2006年惠州市第一中学高二数学必修5水平测试答案

实用文档之"人教版高中数学必修5课后习题解答"第一章 解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4）1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =︒； （2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =︒.2、（1）65A ≈︒，85C ≈︒，22c ≈；或115A ≈︒，35C ≈︒，13c ≈；（2）41B ≈︒，24A ≈︒，24a ≈.练习（P8）1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈︒≈︒≈； （2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈︒≈︒≈.2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）24.7,44.9,110.4A B C ≈︒≈︒≈︒.习题1.1 A 组（P10）1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈︒； （2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=︒2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈（2）35,85,17B C c cm ≈︒≈︒≈；（3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈；3、（1）49,24,62A B c cm ≈︒≈︒≈； （2）59,55,62A C b cm ≈︒≈︒≈；（3）36,38,62B C a cm ≈︒≈︒≈；4、（1）36,40,104A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）48,93,39A B C ≈︒≈︒≈︒； 习题1.1 A 组（P10）1、证明：如图1，设ABC ∆的外接圆的半径是R ，①当ABC ∆时直角三角形时，90C ∠=︒时，ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上. 在Rt ABC ∆中，sin BC A AB =，sin AC B AB= 即sin 2a A R =，sin 2b B R = 所以2sin a R A =，2sin b R B = 又22sin902sin c R R R C ==⋅︒= 所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===②当ABC ∆时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2），作过O B 、的直径1A B ，连接1A C ，则1A BC ∆直角三角形，190ACB ∠=︒，1BAC BAC ∠=∠.（第1题图1）在1Rt A BC ∆中，11sin BC BAC A B =∠， 即1sin sin 2a BAC A R=∠=， 所以2sin a R A =，同理：2sin b R B =，2sin c R C =③当ABC ∆时钝角三角形时，不妨假设A ∠为钝角，它的外接圆的圆心O 在ABC ∆外（图3）作过O B 、的直径1A B ，连接1A C .则1A BC ∆直角三角形，且190ACB ∠=︒，1180BAC∠=︒-∠在1Rt A BC ∆中，12sin BC R BAC =∠，即2sin(180)a R BAC =︒-∠即2sin a R A =同理：2sin b R B =，2sin c R C =综上，对任意三角形ABC ∆，如果它的外接圆半径等于则2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===2、因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =因为02,22A B π<<，所以22A B =，或22A B π=-，或222A B ππ-=-. 即A B =或2A B π+=. 所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2sin2A B =后，也可以化为sin2sin20A B -=所以cos()sin()0A B A B +-=2A B π+=，或0A B -=即2A B π+=，或A B =，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在ABS ∆中，32.20.516.1AB =⨯= n mile ，115ABS ∠=︒，根据正弦定理，sin sin(6520)AS AB ABS =∠︒-︒ （第1题图3）得sin 16.1sin115sin(6520)AS AB ABS ==⨯∠=⨯︒-︒∴S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯︒=⨯︒≈（cm ）.∴这艘船可以继续沿正北方向航行.2、顶杆约长1.89 m.练习（P15）1、在ABP ∆中，180ABP γβ∠=︒-+，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=︒---∠=︒---︒-+=-在ABP ∆中，根据正弦定理，sin sin AP AB ABP APB=∠∠ sin(180)sin()AP a γβγα=︒-+- sin()sin()a AP γβγα⨯-=- 所以，山高为sin sin()sin sin()a h AP αγβαγα-==- 2、在ABC ∆中，65.3AC =m ，25251738747BAC αβ'''∠=-=︒-︒=︒909025256435ABC α''∠=︒-=︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC=∠∠ sin 65.3sin7479.8sin sin6435AC BAC BC ABC '⨯∠⨯︒==≈'∠︒m 井架的高约9.8m.3、山的高度为200sin38sin 29382sin9⨯︒︒≈︒m 练习（P16）1、约63.77︒.练习（P18）1、（1）约2168.52 cm ； （2）约2121.75 cm ； （3）约2425.39 cm .2、约24476.40 m3、右边222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c ab ac+-+-=+=⨯+⨯ 22222222222a b c a c b a a a a a+-+-=+===左边 【类似可以证明另外两个等式】习题1.2 A 组（P19）1、在ABC ∆中，350.517.5BC =⨯= n mile ，14812622ABC ∠=︒-︒=︒ 78(180148)110ACB ∠=︒+︒-︒=︒，1801102248BAC ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC=∠∠ sin 17.5sin 228.82sin sin 48BC ABC AC BAC ⨯∠⨯︒==≈∠︒n mile 货轮到达C 点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在BCD ∆中，301040BCD ∠=︒+︒=︒，1801804510125BDC ADB ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒130103CD =⨯= n mile 根据正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD=∠∠ 10sin (18040125)sin 40BD =∠︒-︒-︒︒10sin 40sin15BD ⨯︒=︒在ABD ∆中，451055ADB ∠=︒+︒=︒，1806010110BAD ∠=︒-︒-︒=︒1801105515ABD ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB==∠∠∠，即sin15sin110sin55AD BD AB ==︒︒︒10sin 40sin15sin1510sin 40sin15 6.84sin110sin110sin 70BD AD ⨯︒⨯︒⨯︒⨯︒︒===≈︒︒︒n mile sin5510sin 40sin5521.65sin110sin15sin70BD AB ⨯︒⨯︒⨯︒==≈︒︒⨯︒ n mile如果一切正常，此船从C 开始到B 所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈ min 即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B 岛.4、约5821.71 m5、在ABD ∆中，700 km AB =，1802135124ACB ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，700sin124sin35sin 21AC BC ==︒︒︒700sin35sin124AC ⨯︒=︒，700sin 21sin124BC ⨯︒=︒700sin35700sin 21786.89 km sin124sin124AC BC ⨯︒⨯︒+=+≈︒︒所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A 处探照灯的距离是4801.53 m ，飞机离B 处探照灯的距离是4704.21 m ，飞机的高度是约4574.23 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是150******** m 3600d =⨯⨯ 根据正弦定理，sin(8118.5)sin18.5d x =︒-︒︒这里x 是飞机看到山顶的俯角为81︒时飞机与山顶的距离.