最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》教材梳理

知识·巧学一、相似三角形1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，k A C CAC B BC B A AB =''=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′.4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同.如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE.图27.2-1(2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴ECAEBD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件；②选取“画点”工具画三个点；③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签；⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ；⑦用“画线段”工具，分别作线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE(△ABC 的三边用粗线，AD 、AE 用虚线，DE 用细线表示)；⑧选中线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE ，由菜单“度量”→“长度”，量出△ABC 和△ADE 的边长(还可以计算各内角的度数)；⑨由菜单“度量”→“计算”，分别计算两个三角形对应边的比.拖动点D ，就能看到点D 在AB 上自由的移动，同时DE 也始终保持与BC 平行(内错角相等)，△ADE 各边的长度不断变化，但两个三角形对应边的比值不变(如图27.2-2).三、相似三角形的判定 1.根据定义判定.判定两个多边形相似的条件是对应边成比例，对应角相等，两条缺一不可.但是，三角形是最简单的多边形，有其特殊性，可以适当减少一些条件.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(如图27.2-3).图27.2-3(1)这个比就是相似比.等边三角形都是相似三角形.(2)把两个三角形的三边先都按从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，最短边与最短边对应，最长边与最长边对应，来计算它们的比值 (作分子的都是同一个三角形的边，同样，作分母的都是另一个三角形的边)；只要三个比值都相等，就可断定这两个三角形相似了. 辨析比较 与全等三角形的判定定理SSS 相仿. 当k=1时，即三组边对应相等时，两三角形全等.4.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.图27.2-4(1)如图27.2-4，在△ABC 和△A′B′C′中，k A C CAB A AB =''=''，∠A=∠A′， 求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于 点E ，则△A′DE ∽△A′B′C′.∴.A C EA CB DE B A D A '''=''=''' ∵A′D=AB ，∴.B A BA B A D A '''=''' ∵k A C CA B A AB =''=''，∴A C CAA C E A ''='''..∴A′E=AC. 又∵∠A=∠A′,∴△A′DE ∽△ABC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.(2)等腰直角三角形都是相似形.(3)与全等三角形的判定定理SAS 相仿.一定是夹角相等，非夹角不能判定相似(如图27.2-5).图27.2-55.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (1)这是识别两个三角形相似的最简单方法.(2)只有两个角相等的三角形不一定全等，但一定相似. (3)特殊三角形的相似.①有一个锐角相等的直角三角形相似; ②顶角(或底角)相等的等腰三角形相似. 四、相似三角形的周长与面积1.两个相似三角形的周长的比等于相似比. 相似多边形的周长的比等于相似比.2.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似多边形的面积比等于相似比的平方.3.相似三角形对应中线的比、对应高之比、对应角平分线的比都等于相似比. 五、跟相似有关的主要结论上述结论可以由圆周角、弦切角等构成相似三角形得到.2.射影定理(见第29.1《问题·探究》)图27.2-10 如图27.2-10，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， 求证：(1)AC 2=AD·AB ；(2)AB 2=BD·AB ；(3)CD 2=AD·BD. 证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD.在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠B=∠ACD ，∠ACB=∠ADC=90°， ∴ Rt △ABC ∽Rt △ACD. ∴ADACAC AB ,即AC 2=AD·AB. 类似地，可证Rt △ABC ∽Rt △CBD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD. 于是有AB 2=BD·AB ，CD 2=AD·BD.3.角平分线性质：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例.已知△ABC 中，∠BAD=∠DAC ，AD 交BC 于D.求证：ACABDC BD =图27.2-11证明：过C 作DA 的平行线CE 交BA 延长线于E(如图27.2-11). ∵CE ∥DA ，∴AEBADC BD =. 又∵∠E=∠BAD ，∠ACE=∠DAC ，∠BAD=∠DAC ，∴ ∠E=∠ACE.∴AC=AE. 代入上面的比例式，得ACABDC BD =. 六、相似三角形的实际应用利用相似三角形的性质来进行测量、计算那些不能直接测量的物体的高度和距离. 要点提示 太阳光下，同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的. 知识拓展 视点、视线、盲区：眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区. 问题·探究问题1 相似三角形高之比等于相似比吗？