m<4，解得：―13<m<―14；②当m<―1时，∴x1=m，x2=―1，∵3<x1x2<4，∴3<m―1<4，解得：―4<m<―3．综上所述，m的取值范围为―13<m<―14或―4<m<―3．。

关于） 方程两实数为1x 2x = 21()4x x x x ∴+-212316x x --，1m =.）0=的两实数根，121)(x x --0=，解得m269x x -+为腰时，设4914(m -+7x =或15. 或7，此时三角形的周长为元和间接设元；⑶ 列：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程 ； ⑷ 解：求出所列方程的解；⑸ 检验：检验未知数的值是否符合题意； ⑹ 答：写出答案。

一、面积问题1. 用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出 、设 、列 、解方程、 、写出 答案的过程.2. 用一元二次方程解决问题的关键是 .3. 从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是482m ，则原来这块木板的面积是（ ）A. 1002mB. 642mC. 1212mD. 1442m 4. 如图，在长为100m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 2m ，则道路的宽应为多少米?设道的宽为x 米，则可列方程为 （ ） A. 10080100807644x x ⨯--= B. (100)(80)27644x x x --+=C. (100)(80)7644x x --=D. 10080356x x +=5. 如图，对一块长60 m 、宽30 m 的长方形荒地进行改造，要在其四周留一条宽度相等的人行道，中间部分建成一块面积为1 000 m“的长方形绿地，求人行道的宽度.6. 如图，某养殖场要用防护网围成长方形养鸡场地，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2m宽的门.现有防护网的长度为91 m，场地的面积需要1080 2m，若墙长50 2m，求场地的长和宽.（1）一变:若墙长46 m，求场地的长和宽；（2）二变:若墙长40 m，求场地的长和宽；（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？7. 从正方形的铁片上截去8 cm宽的一条长方形，余下部分的面积是48 2cm时，则原来的正方工作量增加为原来的1. 5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.(1) 该项绿化工程原计划每天完成多少平方米?(2) 该项绿化工程中有一块长为20 m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修肉块相同的矩形绿地，它们的面积之和为562m，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图)，人行通道的宽度是多少米?A. 100(1)121x +=B. 100(1)121x -=C. 2100(1)121x +=D. 2100(1)121x -=9. 某商品原价为a 元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是 ( )A. 1.08a 元B. 0. 88a 元C. 0. 968a 元D. a 元10. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可 变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2. 6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x .(1) 用含x 的代数式表示第3年的可变成本为 万元;(2) 如果该养殖户第3年的养殖成本为7. 146万元，求可变成本平均每年增长的百分率11. 如图，要建造一个直角梯形的花圃.要求AD 边靠墙，CD AD ⊥, AB:CD=5:4，另外三边的和为20米。

专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题 04 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -<例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4.0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==-例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0c =，得0b ca a =，即)12120x x x x +=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x 21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =+=++=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。

❊1.5根与系数的关系知识点一根与系数的关系【注意】题型一利用韦达定理求方程的根例1已知关于x 的方程0322=+++a a x x 有一个根为-2，则另一个根为（）A ．5B ．2C ．-1D ．-5【答案】【分析】根据关于系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于∴2-解得，故选例变1若关于x 的一元二次方程032=+-bx x 有一个根是1=x ，求b 的值及方程的另一根.【答案】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+3=0有一个根是x=1，∴1﹣b+3=0，解得：b=4，把b=4代入方程得：x 2﹣4x+3=0，设另一根为m ，可得1+m=4，解得：m=3，则b 的值为4，方程另一根为x=3.变2若73+是方程062=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.【答案】解：∵=3+7是此方程的一个根，设另一个解为2则1+2=6，∴2=3−7，即方程的另一个根为3−7∵12=∴=(3+7)(3−7)=2.题型二利用韦达定理判断根的正负例1一元二次方程2410x x --=根的情况是（）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于5D ．有两个正根，且有一根大于4【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．【解答】解：2410x x --=，△24164200b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根；设方程的两个根为12x x ⋅，则：124x x +=，121x x ⋅=-，∴方程的有一个正根，一个负根；故选：B ．例2关于x 的方程2(2)(1)(x x p p -+=为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A ．有两个相异正根B ．有两个相异负根C ．有一个正根和一个负根D ．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到△0>，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，利用根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，根据有理数的性质得到1x 、2x 的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为2220x x p ---=， △222(1)4(2)490p p =----=+>，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，根据根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C ．变1关于x 的一元二次方程2250x x --=有（）A ．两个相等的实数根B ．两个不相等的正数根C ．两个不相等的负数根D ．一个正数根和一个负数根【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．【解答】解：2250x x --=，△224(2)41(5)240b ac =-=--⨯⨯-=>，所以方程有两个不相等的实数根，设方程2250x x --=的两个根为e 、f ，则50ef =-<，则e 和f 异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D ．变2关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C ．两个负根D ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a ，b ，利用根与系数的关系表示出a b +与ab ，判断即可．【解答】解：设方程两根设为a ，b ，方程整理得：2220x x p +--=，∴由根与系数的关系得：10a b +=-<，220ab p =--<，则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．故选：D ．例3一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（）A ．a ，c 异号B ．a ，c 异号；a ，b 同号C ．a ，c 异号；b ，c 同号D ．b ，c 异号变3一元二次方程20ax bx c ++=中，若0a >，0b <，0c <，则这个方程根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有一正根一负根且正根绝对值大D ．有两个正的实数根【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据12cx x a=判断根的符号情况．【解答】解：0a > ，0b <，0c <，0ac ∴<，∴△240b ac =->，∴方程有两个不相等的实数根，120cx x a=< ．∴两根异号，故选：C ．例4若方程22210x x m +-+=有一正实根和一负实根，则m 的取值范围是（）A ．167≥m B ．12m >C ．716m >D ．21≥m 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：210m -+<，12m ∴>，由△18(21)0m =--+>，716m ∴>，12m ∴>，故选：B ．变4若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【分析】利用根的判别式△0>及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【解答】解： 关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴2241(12)0120m m ⎧=-⨯⨯->⎨-<⎩，解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．知识点二韦达定理与代数式题型三利用韦达定理求代数式的值例1已知21x x ，是方程2310x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）21x x +（2）12·x x （3）()()1211x x --（4）()()122111x x x x +++（5）2212x x +（6）()212x x -（7）1211+x x （8）2112x x x x +变1已知21x x ，是方程03622=-+x x 的两个实数根，求下列各式的值：（1）2221x x +（2）)2)(2(21++x x（3）2112x x x x +（4）221)(x x -（5）21x x -例2一元二次方程x 2+4x +1=0的两个根是x 1，x 2，则2112x x x x -的值为______．