飞机与山顶的海拔的差是：sin18.5tan81tan8114721.64 m sin(8118.5)d x ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒-︒ 山顶的海拔是2025014721.645528 m -≈8、在ABT ∆中，21.418.6 2.8ATB ∠=︒-︒=︒，9018.6ABT ∠=︒+︒，15 m AB =根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT =︒︒，即15cos18.6sin 2.8AT ⨯︒=︒塔的高度为15cos18.6sin 21.4sin 21.4106.19 m sin 2.8AT ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒9、3261897.8 km 60AE ⨯== 在ACD ∆中，根据余弦定理：AC =101.235==根据正弦定理，sin sin AD AC ACD ADC=∠∠ sin 57sin66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ⨯∠⨯︒∠==≈ 30.96ACD ∠≈︒13330.96102.04ACB ∠≈︒-︒=︒在ABC∆中，根据余弦定理：AB =（第9题）245.93=≈222222245.93101.235204cos 0.584722245.93101.235AB AC BC BAC AB AC +-+-∠==≈⨯⨯⨯⨯ 54.21BAC ∠=︒在ACE∆中，根据余弦定理：CE =90.75=≈22222297.890.75101.235cos 0.42542297.890.75AE EC AC AEC AE EC +-+-∠=≈≈⨯⨯⨯⨯ 64.82AEC ∠=︒180(18075)7564.8210.18AEC ︒-∠-︒-︒=︒-︒=︒ 所以，飞机应该以南偏西10.18︒的方向飞行，飞行距离约90.75 km . 10、如图，在ABC ∆AC ==37515.44 km ==222222640037515.44422000.692422640037515.44AB AC BC BAC AB AC +-+-∠=≈≈-⨯⨯⨯⨯ 133.82BAC ∠≈︒， 9043.82BAC ∠-︒≈︒所以，仰角为43.82︒11、（1）211sin 2833sin 45326.68 cm 22S ac B ==⨯⨯⨯︒≈ （2）根据正弦定理：sin sin a c A C =，36sin sin66.5sin sin32.8a c C A =⨯=⨯︒︒2211sin66.5sin 36sin(32.866.5)1082.58 cm 22sin32.8S ac B ︒==⨯⨯⨯︒+︒≈︒（3）约为1597.94 2cm 12、212sin 2nR nπ. 13、根据余弦定理：222cos 2a c b B ac +-= 所以222()2cos 22a a a m c c B =+-⨯⨯⨯ 22222()22a a c b c a c ac +-=+-⨯⨯ 222222222211()[42()]()[2()]22a c a cb bc a =+-+-=+- 所以a m =，同理b m =，c m =14、根据余弦定理的推论，222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca +-= 所以，左边(cos cos )c a B b A =-222222()22c a b b c a c a b ca bc+-+-=⨯-⨯ 222222221()(22)222c a b b c a c a b c c +-+-=-=-=右边 习题1.2 B 组（P20）1、根据正弦定理：sin sin a b A B =，所以sin sin a B b A= 代入三角形面积公式得211sin 1sin sin sin sin 22sin 2sin a B B C S ab C a C a A A==⨯⨯= 2、（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-= 由同角三角函数之间的关系，sin C == 代入1sin 2S ab C =，得B （第13题）成功学习网-2013 222211()22a b c S ab ab+-=- 222221(2)()4ab a b c =-+- 2222221(2)(2)4ab a b c ab a b c =++---+ 1()()()()4a b c a b c c a b c a b =+++-+--+ 记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=- 代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯= 其中1()2p a b c =++，所以()()()S p a p b p c r p p ---== （3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯ 所以，22()()()a S h p p a p a p a a a==---，即2()()()a h p p a p a p a a=--- 同理2()()()b h p p a p a p a b =---，2()()()c h p p a p a p a c=--- 第一章 复习参考题A 组（P24）1、（1）219,3851,8.69 cm B C c ''≈︒≈︒≈； （2）4149,10811,11.4 cm B C c ''≈︒≈︒≈；或13811,1149, 2.46 cm B C c ''≈︒≈︒≈ （3）112,3858,28.02 cm A B c ''≈︒≈︒≈； （4）2030,1430,22.92 cm B C a ''≈︒≈︒≈；（5）1620,1140,53.41 cm A C b ''≈︒≈︒≈； （6）2857,4634,10429A B C '''=︒=︒=︒；2、解法1：设海轮在B 处望见小岛在北偏东75︒，在C 处望见小岛在北偏东60︒，从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线，垂线段AD 的长度为x n mile ，CD 为y n mile.（第2题）则 tan 30tan 308tan 30tan15tan1588tan15x x y y x x x x y y ⎧⎧=︒=⎪⎪⎪⎪︒⇒⇒=-⎨⎨︒︒⎪⎪=︒=+⎪⎪+︒⎩⎩ 8tan15tan304tan30tan15x ︒︒==︒-︒所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.3、根据余弦定理：2222cos AB a b ab α=+- 所以AB =222cos 2a AB b B a AB+-=⨯⨯2222==从B ∠的余弦值可以确定它的大小.类似地，可以得到下面的值，从而确定A ∠的大小. cos A =4、如图，,C D 是两个观测点，C 到D 的距离是d ，航船在时刻1t 在A 处，以从A 到B 的航向航行，在此时测出ACD ∠和CDA ∠. 在时刻2t ，航船航行到B 处，此时，测出CDB ∠和BCD ∠. 根 据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BC 的长，在ACD ∆中， 可以计算出AC 的长. 在ACB ∆中，AC 、BC 已经算出，ACB ACD BCD ∠=∠-∠，解ACD ∆，求出AB 的长，即航船航行的距离，算出CAB ∠，这样就可以算出航船的航向和速度.5、河流宽度是sin()sin sin h αβαβ-. 6、47.7 m. 7、如图，,A B 是已知的两个小岛，航船在时刻1t 在C 处，以从C 到D 的航向航行，测出ACD ∠和BCD ∠. 在时刻2t ，航船航行 到D 处，根据时间和航船的速度，可以计算出C 到D 的距离是d ，在D 处测出CDB ∠和CDA ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BD 的长，在ACD ∆中，可以计算出AD的长. 在ABD ∆中，AD 、BD 已经算出，ADB CDB CDA ∠=∠-∠，根据余弦定理，就可以求出AB 的长，即两个海岛,A B 的距离.第一章 复习参考题B 组（P25）1、如图，,A B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点处，测出图中AEF ∠，AFE ∠的大小，以及EF 的距离. 