人教A版高二数学必修五第一章1-2 第3课时 三角形中的几何计算共31张 精品

2020年精品试题芳草香出品第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝35， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6. 答案：B2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°解析：4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以4·12bc sin A ＝2bc cos A ， 所以tan A ＝1，又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝45°.答案：A3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113， 所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin C cos C ＝－12＝－2 3. 答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，解得c＝2，b＝4，因为cos A＝78，所以sin A＝15 8，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×2×158＝152.答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.。

第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝35， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6. 答案：B2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°解析：4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以4·12bc sin A ＝2bc cos A ， 所以tan A ＝1，又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝45°.答案：A3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )A.12B.32C. 3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113， 所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin C cos C ＝－12＝－2 3. 答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152. 答案：A二、填空题6．△ABC 中，下述表达式：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(B ＋C )＋cos A 表示常数的是________．解析：①sin(A ＋B )＋sin C ＝sin(π－C )＋sin C ＝2sin C ，不是常数；②cos(B ＋C )＋cos A ＝cos(π－A )＋cos A ＝0，是常数．答案：②7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a －b ＝4，所以a ＞b ，又因为a ＋c ＝2b ，所以b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝4＋c ，所以a ＞b ＞c .所以最大角为A ，所以A ＝120°，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 所以b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2＝－b (b －4)，即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b ＝－b 2＋4b ，所以b ＝10，所以a ＝14，c ＝6.故周长为30.答案：308．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________．解析：因为12bc sin A ＝2203， 所以c ＝55，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401.所以a ＝49.答案：49三、解答题9．某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m ，90 m ，120 m ，这个区域面积是多少？解：设a ＝70 m ，b ＝90 m ，c ＝120 m.根据余弦定理的推论，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝702＋1202－9022×70×120＝23， sin B ＝ 1－（23）2＝53. 应用S ＝12ca sin B ，得 S ＝12×120×70×53＝1 400 5 (m 2)， 即这个区域的面积为1 400 5 m 2.10．在△ABC 中，c ＝22，a >b ，tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，试求a ，b 及△ABC 的面积．解：因为tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，且a >b ，所以A >B ，tan A >tan B ，所以tan A ＝3，tan B ＝2，A ，B 都是锐角．所以sin A ＝31010，cos A ＝1010， cos B ＝55，sin B ＝255， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C得， a ＝6105，b ＝855，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6105×855×22＝245. B 级 能力提升1．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：依题意得：c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154，所以b ＝2.答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则角C 的值为________． 解析：由正弦定理得 1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin C sin B， 即sin （A ＋B ）sin B cos A ＝2sin C sin B， 所以cos A ＝12，A ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，A ＝π3， sin A ＝32，由asin A ＝csin C 得sin C ＝22，又c <a ，C <A ，所以C ＝π4. 答案：π43．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．解：因为tan B ＝12＞0，所以B 为锐角．所以sin B ＝55，cos B ＝255.因为tan C ＝－2＜0，所以C 为钝角．所以sin C ＝255，cos C ＝－55.所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝ 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255·255＝35. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2 sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1.所以R 2＝2512，R ＝536.所以πR 2＝2512 π，即外接圆的面积为2512 π.所以a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。