2019届湖南师范大学附属中学高三上学期月考(五) 数学(理)(解析版)

页 1第 湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)

数 学(理科)

审题：高三数学备课组

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足z·(－1＋3i)＝1＋7i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(A)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】易得z＝2－i，则z对应的点为(2，1)．故选A.

2．设m为给定的一个实常数，命题p：x∈R，x2－4x＋2m≥0，则“m≥3”是“命题p为真命题”的(A)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】若命题p为真，则对任意x∈R，x2－4x＋2m≥0恒成立，所以Δ＝16－8m≤0，即m≥2.

因为m≥3m≥2，则“m≥3”是“命题p为真命题”的充分不必要条件．选A.

3．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(B)

A．12 B．13 C．14 D．15

【解析】由S5＝5a3＝25a3＝5，所以公差d＝a3－a2＝2，

所以a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13，故选B.

4．已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为72，则(B)

A．x＝3，s2＝2 B．x＝3，s2＝4

C．x＝3，s2＝28 D．x＝6，s2＝72

【解析】∵这7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为72， 页 2第

∴x＝7×3＋38＝3，又由72×8×17＝4，得s2＝4.故选B.

5．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如13＝3(mod 5)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i等于(C)

A．4

B．8

C．16

D．32

【解析】第一次执行循环体，得i＝2，N＝18，此时18＝0(mod 3)，不满足第一条件；

第二次执行循环体，得i＝4，N＝22，此时22＝1(mod 3)，但22＜25，不满足第二条件；

第三次执行循环体，得i＝8，N＝30，此时30＝0(mod 3)，不满足第一条件；

第四次执行循环体，得i＝16，N＝46，此时46＝1(mod 3)，且46＞25，退出循环．所以输出i的值为16.选C.

6．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是(D)

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线CD⊥平面PAC 页 3第 【解析】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确．

过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.

又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确．

若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确．故选D.

7．在(x＋3y)(x－2y)5的展开式中，x2y4的系数为(B)

A．－320 B．－160 C．160 D．320

【解析】(x－2y)5的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Cr5·x5－r·(－2y)r，

令5－r＝1，得r＝4；令5－r＝2，得r＝3.

∴在(x＋3y)(x－2y)5展开式中x2y4的系数为C45×(－2)4＋3×C35×(－2)3＝－160.故选B.

8．若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(0

A．π B．2π C.π2 D.π4

【解析】由题设，有fπ4ω＝±a2＋b2，即22(a＋b)＝±a2＋b2，由此得到a＝b，又f′π4＝0，所以aωcosωπ4－sinωπ4＝0，从而tanωπ4＝1，ωπ4＝kπ＋π4，k∈Z，即ω＝4k＋1，k∈Z，而0

9．已知点(x，y)是不等式组x≥1，x＋y≤4，ax＋by＋2≥0表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则ab＝(B)

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【解析】由z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，联立方程2x＋y＝7，x＋y＝4得A(3，1)，联立2x＋y＝1，x＝1得B(1，－1)，由题意知A，B两点在直线ax＋by＋2＝0上，故a＝－1，b＝1.选B.

10．在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则BD→·AC→的取值范围是(D)

A.－212，1 B.－52，212 页 4第 C.[]0，1 D.－212，52

【解析】∵D是边AC上的一点(包括端点)，∴设BD→＝λBA→＋(1－λ)BC→(0≤λ≤1)，

∵∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，∴BA→·BC→＝3×1×－12＝－32，

∴BD→·AC→＝[λBA→＋(1－λ)BC→]·(BC→－BA→)

＝λBA→·BC→－λBA→2＋(1－λ)BC→2－(1－λ)BC→·BA→＝－13λ＋52，

∵0≤λ≤1，∴－212≤－13λ＋52≤52.

∴BD→·AC→的取值范围是－212，52.故选D.

11．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈π12，π4，则该椭圆的离心率e的取值范围是(A)

A.22，63 B.22，33 C.12，33 D.23，63

【解析】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．

根据椭圆的定义：||AF＋||AN＝2a，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以2a＝2ccos α＋2csin α，

利用e＝2c2a＝1sin α＋cos α＝12sinα＋π4，∵α∈π12，π4，∴π3≤α＋π4≤π2，22≤12sinα＋π4≤63，即椭圆离心率e的取值范围是22，63，故选A.

12．设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x＋1的图象相交于点A，B，若在函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l(C)

A．至少一条 B．至多一条

C．有且只有一条 D．无数条

【解析】设直线l的方程为y＝a(a＞0)，由2x＝a，得x＝log2a，所以点A(log2a，a)．

由2x＋1＝a，得x＝log2a－1，所以点B(log2a－1，a)，从而|AB|＝1. 页 5第 如图，取AB的中点D，连接CD.因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，

且|AD|＝12，|CD|＝32，所以点Clog2a－12，a－32.

因为点C在函数y＝2x的图象上，则a－32＝2log2a－12＝a2，

解得a＝32－2，所以直线l有且只有一条，选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为__2＋π2__．

【解析】由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1＝2×1×1＝2，

圆柱的底面半径为1，高为1，则14圆柱体的体积V2＝14×π×12×1＝π4，

则该几何体的体积V＝V1＋2V2＝2＋π2.

14．已知函数f(x)＝log2（x2＋x＋a），x≥0，1－x2，x<0的值域为R，则实数a的最大值是__2__．

【解析】当x＜0时，f(x)＝1－x2＜1.因为f(x)的值域为R，则当x≥0时，f(x)min≤1.

因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(0)≤1，即log2a≤1，所以0＜a≤2.a的最大值为2.

15．已知点A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P，使得PA⊥PB，则正实数m的取值范围是__[4，6]__．

【解析】圆C的方程化为：(x－4)2＋(y－4)2＝1.

∴设P(4＋cos θ，4＋sin θ)， 页 6第 如图，线段AB的中点坐标为(1，0)，|AB|＝2|m|，

∴P点到线段AB中点的距离为|m|，

∴(3＋cos θ)2＋(4＋sin θ)2＝m2，

∴26＋6cos θ＋8sin θ＝m2，

∴26＋10sin(θ＋φ)＝m2，其中tan φ＝34，

∴16≤m2≤36，又m>0，∴4≤m≤6.

16．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝anan＋2(n∈N*)．bn＋1＝(n－2λ)·1an＋1(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__－∞，23__．

【解析】因为an＋1＝anan＋21an＋1＝2an＋11an＋1＋1＝21an＋11an＋1＝1a1＋12n－1＝2n，

所以bn＋1＝(n－2λ)·2n，因为数列{}bn是单调递增数列，所以当n≥2时，bn＋1>bn(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1n>2λ－12>2λ－1λ<32；当n＝1时，b2>b1(1－2λ)·2>－λλ<23，因此λ<23.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分．

17．(本小题满分12分)

在锐角△ABC中，3sinB＋C2－cos A＝1.

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)求cos B＋cos C的取值范围．

【解析】(Ⅰ)由已知，3sinB＋C2－cos A＝1，即3cosA2＝2cos2A2.(2分)

在△ABC中，因为0

所以A2＝π6，即A＝π3.(6分)