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到21−12=12【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，所以21−12=22−1212=(1+2)(2−1)===﹣83．故答案为﹣83例3已知方程2410x x ++=，记两根为,αβ，求βααβ+的值为（）A ．3B ．C ．4D ．变3已知：m 、n 是方程022=--x x 的两根，则=--)1)(1(22n m ______．【答案】0【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，从而得到2−1=+1,2−1=+1，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 、n 是方程2−−2=0的两根，∴2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，∴2−1=+1,2−1=+1，∴2−12−1=+1+1=B +++1=−2+1+1=0故答案为：0变4已知a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，则式子abbb a a+的值为______．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入=【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，∴a +b =−52，a •b =12，∴a ＜0，b ＜0，∴+=+=B==−(−52)+2×12=−故答案为：−题型四根据代数式的值求参数的值例1已知21x x ，是关于x 的方程012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为______．【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.【解答】)12(4)13(4222≥+-+=-=∆k k ac b （注意：可以不用解出来）∵2218)1)(1(k x x =--∴2212181)(k x x x x =++-将)13(21+-=-=+k a b x x ，12221+==⋅k acx x 代入得：22811312k k k =++++，解得211-=k ，12=k .再将k 的值带入△，判断是否满足△≥0即可.【答案】1【解析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣（3k +1），x 1x 2=2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1=0，解得：k 1=﹣，k 2=1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，∴△=（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2，∴k =1．例2已知关于x 的一元二次方程02)12(22=+++-k k x k x 有两个实数根为21x x ，，使得16222121-=--x x x x 成立，则k 的值______．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，然后解不等式求得k 的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，再把x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16变形为﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2=﹣16，所以﹣（2k +1）2+3（k 2+2k ）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k =0有两个实数根，∴△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，解得k ≤14，由根与系数的关系得x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16．∴x 1x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]=﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，整理得k2﹣2k﹣15=0，解得k1=5（舍去），k2=﹣3．∴k=﹣3，故答案为﹣3．即6180m -=，解得：3m =．变4已知关于x 的一元二次方程0)14(62=++-m x x 有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为21x x ，，且421=-x x ，求m 的值．【答案】见解析。

专题04 一元二次方程的根与系数的关系知识点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； ③；④； ⑤；21x x ，a b x x -=+21ac x x =21222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-⑥；⑦⑧； ⑨；⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++12||x x -==22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==12x x -==122|||||x x x +==2|x =20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>120x x <120x x +<（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．一、单选题1．（2020·江西吉安市·九年级期中）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．132．（2019·广西桂林市田家炳中学八年级期末）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程2x 3x a 0-+=的两个解，若()()m 1n 16--=-，则a 的值为（ ）A ．﹣10B ．4C ．﹣4D ．103．（2019·山西九年级专题练习）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2、ax、2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）A ．x 1≠x 2B ．x 1+x 2、0C ．x 1•x 2、0D ．x 1、0、x 2、0 4．（2018·全国九年级单元测试）已知关于x 的方程(k ﹣2)2x 2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞43且k ≠2B ．k ≥43且k ≠2C ．k ＞34D ．k ≥34 5．（2020·广州市番禺区实验中学九年级月考）已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( ) A ．12x x ≠ B ．21120x x -= C ．122x x += D ．122x x ⋅=∆aa ab6．（2020·江西赣州市·九年级期末）一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .7．（2020·江苏南京市·九年级期中）设m 、n 是一元二次方程x 2、2x 、7、0的两个根，则m 2、3m 、n 、_______.8．（2020·江苏扬州市·九年级月考）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015= ．9．（2020·西南交通大学附属中学九年级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=的两个实数根，且22121213x x x x +-=，则k 的值为____.三、解答题10．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x 的一元二次方程x 2+3x+m -1=0的两个实数根分别为x 1,x 2．（1）求m 的取值范围．（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值.11．（2020·四川省九龙县中学校九年级期中）已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由． 12．（2020·河南商丘市·九年级月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．13．（2020·乐山博瑞特网络科技有限公司九年级期中）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）,x x．x+k2+1=0有两个不等实根12（1）求实数k的取值范围．,x x满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．（2）若方程两实根1214．（2020·湖北孝感市·九年级其他模拟）已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．15．（2019·台州市书生中学九年级开学考试）已知关于x的一元二次方程x2、6x+、2m+1、=0有实数根．、1）求m的取值范围；、2）如果方程的两个实数根为x1、x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．。

专题04 根与系数的关系题型汇总 一、单选题1．（2021·上海）已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3-【答案】B 【分析】设方程的另一个根为x 1，根据两根之积等于c a ，即可得出关于x 1的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为x 1， 根据题意得：1×x 1=2，则x 1=2．故选：B ．【点睛】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根之积等于c a是解题的关键． 2．（2020·成都市三原外国语学校九年级期中）一元二次方程230x x --=的两根分别为1x 、2x ，则12x x +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－3D ．3【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系12b x x a +=-解答并作出选择． 【详解】∵一元二次方程230x x --=的两根分别为1x 、2x ，∵由韦达定理，得121x x =+∵B 选项是正确的．故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．在利用韦达定理时，一定要弄清楚12x x +=b a -中a b 、的意义． 3．（2020·广州市真光中学九年级月考）设α，β是一元二次方程240x x +=的两个根，则α+β的值是( )．A ．-4B ．4C ．0D ．1【答案】A 【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：α，β是一元二次方程240x x +=的两个根，∴α+β4=-， 故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a ． 4．（2020·江苏）已知x 1、x 2是一元二次方程x 2-5x+6=0的两个实数根，则x 1+x 2=（ ）A ．5B ．6C ．-5D ．-6 【答案】A【分析】直接根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系计算即可．【详解】解：根据题意得12551b x x a -+=-=-=， 故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，熟记定理的内容是解题的关键． 5．