高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc

【最新整理，下载后即可编辑】第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a RA =，sin 2b R B =，sin 2cC R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形：222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角）9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）ABC12D2. △ABC中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形 D等边三角形 3.△ABC中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C+-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 34. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（）A 13B 12C34D 05.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结１.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =． 推论:①定理:若α、β>0，且α+β＜π,则α≤β⇔sin sin αβ≤,等号当且当α＝β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理： s ｉnA ＞ sin Ｂ ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ ｂ （在上单调递减）2.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或.222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ﻩ 3.(1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.（2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角．4．判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．5．三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cotA B C A B C A B C +++===cos cos A B A B >⇔<cos y x =(0,)π解三角形[基础训练A 组]一、选择题1.在△A ＢＣ中,若0030,6,90===B a C ,则b c -等于（ )Ａ.1 B.1- C ．32 Ｄ．32-２．若A 为△ＡＢC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( ）A ．A sin B.A cos C ．A tan D ．Atan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ＡBC 的形状是（ )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060，则底边长为( ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 ５.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( )A ．006030或 B.006045或 C.0060120或 D.0015030或6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．090B ．0120 C.0135 D ．0150二、填空题1.在Rt △A ＢC 中，090C =,则B A sin sin 的最大值是＿＿____＿__＿＿_＿__。

高中数学必修5 第一章解三角形复习知识点总结与练习-9-16高中数学必修5第一章解三角形是高中数学的一个重要章节，本章主要介绍了三角形的基本概念、解三角形的方法和定理以及相关的性质。

下面我将对本章的知识点进行总结，并给出一些练习题进行巩固。

一、基本概念1. 三角形的定义：三边的连接所形成的图形叫做三角形。

2. 三角形的分类：按边长分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按角度分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

二、解三角形的方法和定理1. 正弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c该定理为解各种不同类型三角形的关键方法之一。

2. 余弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：c² = a² + b² - 2ab cosC该定理可以用于解决已知三边求角、已知两边一夹角求第三边等问题。

3. 正切定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：tanA/a = tanB/b = tanC/c该定理可以用于解决已知角求边、已知两边的夹角求第三边等问题。

4. 两角定理：若在三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

5. 直角三角形中的性质：直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值互为倒数关系。

三、练习题1. 已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 6cm，求三个内角的大小。

解：根据余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC将已知数据代入得：6² = 5² + 8² - 2×5×8 cosC化简得：36 = 25 + 64 - 80cosC化简得：75cosC = 53解得：cosC = 53/75从而得：C ≈ 46.6°同理，可以得出A ≈ 41.4°，B ≈ 92°2. 已知三角形ABC，AB = 7cm，BC = 9cm，A = 30°，求角B和边AC的长度。

必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。

②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式： ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C .(SSS)2、已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。

具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a<bsinA ，则B 无解当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

高二数学期末复习专题——解三角形复习要点1．正弦定理:2sin sin sin ab cR AB C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。

5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===.一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、在ΔABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =sinB =，求::a b c3、在ΔABC 中，若S ΔABC =41(a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 4．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．6．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ABC 中，有 （ ） A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA C ．cosA>sinB 且cosB<sinA D ．cosA<sinB 且cosB>sinA8、若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形9、钝角ΔABC 的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x 的取值围是：10.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个角A 、B 、C 所对的边 （1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．三．测量问题11．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且AB=60米，则树的高度为多少米？ 13.如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 314.一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 mile 的海面上有一走私船正以10 mile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14 mile/h, 若要在最短的时间追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,求追及所需的时间和α角的正弦值.15.如图，某市郊外景区一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会又开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 kmABC北东处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km. (1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C 和景点D 之间的距离．四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用16、设A 、B 、C 为三角形的三角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么三边a,b,c 的关系是17．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

1.已知△ABC中, , , , 则等于（）A 4B2.△ABC中, , , , 则最短边的边长等...... .. ）AB C12D3.长为5.7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABC中, , 则△ABC一定......... .. ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.△ABC中, , , 则△ABC一定........... .. ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC中, ∠A=60°, a= , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定7.△ABC中, , , , 则等....... .. ）A 30B 60C 30或150D 60或1208.△ABC中, 若, , 则等于（）A 2B 1229.△ABC中, , 的平分线把三角形面积分成两部分, 则.. ）A 13B12C34D 010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度, 则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11.在△ABC中, 如果, 那么等于。

12.在△ABC中, 已知, , , 则边长。

13.在钝角△ABC中, 已知, , 则最大边的取值范围是。

14.三角形的一边长为14, 这条边所对的角为, 另两边之比为8：5, 则这个三角形的面积为。

15在△ABC中, 已知边c=10, 又知, 求边a、b 的长。

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1.三角形三角关系: A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2.三角形三边关系: a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4.正弦定理: 在 中, 、 、 分别为角 、 、 的对边, 为 的外接圆的半径, 则有 .5.正弦定理的变形公式:①化角为边: , , ；②化边为角： , , ；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6.两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边, 求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角, 求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式: . =2R2sinAsinBsinC= = =8、余弦定理：在 中, 有 , ,2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论: , , .10、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角, 求其余的量。

高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜π，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ b cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。

两边和夹角 (如a 、b 、c)余弦定理 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。