定理，解AEF ∆，算出AE . 在BEF ∆中，测出BEF ∠和BFE ∠， 利用正弦定理，算出BE . 在AEB ∆中，测出AEB ∠，利用余弦定 理，算出AB 的长. 本题有其他的测量方法.2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：（1）已知一边和这边上的高：111,,222a b c S ah S bh S ch ===； （2）已知两边及其夹角：111sin ,sin ,sin 222S ab C S bc A S ca B===； （3）已知三边：S =，这里2a b c p ++=； （4）已知两角及两角的共同边：222sin sin sin sin sin sin ,,2sin()2sin()2sin()b C A c A B a B C S S S C A A B B C ===+++； （5）已知三边和外接圆半径R ：4abc S R=. 3、设三角形三边长分别是1,,1n n n -+，三个角分别是,3,2απαα-.由正弦定理，11sin sin 2n n αα-+=，所以1cos 2(1)n n α+=-. 由余弦定理，222(1)(1)2(1)cos n n n n n α-=++-⨯+⨯⨯.即2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +-=++-⨯+⨯⨯-，化简，得250n n -= 所以，0n =或5n =. 0n =不合题意，舍去. 故5n =所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.（1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为123+=，而三角形任何两边之和大于第三边.（2）如果三边分别是2,3,4a b c ===.因为 2222223427cos 22348b c a A bc +-+-===⨯⨯22717cos22cos 12()1832A A =-=⨯-=2222222341cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯在此三角形中，A 是最小角，C 是最大角，但是cos2cos A C ≠， 所以2A C ≠，边长为2,3,4的三角形不满足条件.（3）如果三边分别是3,4,5a b c ===，此三角形是直角三角形，最大角是90︒，最小角不等于45︒. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是4,5,6a b c ===.此时，2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯2231cos22cos 12()148A A =-=⨯-=2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯此时，cos2cos A C =，而02,A C π<<，所以2A C = 所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.（5）当4n >，三角形的三边是,1,2a n b n c n ==+=+时，三角形的最小角是A ，最大角是C . 222cos 2b c a A bc+-=222(1)(2)2(1)(2)n n n n n +++-=++2652(1)(2)n n n n ++=++52(2)n n +=+1322(2)n =++222cos 2a b c C ab +-=222(1)(2)2(1)n n n n n ++-+=+2232(1)n n n n --=+32n n -=1322n=-cos A 随n 的增大而减小，A 随之增大，cos C 随n 的增大而增大，C 随之变小.由于4n =时有2C A =，所以，4n >，不可能2C A =. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.第二章 数列2．1数列的概念与简单表示法 练习（P31）2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-；（2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33） 1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）（3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；（2）1，2； n a =4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2．2等差数列 练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d .5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立；（2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40） 1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和 练习（P45） 1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =； 将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2．4等比数列 练习（P52）1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==.2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n qq --==.那么数列{}n a12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51 q=≈6、由已知条件知，,2a bA G+=，且2a bA G+-==所以有A G≥，等号成立的条件是a b=. 而,a b是互异正数，所以一定有A G>.7、（1）2±；（2）22()ab a b±+. 8、（1）27，81；（2）80，40，20，10.习题2.4 B组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11mma a q-=，11nna a q-=，其中1,0a q≠所以1111mm nmnna a qqa a q---==2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q，n年后的残留量为na，则{}n a是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则57305730112na a q q===，解得157301()0.9998792q=≈（2）设动物约在距今n年前死亡，由0.6na=，得10.9998790.6nna a q===.解得4221n≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a+==+，1040203050a a a a+==+由此可以猜想，在等差数列{}n a中若*(,,,)k s p q k s p q N+=+∈，则k s p qa a a a+=+.从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a的图象，可以看出kpa ka p=，sqa sa q=（第3题）根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2．5等比数列的前n 项和 练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---.（2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ） 4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=- 当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+---（3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n nn x nx S x x-=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列 习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =.所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ） （2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ） 4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率. 