导数与定积分测试题

第 1 页 共 8 页 高二理科数学导数与定积分测试题

（日期：2015年3月19日 时间：120分钟）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1. 10dxex=（ ）

A. 1 B. 1e C.e D.1e

2. 曲线2)(3xxxf的一条切线平行于直线14xy，则切点P0的坐标为( )

A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)

C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)

3. 函数)1()1()(2xxxf在1x处的导数等于（ ）

A. 1 B.2 C.2 D.4

4. 函数xxxxf23)(的单调递减区间是（ ）

A. )31,1(

B. )1,31( C. )31,1( D. )1,31(

5. 若209,TxdxT则常数的值为( )

A. 9 B.-3 C. 3 D. -3或3

6.已知函数xxxfln)(，则函数)(xf（ ）

A. 在ex 处取得极小值 B. 在ex 处取得极大值

C.在ex1 处取得极小值 D. 在ex1 处取得极大值

7.函数f(x)在其定义域内可导，)(xfy的图象如右图所示，则导函数)('xf的图象为( )

8.若函数axxxxf93)(23在区间[-2,-1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（ ）

A.-5 B.7 C.10 D.-19

9．已知kxkxxf22)(2在(1,2)存在单调递增区间，则k的取值范围是（ ）

A. 211k B. 211kk或 C. 1k D. 21k 第 2 页 共 8 页 10. dxx sin2402（ ）

A. 214 B. 218 C. 14 D. 18

11. 已知函数axxxf3)(在],1[x上单调增函数，则a的取值范围是（ ）

A. )1,( B. ]1,( C. )3,( D. ]3,(

12.已知定义在实数集R上的函数)(xf满足,2)1(f且)(xf的导数)('xf在R上恒有)(1)('Rxxf，则不等式1)(xxf的解集为（ ）

A. ),1( B. )1,( C. )1,1( D. ),1()1,(

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 曲线2xxy在点(-1,-1)处的切线方程为___________

14. dxx))1(1( 212________

15. 由曲线22xy和直线xy3，2,0xx所围成平面图形的面积为______

16.已知函数1)6()(23xmmxxxf既存在极大值也存在极小值，则实数m的取值范围是___________

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)若函数xxxxfln34231)(2.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)的极值．

第 3 页 共 8 页 18. (12分)已知函数bxaxxxf23)(在32x与1x处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在区间[-2.2]上的最大值与最小值.

19. (12分)已知)1ln(2)1()(2xxxf.

(1)若当]1,11[eex时，不等式0)(mxf恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若关于x的方程axxxf2)(在区间[0,2]上恰有两个相异的实数根，求实数a的取值范围.

20. (12分)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？

第 4 页 共 8 页 21. (12分)设a为实数，函数Rxaxexfx,22)(.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)当2ln1a且0x时，求证：122axxex.

22. (12分)设,Ra已知函数xxaaxxfln2)12(21)(2.

（1）求)(xf的单调区间；

（2）设xxxg2)(2，若对任意的],2,0(1x均存在],2,0(2x使得)()(21xgxf，求a的取值范围.

第 5 页 共 8 页 2015年3月18日高二（理科）数学测试题答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 B B D A C B D A C A D A

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. ____________________ 14. ________________________

15.______________________ 16.________________________

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.(10分)

解：由已知，)(xf的定义域为),0(，且xxxxxxf3)2)(1(234232)('

0)('xf解得，21xx或

x (0,1)

1 (1,2) 2 (2,+∞)

f＇(x) － 0 + 0 －

f(x) 极小值 极大值

（1）f(x)的单调增区间为（1,2），单调减区间为（0,1）和（2，+∞）

（2）由上表知，2ln3438)2()(,35)1()(fxffxf极大极小

18.（12分）

解：（1）baxxxf23)('2

由题意，023)1(' ,03434)32('bafbaf

解得，2,21ba.经检验，符合题意. xxxxf221)(23

(2)由（1）知，0)('xf得，132xx或

x )32,2( 32 )1,32( 1 )2,1(

f’(x) + 0 — 0 +

f(x) 极大 极小

又2)2(,23)1(,2722)32(,6)2(ffff

由上表知，f(x)在区间[-2,2]上，有2)2()( ,6)2()(maxminfxffxf

4012yx163mm或第 6 页 共 8 页 19.（12分）

解：由题意，不等式f(x)-m<0恒成立，即f(x)

)(xf的定义域为（-1，+∞）

且01)2(212)1(2)('xxxxxxf解得，)(20舍或xx

（1）在区间)1,11(ee上，有：

x )0,11(e 0 )1,0(e

f’(x) _ 0 +

f(x) 极小

又2)1( 21)11(22eefeef，即)1( )11(efef

由上表可知，2)1( )(2maxeefxf, ∴22em

（2）设)1ln(21)()(2xxxxxfxg，

11)(xxxg，令0)(xg，得1x，

x 0 （0，1） 1 （1，2） 2

)(xg － 0 ＋

)(xg 1 ↘ 极小值2ln22 ↗ 3ln23

方程axxxf2)(可化为axg)(，若axg)(在[0，2]上有两个相异实根，

则3ln232ln22a，故所求a的取值范围是]3ln23,2ln22(

20.（12分）学与测原题：1.4生活中的优化问题----活学活用2

提示：设速度为x km/h, 则每千米的总费用xxxxy965003)965003(123

0962503'2xxy得20x

x )20,0( 20 ),20(

f’(x) _ 0 +

f(x) 极小

由上表知，当x=20时，y有最小值.

即当轮船以20km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最少.

第 7 页 共 8 页 21.（12分）

解：（1））（xf的定义域为R,02'xexf）（得2lnx

x )2ln,( 2ln ),2(ln

f’(x) _ 0 +

f(x) 极小

所以，f(x)的单调减区间为)2ln,(，单调增区间为),2(ln

)(xf极小值2ln222)2(lnaf，无极大值

（2）设 ,122axxexgx）（则 ,22'axexgx）（

由（1）知， )('xfxg）（，所以由（1）中表格知，a)ln2-2(1 )2(ln'minfxg）（，

又2ln1a，所以，02ln222a，即0'min）（xg，

所以0'）（xg在(0，+∞)恒成立.从而，)(xg在(0，+∞)上单调递增.

所以，在(0，+∞)上，0g(0) )(xg，所以， 122axxex

22.（12分）

解：（1）函数 ）（xf的定义域为（0，+∞）

xxaxxxaaxxaaxxf)2)(1(2)12(2)12('2）（

○1当a=0时，xxxf2'）（

函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；

当a≠0时，0'）（xf得，axx12或

○2当a<0时，有：

x )2,0( 2 ),2(

f’(x) + 0 —

f(x) 极大

函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；

○321a时，0'）（xf得，2x，则：0'）（xf在（0，+∞）上恒成立.

所以，f(x)在（0，+∞）上单调递增.

○4当21a时，则：