（2021·河南九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1mC ．1mD ．m 1≥ 【答案】B【分析】因为一元二次方程有实数根，所以2=40b ac ∆-≥ ，即可解得． 【详解】∵一元二次方程2x 2x m 0-+=有实数根∵2=4=4-40b ac m ∆-≥解得1m故选B 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．6．（2021·安徽亳州·八年级期末）若x 1、x 2是方程x 2-2x -3=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2的值是（ ） A ．1B ．-1C ．5D ．-5【答案】B 【分析】先利用根与系数的关系式求得x 1+x 2=2，x 1x 2=-3，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵x 1、x 2是方程x 2-2x -3=0的两个根∵x 1+x 2=-b a =2，x 1x 2=c a =-3 ∵x 1+x 2+2x 1x 2=2-3=-1．故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．掌握根与系数的关系式：x 1+x 2=-b a，x 1x 2=c a 是解答本题的关键． 7．（2021·山东八年级期中）已知a ，b 是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111a b+=-，则m 的值是（ ） A ．﹣3或1B ．3或﹣1C ．3D ．1 【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出,a b ab +再代入分式计算，即可求得m ．【详解】解：由根与系数的关系得： 2(23),a b m ab m +=-+=，111a b a b ab+∴+==-, 即223m m +=,解得：3m =或1m =-,而当1m =-时，原方程22(23)41430m m ∆=+-=-=-<，无实数根，不符合题意，应舍去，∵ 3m =故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．8．（2021·浙江）若,m n 是方程220180x x --=的两个根，则代数式()()222201822018m m n n ---++的值为（ ） A ．2018B ．2017C ．2016D ．2015【答案】A【分析】根据根与系数的关系得出m +n =1，mn =-2018，根据一元二次方程解的定义得出220180m m --=，220180n n --=，求出222018m m m --=-，222018n n n -++=，代入求出即可． 【详解】解：∵m ，n 是方程220180x x --=的两个根，∵m +n =1，mn =-2018，220180m m --=，220180n n --=，∵222018m m m --=-，()22220182018n n n n n n -++=----=，∵()()222201822018m m n n ---++=2018mn -=，故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程解的定义，能根据题意求出m +n =1，mn =-2018，220180m m --=，220180n n --=是解此题的关键．9．（2021·四川南充·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2021 D ．2021-【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120211x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解． 【详解】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，∵211202110x x -+=，121x x ⋅=，∵21120211x x =-， ∵2122021x x -=21202112021x x --=1222220011222x x x x x -⋅-=22202112021x x ⨯--=22x x -=-1． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．10．（2021·河南九年级一模）定义新运算“a b *”：对于任意实数a ，b ，都有()()2a b a b a b =+--*，例如43(43)(43)2725=+--=-=*．若2x k x *=（k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（ ） A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【答案】C 【分析】 根据新定义，得()()2*=+--x k x k x k ，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即可．【详解】∵()()2a b a b a b =+--*，∵22()()22*=+--=--x k x k x k x k ，∵2x k x *=变形为22220---=x x k ，∵∵＝222(2)41(2)448--⨯--=++k k＝2412+k ＞0，∵原方程有两个不相等的实数根，故选C ．本题考查了新定义问题，一元二次方程根的判别式，准确理解新定义，灵活运用根的判别式是解题的关键． 11．（2021·杭州市建兰中学）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个． ①方程x 2+5x +6＝0是倍根方程：②若pq ＝2，则关于x 的方程px 2+4x +q ＝0是倍根方程；③若（x ﹣3）（mx +n ）＝0是倍根方程，则18m 2+15mn +2n 2＝0；④若方程ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，且3a +b ＝0，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件2pq =，然后解方程240px x q ++=即可得到正确的结论．③根据(3)()0x mx n -+=是倍根方程，且且13x =，2n x m =-，得到32n m =-，或6n m =-，从而得到320m n +=，60m n +=，进而得到2218152(32)(6)0m mn n m n m n ++=++=正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答．【详解】解：①解方程2560x x ++=得：12x =-，23x =-，∴方程2560x x ++=不是倍根方程，故①错误；②2pq =，解方程240px x q ++=得：122x p-+=，222x p --=， 122x x ∴≠，故②错误； ③(3)()0x mx n -+=是倍根方程，且13x =，2n x m=-， ∴32n m =-，或6n m =-， 320m n ∴+=，60m n +=，2218152(32)(6)0m mn n m n m n ∴++=++=，故③正确；④方程20ax bx c ++=是倍根方程，∴设122x x =，123x x ∴+=，2223x x ∴+=，21x ∴=，故④正确．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．12．（2021·全国）已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ） A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论． 【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =， ∵121222b c x x x x +=-=， ∵232322b c -+=--⨯=，，即b=-2，c=-12 ∵21214b c +=--=-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=c a． 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·山东九年级期末）若1x ，2x 是一元二次方程2101110100x x -+=的两个实数根，则1212x x x x ++=__________．【答案】2021 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得12x x +，12x x ⋅的值，并将其代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2101110100x x -+=的两个实数根，∵121011x x +=，121010x x ⋅=，∵1212101110102021x x x x ++=+=．故答案为：2021． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根，则12b x x a +=-，12c x x a⋅=是解题的关键． 14．（2021·江苏）若关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根为2-，则另一个根为________．【答案】3-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可【详解】设另一个根为2x ，根据根与系数的关系有：12b x x a+=- 即225x -+=-解得：23x =-故答案为3-【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15．（2021·四川省内江市第六中学九年级三模）若1x ，2x 是方程2420200x x --=是方程的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于___________．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式=221112111242242x x x x x x x x -++=-++（）计算可得． 【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∵124x x +=，211420200x x --=，即21142020x x -=，则原式=21112422x x x x -++=2111242x x x x -++（）=202024+⨯=20208+=2028．故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b a x x +=-，12x a x c =． 16．（2021·浙江嘉兴一中）设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a．已知x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两实数根，则（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝________．【答案】2【分析】先将代数式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系求得1212,x x x x +⋅的值，代入求解即可【详解】x1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两实数根，12122,1x x x x ∴+=⋅=-，（x1﹣3）（x 2﹣3）12123()9x x x x =-++∴原式1329792=--⨯+=-+=故答案为：2 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 17．（2021·江苏南通市·南通田家炳中学九年级其他模拟）设α，β是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则24ααβ++=________．【答案】4 【分析】由,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，得出23,37αβαα+=-+=，再把24ααβ++变形为23αααβ+++，即可求出答案． 