因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪ 故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略.（2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪ 解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪.根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪成功学习网-2013根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d-=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c 不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=-- 所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪ 2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪…… 5年后达到资金54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪解得 459x ≈（万元）第三章 不等式3．1不等关系与不等式 练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）24<； （2>3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++（2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+ （4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+>所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少.3．2一元二次不等式及其解法 练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为11x x x ⎧⎪<>+⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是11x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y =R.（2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y {}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤ 习题3.2 B 组（P81）1、（1）x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为3322x x x ⎧⎪<-<+⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<而150151)13.7202=≈（h ），3001520=. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤.类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值.解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-（第1题）2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2200x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥30002000z x y =+，当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题3.3A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥ 2、3（第2题）解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+= 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z .则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）（第3题）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元. 习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.（第2题）所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元） 使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2.2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +=≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab = 所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=++++=≥。

双基限时练(十九)1．不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方D ．左下方解析 取点(0,0)验证，知原点不在x －2y ＋6<0的区域内， ∴x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方． 答案 C2．不在3x ＋2y <6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2)D ．(2,0)解析 把各点的坐标代入不等式3x ＋2y <6验证，知(2,0)不成立． 答案 D3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －6≤0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 代入两个特殊点(0,0)，(－3,0)试之，即可． 答案 B4．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 依题意，可得(－7－a )(24－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0.∴－7<a <24. 答案 B5．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分是()A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1>0，2x ＋3y －6<0，x －y －1≥0，x －2y ＋2≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1<0，2x ＋3y －6≥0，x －y －1≥0，x －2y ＋2<0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0，2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，2x ＋3y －6<0，x －y －1<0，x －2y ＋2≥0答案 C6．下面给出的四个点中，到直线x －y ＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( ) A ．(1,1) B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)解析 将点(－1，－1)代入验证，知满足题意．故选C. 答案 C7．不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积是______________．解析 画出|x |＋|y |≤1所表示的平面区域如图，其面积为2.答案 28．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x － by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是________．解析 ∵点P (1，－2)关于原点的对称点(－1,2)有且仅有一个适合不等式2x －by ＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＋1>0，－2－2b ＋1≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋1>0，2＋2b ＋1≤0， 解得b ≥－12或b ≤－32.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞9．画出不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域．