天津专用高考数学一轮复习单元质检5数列A含解析新人教A版

第30讲 数列求和课时达标一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 6＝( )A.142B.45C.56D.67D 解析 因为a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67. 2．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 021＝( )A.2 0202 021 B.4 0402 021 C.2 0212 022D.2 0211 011D 解析 由题意知a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a n －a n －1＝n ，所以a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋a n－2－a n －3＋…＋a 2－a 1＋a 1＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，所以1a n ＝2nn ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 021＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 021－12 022＝2×2 0212 022＝2 0211 011.故选D. 3．(2019·西安一中月考)在公差大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，且a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，则数列(－1)n －1a n 的前21项和为( )A ．21B ．－21C ．441D ．－441A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，d ＞0，由题意可得2(a 1＋6d )－(a 1＋12d )＝1，a 1(a 1＋5d ＋5)＝(a 1＋2d －1)2，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以(－1)n －1a n＝(－1)n －1(2n －1)，故数列(－1)n －1a n 的前21项和为1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.4．(2019·信阳一中期中)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C 解析 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.5．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2D 解析 因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1， ①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n，②所以①－②得－S n ＝n －(2＋22＋23＋ (2))＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 020＝( )A ．22 020－1B ．3×21 010－3 C ．3×21 010－1D ．3×22 020－2B 解析 依题意得a n ·a n ＋1＝2n，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项，2为公比的等比数列，于是有S 2 020＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020)＝1－21 0101－2＋21－21 0101－2＝3×21 010－3.故选B.二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为________．解析 因为a n ＝n n ＋12 n ＋1 ＝n2，所以b n ＝8n n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.答案8nn ＋18．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案 1309．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.解析 令n ＝1，得a 1＝4，所以a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2. 所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，a 1适合a n . 所以a n ＝4(n ＋1)2，所以a nn ＋1＝4n ＋4，所以a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .答案 2n 2＋6n 三、解答题10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝－3，S 10＝－40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8， (2)，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为a 5＝a 1＋4d ＝－3，S 10＝10a 1＋45d ＝－40，解得a 1＝5，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋7.(2)依题意，b n ＝a 2n ＝－2×2n ＋7＝－2n ＋1＋7，故T n ＝－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋7n ＝－22－2n ＋1×21－2＋7n ＝4＋7n －2n ＋2.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2S 2＋4，a 5＝36. (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝S n －1(n ∈N *)，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n，求T n .