【详解】解：∵,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，∵23,370αβαα+=-+-=，∵237αα+=，∵2243734ααβαααβ++=+++=-=，故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、整体代入思想，属于计算综合题型，解题的关键是整体代换思想，即将原方程中含未知数的部分看作一个整体．一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系为：1212,b c x x x x a a+=-⋅=． 18．（2021·四川九年级一模）已知关于x 的一元二次方程()212022-++=m mx m x 有两个不等的实数根1x ，2x ．若12112+=m x x ，则m 的值为______． 【答案】2【分析】根据根的判别式先求出“∵”的值，再根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2（m +2），x 1•x 2=m ，变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵()22424022m m b ac m =-=+-⨯⨯>，且0m ≠，∵1m >-，且0m ≠，∵12x x 、是方程()212022-++=m mx m x 有两个实数根， ∵()1222m x x m ++=，121x x =， ∵12112+=m x x ， ∵12122x x m x x +=，即()222m m m+=， 整理得：220m m --=，解得：1221m m ==-，． ∵1m >-，且0m ≠，∵2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．19．（2021·河北）若ab ，且2410a a -+=，2410b b -+=，则（1）a b +的值为______；（2）221111a b +++的值为_____．【答案】4 1【分析】（1）根据题意，a ，b 是一元二次方程2410x x -+=的两个不相等的实数根，利用根与系数关系定理求解即可；（2）变形2410a a -+=，2410b b -+=得214a a +=，214b b +=，化简后，利用（1）的结论计算即可．【详解】（1）∵a b ，且2410a a -+=，2410b b -+=， ∵a ，b 是一元二次方程2410x x -+=的两个不相等的实数根，∵a +b =4,故答案为：4；利用根与系数关系定理求解即可；（2）∵2410a a -+=，2410b b -+=，∵214a a +=，214b b +=， ∵221111a b +++=1111()44a b a b ab ++⨯=⨯， ∵a b ，且2410a a -+=，2410b b -+=， ∵a ，b 是一元二次方程2410x x -+=的两个不相等的实数根，∵a +b =4,ab =1，∵221111a b +++=144⨯=1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数关系定理，熟练构造一元二次方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．三、解答题20．（2020·渝中·重庆市实验学校）已知关于 的一元二次方程 x 2+2x +2k -4 = 0有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围；（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．【答案】（1）k ＜52 ；（2）当2k =时，120,2x x ==． 【分析】（1）根据判别式的意义得到24b ac ∆=-＞0，然后解不等式即可得到k 的范围； （2）先确定整数k 的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程，确定方程的整数解即可．【详解】解：（1）因为x 2+2x +2k -4 = 0有两个不相等的实数根，所以24b ac ∆=-＞0，即2241(24)k -⨯⨯-＞0，所以8k ＜20，解得：k ＜52 （2）因为k ＜52且k 为正整数， 所以k =l 或2， 当k =l 时，方程化为2220x x +-=，∵=12，此方程无整数根；当k =2时，方程化为220x x += 解得120,2x x ==，所以k =2，方程的有整数根为120,2x x ==．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当∵=0时，方程有两个相等的两个实数根；当∵＜0时，方程无实数根．同时考查了不等式的正整数解及解一元二次方程，掌握基础是关键．21．（2019·河南九年级期中）已知关于x 的一元二次方程：2(2)(3)0x x p ---=.（1）小明说：“不论p 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根.”他的说法正确吗？为什么？ （2）若方程：2(2)(3)0x x p ---=的两个实数根α，β满足：111αβ+=，请求出P 的值.【答案】(1)小明的说法正确;(2)p 的值为±1【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可以得到5αβ+=，26p αβ=-，再把111a β+=进行变形可得265p -=，然后代入计算即可求解．【详解】解：（1）方程2(2)(3)0x x p ---=可化为22560x x p -+-=，∵()22(5)416p ∆=-⨯⨯-2225244140p p =-+=+>，∵对于任意实数p ，方程都有两个不相等实数根，小明的说法正确，（2）方程22560x x p -+-=由根与系数的关系得：5αβ+=，26p αβ=-∵111a β+=， ∵1a a ββ+= ∵2516p=-，变形得265p -= ∵1p =±，即p 的值为±1.【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．22．（2020·湖北九年级其他模拟）关于x 的一元二次方程()23220x k x k ---+=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两根分为1x 、2x ，且12122x x x x ++=，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）-3 【分析】（1）利用根的判别式大于等于0即可证明；（2）根据根与系数的关系得到121223,2x x x x k k +=-=+-，然后代入12122x x x x ++=中即可求出k 的值． 【详解】解：（1）22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k -=---⨯⨯-+=++=+≥∵方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系有，121223,2x x x x k k +=-=+-，∵1212(3)(22)2x x x x k k ++=-+-+=解得3k =- 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．23．（2021·招远市教学研究室八年级期末）已知关于x 的一元二次方程230kx x +-=有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为1x ，2x ，且满足()212124x x x x ++⋅=，求k 的值．【答案】（1）112k >-且0k ≠；（2）14k =． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∵0>且0k ≠，即()21430k -⨯->且0k ≠， 解得112k >-且0k ≠；（2）由根与系数的关系可得121x x k +=-，123x x k ⋅=-， 由题意可得2134k k⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即24310k k +-=， ∵()()411k k -+解得14k =或1k =-，经检验可知：114k =，21k =-都是原分式方程的解.由（1）可知112k >-且0k ≠ ∵14k =.【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（2021·广西八年级期中）已知关于x 的方程2220x x a ++-=．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围：（2）若该方程的一个根为2-，求方程的另一个根．【答案】（1）3a <；（2）0.【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系列式解答即可【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根．∵2241(2)0a ∆=-⨯⨯->，即4120a -+>，解得3a <；答：a 的取值范围是3a <；（2）设方程的另一个根是2x ，由根与系数的关系得：2221x -+=- 解之得20x =答：方程的另一个根是0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：（1）∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵=0时，方程有两个相等的实数根；（3）∵＜0时，方程没有实数根．25．（2021·呼和浩特市回民区教育局教科研室九年级二模）已知关于x的一元二次方程x2－5x＋6＝p（p＋1）（1）试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根（2）若原方程的两根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p值．【答案】（1）见解析；（2）-2【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．【详解】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．∵Δ=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∵无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）∵原方程的两根为x1、x2，∵x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，∵（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，∵52-3（6-p2-p）=3p2+1，∵25-18+3p2+3p=3p2+1，∵3p=-6，∵p=-2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当∵≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 12+x 22-x 1x 2=3p 2+1，求出p 值．26．（2021·湖北黄石八中九年级三模）已知关于x 的一元二次方程2()323x m x m -+=-有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若方程的两根满足22211270x x x x ⋅--+=，求m 的值． 【答案】（1）34m ≤-；（2）1m =-． 【分析】将原方程变形为一般式．（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出430m ∆=--≥，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可用m 表示出12x x +和12x x ，利用已知条件可得到关于m 的方程，则可求得m 的值． 【详解】解：原方程可变形为22(23)230x m x m m --+-+=．