解 (x －y ) (x －y －1)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0， 而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0无解，故不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <x ，x ＋2y <4，y >－2表示的平面区域．解 原不等式组等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －4<0，y ＋2>0，①②③将(1,0)代入①②③的左边．根据“异号下”的规则，不等式①表示的平面区域在直线x －y ＝0的右下方，不等式②表示的区域在直线x ＋2y －4＝0的左下方．根据“同号上”的规则，不等式③表示的平面区域在直线y ＋2＝0上方．故不等式组表示的平面区域如图中的三角形阴影(不包括边界)．11．在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组(包括边界)．解 由两点式，得AB ，BC ，CA 的直线方程并化简为：AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0，如图所示．原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号，可得不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.。

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1, 2， 3，…，n【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列． 【答案】 C2．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12B ．－1C ．－2D ．2 【解析】 由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190 【解析】 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100. 【答案】 B7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16， ∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2) ＝4d ＝16－4＝12， ∴d ＝3. 【答案】 B8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1， ∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30【解析】 法一 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二 由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28.【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27， ∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12. 【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20 【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0.S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________. 【导学号：05920082】 【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________． 【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，316．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2， S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2， ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2. ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0. ∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2.即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6与数列{a n}的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)，满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0. 【导学号：05920083】(1)令c n＝a nb n，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.【解】(1)因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0(n∈N*)，所以a n＋1b n＋1－a nb n＝2，即c n＋1－c n＝2.所以数列{c n}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故c n＝2n－1.(2)由b n＝3n－1知a n＝c n b n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n.相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000，即2n >1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10. 于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n (n ＋1)2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n (n ＋1)2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22.所以T n＝⎩⎨⎧－(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.。

数学必修五模块检测一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分）2. 在△ ABC 中，已知 a 8，B= 0 ， C=75 060 ，则 b 等于22A. 4 6B.4 5C.4 3D.33.ABC 中，三内角 A 、 B 、 C 成等差数列，则 sin B =已知A.1B.3 C.2 D.322234. 在等差数列n 中，已知 a 5 21,则 a 4 a 5 a 6 等于aA ． 15 B． 33 C． 515. 已知等比数列{ a n } 的公比为 2，前 4 项的和是 1，则前 8 项的和为A ． 15B ． 17C ． 19 D． 21 7. 已知点 (3 ， 1) 和 (4 ， 6) 在直线 3x -2 y +a =0 的两侧 , 则 a 的取值范围是A. a 0B.a 7C. a0 或 a 7D.7 a8. 数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若a n1，则S 等于nnn(n1)5B.5C.1 D.166309. 在△ ABC 中， AB=3， BC=13 ， AC=4，则边 AC 上的高为A.32B.33C.3 D.3 322212. 设 ABC 的三内角 A 、 B 、 C 成等差数列， sin A 、 sin B 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题： ( 共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13. 设等比数列 { a n } 的公比为 q1 S 4 _____________.2，前 n 项和为 S n ，则a 414. 在△ ABC 中，若 a 2 b 2 bc c 2 ,则 A _________。

三、解答题 ( 共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .)17.（本小题满分 12 分）(1)S n为等差数列{a n}的前n项和，S2S6,a41，求a5.(2)在等比数列a n中，若 a4 a224, a2a36, 求首项 a1和公比q.18. （本小题满分12 分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且a b 2 1, sin A510, sin B. 510（1）求a,b的值；（2）求角 C和边 c 的值。