解析 (1)因为S 3＝2S 2＋4，所以a 1＝d －4，又因为a 5＝36，所以a 1＋4d ＝36，解得d ＝8，a 1＝4，所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4，S n ＝n 4＋8n －42＝4n 2.(2)b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1)，所以1b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.T n＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 12．(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2. 又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n. (2)由题意知S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n. 13．[选做题](2019·巴蜀中学月考)数列{a n }不是常数列，满足a 1＝14，a 5＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1对任何的正整数n 都成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 50的值为( )A ．1 475B ．1 425C ．1 325D ．1 275B 解析 因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，所以当n ≥2时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝(n －1)a 1a n ，两式相减可得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n ，即1a 1＝n a n －n －1a n ＋1，则1a 1＝n ＋1a n ＋1－na n ＋2，则n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，即1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又由a 1＝14，a 5＝18可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1，则1a 50＝53，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 50＝50×4＋532＝1 425.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

2019 届高考数学（人教 A 版）一轮复习单元质检五平面向量、数系的扩大与复数的引入单元质检五平面向量、数系的扩大与复数的引入(时间 :45 分钟满分:100分)一、选择题 (本大题共 12 小题 ,每题 6 分,共 72 分 )1.(2017山西太原一模)复数 =()A. -1-2iB. -1+2iC.1 -2iD.1+ 2i2.已知O是△ABC所在平面内一点,D 为 BC 边的中点 ,且 2=0,则有 ()A.= 2B.C.= 33.(2017湖北武汉二月调考) 若非零向量a,b 知足 a⊥(2a+b ),且 a 与 b 的夹角为,则= ()A. B.C.4.已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC= 60° ,则 = ()A. -a2B. -a22 25.已知复数z=,则以下说法正确的选项是()A. z 的虚部为4iB.z 的共轭复数为1-4iC.|z|= 5D.z 在复平面内对应的点在第二象限6.已知向量= (2,2),= (4,1),在x轴上存在一点P 使有最小值 ,则点 P 的坐标是 ()A.( -3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)7.已知向量a= (1,2), b= (1,0),c= (3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为()A. -C.D.8.已知点A(-1,1), B(1,2), C(-2,-1), D(3,4),则向量方向上的投影为()A. B.9.设 a k=,k∈ Z ,则 a2 015·a2 016= ()A. B.10.已知向量= (2,0),向量= (2,2),向量= (cosα,sinα),则向量与向量的夹角的取值范围是()A.B.C.D.11.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面地区上的一个动点,则的取值范围是()A.[ -1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[ -1,2]12.已知||=||= 2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则 |-t| (t∈R )的最小值为 ()A. B.D.二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 7 分,共 28 分)13.(2017湖南邵阳一模)设θ∈ ,向量a=(cos θ,2),b= (-1,sin θ),若a⊥b,则 tan θ=.14.在矩形ABCD中,AB= 2,BC= 1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含界限)随意一点,则的最大值为.15.若向量 a,b 知足:a= (-,1),( a+ 2b)⊥ a,(a+ b)⊥ b,则|b|=.16.在平面直角坐标系中,已知 A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y= 上一个动点 ,则的取值范围是.答案：1.C分析:=1-2i .2.B分析:由2=0,得=- 2= 2,即= 2= 2,所以,应选B .3.B分析:∵a⊥ (2a+b),且a与b的夹角为,∴a·(2a+b) = 2a2+ a·b= 2|a|2-|a||b|= 0.又 |a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=| b|,∴,应选 B.4.D分析:如图,设=a,=b,则=()·2=(a+b )·a= a + a·b2=a +a·a·cos 60°22 2=a +a =a .5.B分析:∵z== 1+ 4i,∴z的共轭复数为1-4i.