（1）原方程有两个实数根，∴()()2223423430m m m m ∆=----+=--≥⎡⎤⎣⎦， 解得：34m ≤-． （2）方程的两实根分别为1x 与2x ， 1223x x m ∴+=-，21223x x m m ⋅=-+，22211270x x x x ⋅--+=，223(23)(23)70m m m ∴-+--+=，即2(3)160m --+=．解得11m =-，27m =，34m ≤-， 1m ∴=-．【点睛】本题主要考查根与系数的关系及判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键．27．（2021·湖南师大附中梅溪湖中学八年级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k ﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k ＝1时，设方程的两根分别为x 1，x 2，求x 12+x 22的值；（3）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【答案】（1）52k <；（2）8；（3）2 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到0∆>，求出k 的取值范围即可；（2）把x ＝1代入方程，求出121222x x x x +==-，-，进而求出2212x x +的值； （3）首先求出方程的根为152x k ±-＝-，且根为整数，则52k ﹣为完全平方数，结合k 的取值范围即可求出k 的值．【详解】解：（1）∵一元二次方程22240x x k ++-＝有两个不相等的实数根，∵()2241242080k k ∆⨯⨯＝--＝-＞，解得52k ＜； （2）当1k ＝时，方程为2220x x +-=， 解得121222x x x x +==-，-，则()22212121228x x x x x x +=+-=．（3）∵k 为正整数，且52k ＜， ∵k ＝1或2．根据一元二次方程根的公式可得方程的根为152x k ±-＝-又根为整数，∵52k -为完全平方数，∵2k =．【点睛】本题考查的是二次函数根与系数的关系，掌握二次函数根与系数的公式是解决本题的关键．28．（2020·北京汇文中学）阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式x a x b x(-)(-)的值为零，则x a =或x b =． 又因为2()()()()x a x b x a b x ab ab x a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x +=+有两个解，分别为12,x a x b ==． 应用上面的结论解答下列问题：（1）方程p x q x +=的两个解分别为121,4x x =-=，则p ＝_____；q ＝________； （2）方程34x x+=的两个解中较大的一个为_______； （3）关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为1212x x x x (<)、，则1x ＝_____，2x ＝_____． 【答案】（1）－4，3；（2）3；（3）122122n n x x -+==， 【分析】 （1）根据定义得到p=12x x ，q=12x x +，然后代入121,4x x =-=即可求解；（2）方程34x x+=的两个解根据公式可以解出； （3）要将原式构造成题目中的形式，首先将方程左右两端+1，将右端变形为()()21n n ++-，然后将()21x +当做题目中的x ，整体代入求解，最后解两个一元一次方程即可．【详解】（1）由题意得：p=12x x ，q=12x x +∵方程的解为121,4x x =-=∵p=12·4x x =-，q=123x x +=； （2）由题意得：123x x =，124x x +=∵()1143x x -=，解得11x =或3∵当11x =时，23x =；当13x =时，21x =∵较大的解为3（3）∵222221n n x n x +-+=+ ∵22212121n n x n x +-++=++ ∵()()()()21212121n n x n n x +-++=++-+∵211x n +=-或 212x n +=+∵22n x -=或 12n x += ∵12x x <∵122122n n x x -+==，． 【点睛】此题涉及的知识点是分式的综合应用，解一元二次方程，整体代入法解方程，难度较大，解题时先搞清楚规律，把握已知的结论是解本题的关键．。

第 1 页 共 16 页2020-2021学年人教版九年级数学上：根与系数的关系一．选择题（共30小题）1．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k +1＝0的两根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣2B ．k ＞2C ．﹣2＜k ≤0D ．0≤k ＜22．若x 1、x 2是方程x 2﹣5x +6＝0的两个解，则代数式（x 1+1）（x 2+1）的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．143．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ） A ．﹣6B ．2C ．4D ．14．设方程x 2﹣3x +2＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（ ） A ．3B ．−32C ．32D ．﹣25．关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x +m 2﹣m ＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣4C ．﹣4或1D ．﹣1或46．关于x 的方程（x ﹣1）（x +2）＝p 2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根7．下列关于一元二次方程x 2+2x ＝0的说法正确的是（ ） A ．该方程只有一个实数根x ＝2 B ．该方程只有一个实数根x ＝﹣2C ．该方程的实数根为x 1＝0，x 2＝2D ．该方程的实数根为x 1＝0，x 2＝﹣28．一元二次方程3x 2﹣8x ﹣a ＝0有一个根是x ＝3，则a 的值及方程的另一个根是（ ） A ．a ＝3，x ＝1B ．a ＝3，x =−13C ．a ＝﹣3，x =−53 D ．a ＝﹣1，x ＝﹣39．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m+1n=（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D ．−1310．若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．1。

中考试题专题-根的判别式及根与系数关系一、选择题1. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a>b ，则b a =？ A.-5 B.-4 C.1 D. 32. （2009年株洲市）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c == 3.(2009成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A.1k >-B.1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠6.（2009烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009【关键词】根与系数的关系，根的定义【答案】C7. （2009年烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 8.（2009年包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 9. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a>b ，则b a =？ (A) -5 (B) -4 (C) 1 (D) 3 。

11．（09湖北宜昌）设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )．A ．－4B ．－1C ．1D ． 012．（2009年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．0122=--x xB ．0322=+-x xC ．3322-=x xD ．0442=+-x x二、填空题1.(2009年上海市)9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．2.（2009泰安）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。

专题根与系数的关系含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m 的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0 （1）证明：无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x 的一元二次方程x 2-6x -k 2=0（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2为方程的两个实数根，且2x 1+x 2=14，试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x 的方程x 2-（2k -3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3，求k 的值．6.已知关于x 的一元二次方程x 2-（m -2）x +12m -3=0（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1+x 2=m +1，求m 的值．7.已知关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-5x +4a -2=0的一个根为x =3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根，当a 为何值时，x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， 例2. ∴△=b 2-4ac =[-（2m -1）]2-4m （m -2）=4m +1＞0， 例3. 解得：m ＞-14，∵二次项系数≠0，∴m ≠0，例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根； 例5. （2）∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根， 例6. ∴x 1+x 2=2α−1α，x 1x 2=α−2α， 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2α−1α）2-3(α−2)α=2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0， 例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. （2）∵x =4α±√362=2m ±3， 例12. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例13. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例14. ∴m =5．例15. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8）， 例16. =m 2+8m +16=（m +4）2例17. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根；例19. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2）， 例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα，x 1x 2=2α−8α， 例21. