第十二讲
解三角形
1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ；
3 、三角形中的基本关系： sin( A B)
sin C , cos( A B) cosC , tan(A B)
tanC ,
sin
A B
cos C ,cos
A
B
sin C , tan
A B
cot
C
2
2 2
2 2
2
4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为
C 的外接圆的半
径，则有
a
b
c 2R ．
sin
sin C
sin
5 、正弦定理的变形公式：
①化角为边： a 2Rsin
， b 2Rsin ， c 2R sin C ；
②化边为角： sin a ， sin b
c
；
， sin C
2R
2R
2R
③ a : b: c sin
:sin :sin C ；④
a b c
a b c
． sin
sin sin C sin sin
sin C
7 、余弦定理：在
C 中，有 a 2
2 c 2
2bc cos 等，变形： cos
b 2
c 2 a 2
b
等，
2bc
8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）
9 、三角形面积公式：
1 1
1
S C
bc sin
ab sin Cac sin ．
2
2 2
10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形
式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：
①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ．
11 、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）
内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
12．坡角和坡比
坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比 )．
1. △ ABC 中，B 45o
，
C 60o c 1
，则最短边的边长等于（）
，
6 6 1 3
A 3
B 2
C 2
D 2
a b c
2. △ ABC 中，cos A
cos B
cosC
，则△ ABC 一定是（）
A 直角三角形
B 钝角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
60o， a a b c
3. △ABC 中，若A 3
，则 sin A sin B sin C 等于（）1
3
3
A 2
B 2
C
D 2
4. △ABC 中，A:B 1:2， C 的平分线 CD 把三角形面积分成3: 2两部分，则 cosA （）
1
B 1
C
3
D 0
A
2 4
3
5. 在钝角△ ABC 中，已知a
1 ， b
2
，则最大边
c
的取值范围是。
一、利用正弦、余弦定理解三角形
【例 1－ 1 】 (2012辽宁高考)在△ ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c .角 A， B， C 成等差数列．
(1)求 cos B的值；
(2)边 a， b ， c 成等比数列，求sin A sin C 的值．
sin A＋sin B 【例 1－ 2 】△ABC中，A，B，C所对的边为a，b， c，tan C＝cos A＋cos B，sin( B －A)＝
cos C.
(1)求 A，C；
(2) 若S△ABC＝ 3 ＋ 3 ，求a，c.
二、三角形形状的判定
【例2－ 1】△ABC 满足sin B ＝cos A sin C，则△ ABC 的形状是( )．
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【例 2－ 2 】在△ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角
A ，
B ，
C 的对边，且 2 a sin A ＝ (2 b ＋ c )sin B
＋(2 c ＋ b )sin C .
(1) 求 A 的大小；
(2) 若 sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．
三、与三角形面积有关的问题
【例 3】在△ ABC
B
C
a
b
c ＝ 2， C π 中，内角 ， ， 对边的边长分别是 ， ， ，已知 ＝ .
A c
3 (1) 若△ ABC 的面积等于
3 ，求 a ， b ；
(2) 若 sin C ＋ sin( B －A )＝2sin 2 A ，求△ ABC 的面积．
1 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c .若 a cos A ＝b sin B ，则 sin A cos A ＋ cos
2 B
＝(
)． 1 B ．
1 D ．1
A ．－
C ．－ 1
2
2
2 ．在△ ABC 中， (a ＋ b ＋ c )(a ＋b － c )＝
3 ab ，且 a cos B ＝b cos A ，则△ ABC 的形状为 ____ ． 3 ． (201
4 福建高考 )在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝ 60 °，∠ ABC ＝ 4
5 °， BC ＝ 3 ，则 AC ＝
___．
4 ． (2016 陕西高考 )在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 π
a ，
b ，
c .若 a ＝ 2 ， B ＝ ，c
6
＝2 3 ，则 b ＝ ______.