应选 B .6.C分析:设点P坐标为(x,0),则= (x-2,-2),= (x-4,-1),= (x-2)(x-4)+ (-2)×(- 1)=x2-6x+10= (x-3)2+ 1.当x= 3时,有最小值 1.∴点 P 坐标为 (3,0).7.A分析:由题意,得b+λa= (1,0)+λ(1,2)= (1+λ,2λ).因为 c=(3,4),( b+λa)⊥ c,所以(b+ λa)·c= 0,即(1+ λ,2λ)·(3,4)= 3+ 3λ+ 8λ= 0,解得λ=- ,应选 A . 8.A分析:由题意,得=(2,1), = (5,5),故向量方向上的投影为,应选A. 9.B分析:∵a2 015== ,a2 016== (cos 0,sin 0+ cos 0)= (1,1),∴a2 015·a2 016=×1+×1=.应选B.10.D分析:由题意 ,得 = (2+ cos α,2+ sin α),所以点 A 的轨迹是圆 (x-2)2+ (y-2)2= 2,如图 ,当 A 为直线 OA 与圆的切点时 ,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,应选 D. 11.C分析 :知足拘束条件的平面地区如图暗影部分所示.令 z==-x+y ,即 y=x+z.当直线 y=x+z 经过点 P(0,2)时 ,在 y 轴上的截距最大,进而 z最大 ,即 z max= 2.当直线 y=x+z 经过点 S(1,1)时 ,在 y 轴上的截距最小,进而 z 最小 ,即 z min= 0.故的取值范围为[0,2], 应选 C.12.B 分析 :依题意2 2上 ;由点 C 在线段 AB 上 ,且|| 的最小值为 1,得原点 O ,可将点 A,B 置于圆 x +y = 4到线段 AB 的距离为2 2 2 2的最1,∠ AOB= 180° - 2×30° = 120° ,(-t) = 4+ 4t -2t ×2 cos 120° = 4t + 4t+ 4= 4+ 3小值为 3,所以 |-t| 的最小值为 .13. 分析 :∵a⊥b,∴a·b= 0,即 -cos θ+2sin θ= 0,∴= tan θ=.14.分析:2019 届高考数学（人教 A 版）一轮复习单元质检五平面向量、数系的扩大与复数的引入以 A 为坐标原点 ,AB 所在直线为x 轴 ,AD 所在直线为y 轴,成立平面直角坐标系, 则 E.设 F(x,y),则 0≤ x≤ 2,0≤ y≤ 1,则 = 2x+y ,令 z=2x+y ,当 z=2x+y 过点 (2,1)时 ,取最大值 .15.分析:∵a= (- ,1),∴|a|= 2.∵(a+ 2b)⊥a,(a+ b)⊥b,∴(a+ 2b)·a= 0,(a+ b)·b= 0,即 |a|2+ 2a·b= 0,①|b|2+ a·b= 0.②由①-②×2,得 |a|2 = 2|b|2,则 |b|=.16.[0, +1]分析:如图,画出函数y= 的图象 .这是以 O(0,0)为圆心 ,以 1 为半径的一个半圆.不如用虚线把这个半圆增补为一个圆.设的夹角为θ,则θ∈ [0° ,90° ] .当θ∈[0° ,45° ] 时 ,cos (45° -θ)= ,当θ∈[45° ,90° ]时 ,cos (θ-45° )=.因为 y=cos x,x∈R是偶函数 ,所以 ||= 2cos (θ-45° ),θ∈ [0° ,90°] .=|||| cos θ= 2cos (θ-45° )cos θ=2cos2θ+ 2sin θcos θ= sin 2θ+ cos 2θ+1=sin (2θ+45° )+ 1.因为θ∈ [0° ,90° ],所以 2θ+ 45°∈ [45 °,225° ].当 2θ+ 45° = 90° ,即θ°时 ,取最大值 +1, 当2θ+ 45° = 225° ,即θ= 90°时 ,取最小值 0,所以的取值范围是[0,+ 1].。

天津专用高考数学一轮复习考点规范练22数列的概念与表示含解析新人教A 版考点规范练22 数列的概念与表示一、基础巩固1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( ) A.n2n +1B.n2n -1C.n2n -3D.n2n +32.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =nn +1,则1n 5等于 ( )A.56B.65C.130D.303.已知数列{a n }满足a n+1+a n =n ,若a 1=2,则a 4-a 2= ( )A.4B.3C.2D.14.若数列{a n }满足1nn +1−1n n=d (n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为调和数列.已知数列{1n n}为调和数列,且x 1+x 2+…+x 20=200,则x 5+x 16=( ) A.10B.20C.30D.405.已知数列{a n }满足:∀m ,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,则a 5=( ) A.132B.116C.14D.126.已知数列{a n }的前4项分别是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是a n = . 7.已知数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)·a n =(n-1)·3n+1+3(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n = .8.已知数列{a n }的通项公式为a n =(n+2)(78)n,则当a n 取得最大值时,n= . 9.若数列{a n }的通项为a n =(-1)n(2n+1)·sin n π2+1,前n 项和为S n ,则S 100= .10.已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n =(-1)n+1·n ,求a 5+a 6及a n ; (2)若S n =3n+2n+1,求a n .二、能力提升11.已知数列{a n }的通项a n =nn 2+90,则a n 的最大值是( ) A.3√10B.19C.119D.√106012.已知数列{a n }满足a n+1={2n n ,0≤n n ≤12,2n n -1,12<n n <1,a 1=35,则数列{a n }的第2 018项为 . 13.