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上， 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0， 例23. 解得：m =-2，m =4，例24. ∵m ＞0，∴m =4．例25. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例26. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2． 例27. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2， 例28. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1x 2=m 2+5＞0， 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2，例33. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例34. 解得：m =3．例35. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：（2）∵两实数根互为相反数， 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5； 例39. （3）①当b =c 时，则△=0， 例40. 即（2k -3）2=0，∴k =32，例41. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例43. ∴k =52，例44. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2， 例45. ∴c =2，C △ABC =10，例46. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，综上所述，△ABC 的周长为10． 训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程， ∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0， ∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β， ∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α，αβ=2α， ∵1α+1α=1，∴α+2α2α=α+22=1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3，解得{α1=32α2=12，∴m=x1x2=32×12=34；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m =175或m =-1，所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根， ∴x 1+x 2=6①，x 1x 2=-k 2， ∵2x 1+x 2=14②， 联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14，解之得：{α1=8α2=−2，∴x 1x 2=-k 2=-16， ∴k =±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k -3）]2-4（k 2+1）=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0， 解得：k ＜512； （2）∵k ＜512， ∴x 1+x 2=2k -3＜0， 又∵x 1x 2=k 2+1＞0， ∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（x 1+x 2）=-2k +3， ∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3， ∴-2k +3=2k 2+2-3，即k 2+k -2=0， ∴k 1=1，k 2=-2， 又∵k ＜512，∴k=-2．6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（12m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+12m-3=0解得m=245．7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴α≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时，x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12，即最小值为12．。

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例3.解得：m＞-14例4.∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；4例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ，x 1x 2=m−2m ，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2m−1m ）2-3(m−2)m =2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4m±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ，x 1?x 2=2m−8m ， 例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26. ∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例28. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1?x 2=m 2+5．例31. ∵m ＞2，例32. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1?x 2=m 2+5＞0，例33. ∴x 1＞0、x 2＞0．例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2，例35. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例36. 解得：m =3．例37.例38. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例42. （3）①当b =c 时，则△=0，例43. 即（2k -3）2=0，∴k =32， 例44. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去； 例45. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例46. ∴k =52， 例47. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例48. ∴c =2，C △ABC =10，例49. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，例50. 综上所述，△ABC 的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程，∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1，∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3， 解得{x 1=32x 2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1， 所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14， 解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1?x 2=-k 2=-16，。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4（附答案详解）1．若一元二次方程x 2+2x+m=0没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m≤12B ．m ＞1C ．m≤1D ．m ＜12．下列关于一元二次方程x 2+bx +c ＝0的四个命题①当c ＝0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根；②当c≠0时，若p 是方程x 2+bx +c ＝0的一个根，则1p是方程cx 2+bx +1＝0的一个根； ③若c ＜0，则一定存在两个实数m ＜n ，使得m 2+mb +c ＜0＜n 2+nb +c ；④若p ，q 是方程的两个实数根，则p ﹣q其中是假命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab 的值为（ ）A ．2018B ．-2018C ．2020D ．-20204．若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则()()12111x x x ++-的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2 5．已知关于x 的一元二次方程2304x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( )A ．-1B ．0C ．2D ．16．已知α，β是一元二次方程2x 4x 30--=的两实数根，则代数式()()α3β3--的值是（ ）A ．7B ．1C ．5D ．6-7．已知一元二次方程2()0a x m n ++=（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程2(2)0a x m n +-+=（a≠0）的两根分别为（ ）A ．1,5B ．-1,3C ．-3,1D ．-1,58．若关于x 的方程x 2+（a 2﹣1）x +a ＝0的两根互为相反数，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．±19．若x 1、x 2是方程2x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1+x 2＝（ ）A ．1B ．﹣2C ．1或﹣1D ．210．已知一元二次方程22410x x +-=的两个根为1x ，2x ，且12x x <，下列结论正确的是（ ）A ．122x x +=B ．121x x =-C ．12x x <D ．211122x x += 11．关于x 的方程x 2﹣5x+p 2﹣2p+5＝0的一个根为1，则实数p 的值是_____，另一根为_____12．已知一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1x 2的值为_____． 13．关于x 的方程kx 2+3x -1=0有实数根，则k 的取值范围是__________.14．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是______.15．若x 1=﹣3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根，则x 1+x 2=________ ． 16．方程2230x ax -+=有一个根是1，则另一根为______，a 的值是______.17．阅读材料：如果a ，b 分别是一元二次方程210x x +-=的两个实数根，则有210a a +-=，210b b +-=；创新应用：如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222008n mn m -++的值是_______ ．18．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣2a ＝0的一个根是3，则它的另一根是_____． 19．已知α，β是方程x 2+2017x +1＝0的两个根，则（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）的值_____．20．关于x 的一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____． 21．已知关于x 的一元二次方程2x 2x m 10-+-=()1当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？()2若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；()3设1x ，2x 是这个方程的两个实数根，且2212121x x x x -=+，求m 的值．22．己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.23．已知关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若123x x +=，求k 的值及方程的根．24．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x . （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值；25．已知x 1，x 2是一元二次方程kx 2﹣2kx +k +1＝0的两个实数根．（1）若x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2，求出此时k 的值；（2）是否存在k 的整数值，使得1221x x x x +的值为整数，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．26．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值27．已知关于x 的方程x 2+ax +a -2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．28．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2 ＋ 1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足221215x x +=，求实数m 的值．29．已知关于的一元二次方程: 2(5)40x k x k +-+-=;(1)求证:无论k 为何值，方程总有实数根;(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k 的值.30．已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=（1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实根，且2212121-=+x x x x ，求m 的值.参考答案1．B【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4-4m ＜0，解之即可得出结论．【详解】∵方程x 2+2x+m=0没有实数根，∴△=22-4m=4-4m ＜0，解得：m ＞1．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式、方程的解的定义、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系判断即可．【详解】当c ＝0，b≠0时，△＝b 2＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根，①是真命题；∵p 是方程x 2+bx+c ＝0的一个根，∴p 2+bp+c ＝0，∴1+b p +2c p＝0， ∴1p是方程cx 2+bx+1＝0的一个根，②是真命题； 当c ＜0时，抛物线y ＝x 2+bx+c 开口向上，与y 轴交于负半轴， 则当﹣2b ＜m ＜0＜n 时，m 2+mb+c ＜0＜n 2+nb+c ，③是真命题； p+q ＝﹣b ，pq ＝c ，（p ﹣q ）2＝（p+q ）2﹣4pq ＝b 2﹣4c ，则|p ﹣q|④是假命题，故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．D【解析】【分析】根据根与系数的关系得到a+b=-1，ab=-2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：根据题意得a+b=-1，ab=-2019，所以a+b+ab=-1-2019=-2020．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=. 4．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据题意得121x x =+，122x x =-，所以()()12111x x x ++-=12121x x x x ++-11(2)4=+--=．故选：A ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.5．D【分析】根据根的判别式即可求出a 的范围．【详解】由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a +34）＞0， 解得：a ＞12故满足条件的最小整数a 的值是1，故选D ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.6．D【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到α+β＝4，αβ＝﹣3，再把α﹣3）（β﹣3）展开，变形为αβ﹣3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：α+β＝4，αβ＝﹣3，所以α﹣3）（β﹣3）＝αβ﹣3（α+β）+9＝﹣3﹣3×4+9＝﹣6． 故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=． 7．B【解析】【分析】利用换元法令2y x =-，可得到y 的值，即可算出x 的值，即方程()220a x m n +-+=（a≠0）的两根.记2y x =-，则()220a x m n +-+=即()20a y m n ++=的两根为-3，1故2x y =+=-1，3.故选B.【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程.8．B【解析】【分析】利用根与系数的关系得到−（a 2−1）＝0，解方程得到a ＝1或a ＝−1，然后利用方程有无实数解确定a 的值．【详解】解：根据题意得﹣（a 2﹣1）＝0，解得a ＝1或a ＝﹣1，而a ＝1时，原方程化为x 2+1＝0，方程没有实数解，所以a 的值为﹣1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ． 9．D【解析】【分析】直接利用根与系数的关系得出，x 1+x 2=-b a，代入数值即可. 【详解】∵x 1,x 2是方程2x 2−4x−1=0的两个根，x 1+x 2=2,故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系.【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．【详解】根据题意得x1+x2=-42=-2，x1x2=-12，所以A、B选项错误；∵x1+x2＜0，x1x2＜0，∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误；∵x1为一元二次方程2x2+4x-1=0的根，∴2x12+4x1-1=0，∴x12+2x1=12，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．11．1 4【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【详解】解：∵x＝1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得1﹣5+p2﹣2p+5＝0，解此方程得到p＝1．设方程的另一根为α，∴1+α＝5，∴α＝4，∴另一根为4，故答案为1，4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于p的一元二次方程．12．﹣1．【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，∴x1•x2＝11-＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查的一元二次方程根与系数的关系，比较简单，需要熟练掌握韦达定理.13．k≥9 4 -【解析】【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k ＝0；当方程是一元二次方程时，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②△＝b2−4ac≥0．【详解】解：当k＝0时，方程为3x−1＝0，有实数根；当k≠0时，△＝b2−4ac＝9＋4k≥0，解得：k≥94 -，综上可知，当k≥94-时，方程有实数根；故答案为：k≥9 4 -.【点睛】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．14．9m>【解析】 【分析】因二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，所以26x x m -+=0无实数根，据此求解即可. 【详解】∵二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式， ∴26x x m -+=0无实数根， ∴∆=36-4m<0, ∴9m >. 故答案为：9m >. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0. 15．﹣2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x 1• x 2 = -3，再解一次方程求出x 2，进而求出x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1=-3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根， ∴x 1•x 2=-3， ∴x 2=1，∴x 1+ x 2=-3+1=-2， 故本题答案为-2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根与系数的关系，此题难度不大． 16．3， 2. 【解析】 【分析】设方程的另一根为x 2，根据根与系数的关系得到−1•x 2＝3，求出x 2，再根据1＋x 2＝2a ，得出1＋3＝2a ，再解方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为x 2， 根据题意得1•x 2＝3， 则x 2＝3； ∵1＋x 2＝2a ， ∴1＋3＝2a ， ∴a ＝2； 故答案为3，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−ba，x 1x 2＝c a． 17．2019 【解析】 【分析】由题意，m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，则可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，然后可利用根与系数的关系求出代数式的值. 【详解】由题意，可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，则1m n +=，3=-mn ， 所以原式=()2322008+-++n mn m =2622008+-++n mn m =()22014+-+m n mn =()2132014⨯--+ =2019 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根是本题的关键.18．