我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ={n ,n 为奇数,n n 2,n 为偶数(n ∈N *),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a 64+a 65= . 14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = . 15.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a (a ≠3),a n+1=S n +3n ,n ∈N *. (1)设b n =S n -3n,求数列{b n }的通项公式; (2)若a n+1≥a n ,求a 的取值范围.三、高考预测16.已知数列{a n }的通项公式是a n =-n 2+12n-32,其前n 项和是S n ,则对任意的n>m (其中m ,n ∈N *),S n -S m 的最大值是 .考点规范练22 数列的概念与表示1.B2.D 解析当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n n +1−n -1n=1n (n +1),∴1n 5=5×(5+1)=30.3.D 解析由a n+1+a n =n ,得a n+2+a n+1=n+1,两式相减得a n+2-a n =1,令n=2,得a 4-a 2=1.4.B 解析∵数列{1n n}为调和数列,∴11n n +1−11n n=x n+1-x n =d.∴{x n }是等差数列.又x 1+x 2+…+x 20=200=20(n 1+n 20)2,∴x 1+x 20=20.又x 1+x 20=x 5+x 16,∴x 5+x 16=20.5.A 解析∵数列{a n }满足:∀m ,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,∴a 2=a 1·a 1=14,a 3=a 1·a 2=18,∴a 5=a 3·a 2=132.6.2n +1n 2+1 解析数列{a n }的前4项可分别变形为2×1+112+1,2×2+122+1,2×3+132+1,2×4+142+1,故a n =2n +1n 2+1.7.3n解析a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)·a n-1+(2n-1)·a n =(n-1)·3n+1+3,把n 换成n-1, 得a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得a n =3n.8.5或6 解析由题意令{n n ≥n n -1,n n ≥n n +1,∴{(n +2)(78)n≥(n +1)(78)n -1,(n +2)(78)n ≥(n +3)(78)n +1,解得{n ≤6,n ≥5.∴n=5或n=6.9.200 解析当n 为偶数时,则sin n π2=0,即a n =(2n+1)sinn π2+1=1(n 为偶数).当n 为奇数时,若n=4k+1,k ∈Z , 则sinn π2=sin (2n π+π2)=1,即a n =-2n ;若n=4k+3,k ∈Z , 则sinn π2=sin (2n π+3π2)=-1,即a n =2n+2. 故a 4k+1+a 4k+2+a 4k+3+a 4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S 100=1004×8=200.10.解(1)因为S n =(-1)n+1·n ,所以a 5+a 6=S 6-S 4=(-6)-(-4)=-2. 当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1).又a 1也适合于此式, 所以a n =(-1)n+1·(2n-1). (2)当n=1时,a 1=S 1=6;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2. ①因为a 1不适合①式,所以a n ={6,n =1,2·3n -1+2,n ≥2.11.C 解析令f (x )=x+90n (x>0),运用基本不等式得f (x )≥2√90,当且仅当x=3√10时等号成立.因为a n =1n +n,所以1n +n≤,由于n ∈N *,不难发现当n=9或n=10时,a n 取得最大值,故a n =119最大.12.15解析由已知可得,a 2=2×35-1=15,a 3=2×15=25, a 4=2×25=45, a 5=2×45-1=35,∴{a n }为周期数列且T=4,∴a2018=a504×4+2=a2=1.513.66解析由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,…,∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.2n-1解析当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-n-2a n-1+(n-1),即a n=2a n-1+1,∴a n+1=2(a n-1+1).又S1=2a1-1,∴a1=1.∴数列{a n+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n+1=2·2n-1=2n,∴a n=2n-1.15.解(1)因为a n+1=S n+3n,所以S n+1-S n=a n+1=S n+3n,即S n+1=2S n+3n,由此得S n+1-3n+1=2(S n-3n),即b n+1=2b n.又b1=S1-3=a-3,故{b n}的通项公式为b n=(a-3)·2n-1.(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.由(1)知S n=3n+(a-3)2n-1.于是,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,故a n+1-a n=4×3n-1+(a-3)2n-2)n-2+n-3].=2n-2[12(32)n-2+a-3≥0,当n≥2时,由a n+1≥a n,可知12(32即a≥-9.又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).16.10解析由a n=-n2+12n-32=-(n-4)·(n-8)>0得4<n<8,即在数列{a n}中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4=a8=0,因此S n-S m的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.。