6．【解析】【分析】把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得出9+3a﹣2a＝0，求出a＝﹣9，方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，得出b+3＝9，求出即可．【详解】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得：9+3a﹣2a＝0，解得：a＝﹣9，即方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，则b+3＝9，解得：b＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是求出a的值和得出b+3＝9．19．1．【解析】【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2017α＝﹣1、β2+2017β＝﹣1、αβ＝1，将（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）转化为αβ代入数据即可得出结论．【详解】∵α、β是方程x2+2017x+1＝0的两根，∴α2+2017α＝﹣1，β2+2017β＝﹣1，αβ＝1，∴（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）＝αβ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得到两根之积的值.20．﹣5．【分析】根据根与系数的关系求解即可. 【详解】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣5； 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 21．（1）m ＜2；（2）m ＞1；（3）m=4． 【解析】 【分析】（1）令∆>0列式求解即可；（2）令x 1x 2＞0，结合（1）的结论求解即可；（3）用含m 的式子表示出x 1x 2与x 12+x 22的值，把所给代数式变形为1+x 1x 2=(x 1+x 2)2，代入x 1x 2与x 12+x 22的值即可求出m 的值. 【详解】解：（1）∵△=（-2）2-4（m-1）=-4m+8＞0， ∴m ＜2时，方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是这个方程的两个实根，则x 1＞0，x 2＞0， ∴x 1x 2=m-1＞0， ∴m ＞1，∴方程的两根都是正数，m 的取值范围是：1＜m≤2； （3）∵x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1， ∴1-x 1x 2=x 12+x 22， ∴1+x 1x 2=(x 1+x 2)2， ∴1+m-1=22， ∴m=4．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.22．有两个不相等的实数根. 【解析】 【分析】根据关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=-，即可判断该方程根的情况.【详解】解：∵方程2210x x a +-+=没有实数根 ∴240b ac ∆=-< ∴2241(1)0a -⨯⨯-+< 解得：0a <关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=- ∵0a < ∴(4)0a a ->∴关于x 的方程20x ax a ++=有两个不相等的实数根. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键. 23．（1）34k >；（2）11x =，22x = 【解析】 【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此可得关于k 的不等式，解不等式即可求(2)由根与系数的关系结合已知可求得k 的值，进而可求得原方程的根. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根， ∴△>0，即[]()22(21)4110k k -+-⨯⨯+>，整理得，430k ->， 解得：34k >， 故实数k 的取值范围为34k >； (2)∵方程的两个根分别为12x x 、， ∴12213x x k +=+=， 解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=， ∴11x =，22x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 24．（1）12k ≤；（2）k ＝－3 【解析】 【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0；（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1；②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)； 【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0 解得12k ≤（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1 解得k 1＝k 2＝1 ∵12k ≤∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1) 解得k 1＝1，k 2＝－3 ∵12k ≤∴k ＝－3综合①、②可知k ＝－3 【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式. 25．（1）k ＝﹣3；（2）存在，k ＝0，﹣2. 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+，代入代数式解方程即可得到结论； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k +，求得1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝11k k -+于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得k ≠0且△＝（﹣2k ）2﹣4k （k +1）≥0， 解得k ≤0； ∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∵x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2， ∴2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝8﹣9(1)k k+＝2，∴k ＝﹣3； （2）存在，理由：∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∴1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝2×11k k -+的为整数， ∴k ＝0，﹣2时，1221x x x x +的值为整数． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键． 26．a=-335. 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=-(3a-1)，x 1•x 2=2a 2-1，根据(3x 1- x 2)(x 1-3 x 2)=-80，可得关于a 的方程，即可求出a 的值，利用判别式检验即可得答案. 【详解】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1， ∴x 1+x 2=-b a =-(3a-1)，x 1•x 2=ca=2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80， ∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80， ∴5a 2+18a-99=0， ∴a=3或-335， 当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a=-335【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法27．（1）a＝12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）将x=1带入方程中即可求出a的值（2）两个不相等的实根，用判别式求出a的值即可. 【详解】解：(1)将x＝1代入x2＋ax＋a－2＝0中，得1＋a＋a－2＝0.解得a＝1 2(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4.∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4＞0.∴不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根．【点睛】此题重点考察学生对一元二次方程的解的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.28．（1）m≥34；（2）m=2.【解析】【分析】（1）令△≥0即可求出m的取值范围；（2）将x12+x22=15转化为（x1+x2）2-2x1x2=15，再代入计算即可解答．【详解】解：（1）由题意有△=（2m+1）2-4（m2+1）≥0，解得m≥34．即实数m的取值范围是m≥34．（2）由x 12+x 22=15得（x 1+x 2）2-2x 1x 2=15， ∵x 1+x 2=-（2m+1），x 1x 2=m 2+1， ∴[-（2m+1）]2-2（m 2+1）=15， 即m 2+2m-8=0， 解得m=-4或m=2． ∵m≥34， ∴m=2．故实数m 的值为2． 【点睛】本题考查根的判别式与根与系数的关系，熟悉完全平方公式是解题的关键． 29．（1）详见解析；（2）2k =，21x = 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（k ﹣3）2≥0，从而证出无论k 取任何值，方程总有实数根． （2）先把x ＝2代入原方程，求出k 的值，再解这个方程求出方程的另一个根． 【详解】(1)证明:(方法一)222(5)4(4)69(3)0k k k k k ∆=---=-+=-Q …. ∴无论k 为何值时，方程总有实数根.(方法二)将1x =代人方程，等式成立，即1x =是原方程的解， 因此，无论k 为何值时，方程总有实数根， (2)把2x =代人方程解得2k =， 解方程2320x x -+=得21x = 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．30．（1）2m <；（2）12m <<；（3）m 无解.. 【解析】【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1，将2212121-=+x x x x 变形后代入，即可求出答案.【详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆，即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得： 122x x +=，121⋅=-x x m ，∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>，即10m ->∴1m >又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<（3）∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ，将122x x +=，121⋅=-x x m 代入可得： 2112+-=m ，解得4m =.而2m <，所以m=4不符合题意，故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.。