导思：如图27.2-12所示，如果△ABC ∽△A′B′C′，AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高，且k B A AB =''，可以猜想k D A AD=''.图27.2-12探究:猜想要经过证明才能作为结论使用. 老师：通过三角形相似证明比例式是常用的一种方法，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，这里AD 、A′D′分别是在Rt △ABD 与Rt △A′B′D′中，只需要证这两个三角形相似即可.要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？丁婷：两个三角形是直角三角形，有一对直角相等，还差一对锐角相等，但从问题的已知条件△ABC ∽△A′B′C′看，知道∠B=∠B′，所以可以先用三角形相似的性质，得到一组角相等，从而为证另一对三角形相似提供了一个条件，证明过程如下： 证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′.又∵AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. ∴△ABD ∽△A′B′D′.∴k D A ADB A AB =''=''. 老师：请大家用语言来总结这个结论.李亮：相似三角形的对应高的比等于相似比.丁聪：我认为还可以总结得更一般些：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.老师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错.但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误.能不能再举例子说明你们这个结论的正确性？余童：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论. 老师：好的，来看一看，如何证明？ (上述结论都可以证明)问题2 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？导思：根据相似多边形的定义，需要从边和角两个方面判定.在判断的过程中，可以通过作对角线把四边形问题转化为三角形问题探索. 探究:从特殊图形入手，逐渐减少对应条件. (1)角的条件：①矩形(含正方形)的角都相等；②平行四边形(含菱形)以及等腰梯形只要有一个内角相等，其它的三个角也就对应相等了. (2)边的条件：①两个菱形(含正方形)的边都是对应成比例的； ②平行四边形(含矩形)需要知道两邻边对应成比例； ③等腰梯形需要知道腰、上底、下底三边的比是否相等.结论：(1)有一个角对应相等，并且两邻边的比相等的平行四边形相似； (2)两邻边的比相等的矩形相似； (3)有一个角对应相等的菱形相似； (4)任意正方形相似；(5)有一个角对应相等，并且腰、上底、下底长的比都相等的等腰梯形相似. 典题•热题例1 (2006辽宁大连中考) 如图27.2-13，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 点中的( ) A.F B.G C.H D.O图27.2-13思路解析：在格点中可以知道三角形的边长和大致形状，本题中，△ABC 是等腰直角三角形，和它相似的△DME 也必须是等腰直角三角形，各选项中，只有点G 符合要求. 答案：B变式方法 在格点中给定一组三角形，判定哪些相似.如图27.2-14，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图27.2-14同一个三角形中把边长按大小顺序排列，分别与△ABC 的三边比较，若它们的比相同，则这两个三角形相似.选B.例 2 (2006浙江嘉兴中考) 如图27.2-15，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________.图27.2-15思路解析：图中Rt △ABC ∽Rt △ADE ，写出已知线段和所求线段的有关比例式. ∵∠CAB=∠DAE ，∴Rt △ABC ∽Rt △ADE.∴AC ∶AE=AB ∶AD. 在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，所以AB=5. 把AC=3，AE=2，AB=5代入比例式，得AD=310. 答案：310 深化升华 用相似性质计算线段长时，一定要注意线段的对应；计算中，只需选定与已知线段和所求线段有关的比例式.例3 如图27.2-16，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置，求球拍击球的高度.图27.2-16图27.2-17思路解析：把三角问题转化为数学问题，结合图形，标上相应的字母；根据题目的意思，图中的两个三角形是相似的，运用相似三角形的边对应成比例就可以求出这个高度了. 解：如图27.2-17所示，分别用BD 表示球网，CE 表示球拍的高度，∵∠A=∠A(公共角)，∠ABD=∠ACE=90°，∴△ABD ∽△ACE(如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似). ∴CE BD AC AB =，即h8.01055=+. 解得h=2.4(米).答:球拍击球的高度为2.4米.误区警示 本题中不要把BC 当作是这两个相似三角形的对应边.常见错误：图27.2-18如图27.2-18，∵ DE ∥BC ，∴BCDEEC AE BD AD ==. 错误原因是把BD 、EC 作为三角形的对应边了.例4 (2006北京中考) 如图27.2-19，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，AB=6，AE=8，ED=4，求CD 的长.图27.2-19思路解析：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 本题中，△ABE ∽△DCE ，列出比例式.解：∵弦AC 与BD 交于E ，所以A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∴∠B=∠C ，∠A=∠D(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等). ∴△ABE ∽△DCE. ∴DE AE AC AB =.∴486=DC .∴CD=3. 深化升华 在圆的问题中，有关比例线段问题都可以用圆周角、弦切角转化为相似三角形问题(见本节“知识·巧学”第五点)例5 (2006湖北武汉中考) 如图27.2-20，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB.其中相似的为( )A.①④B.①②C.②③④D.①②③图27.2-20 图27.2-21思路解析：本题涉及的三角形较多，其中由矩形的性质可以得到有两组全等形，另外较特殊的是直角三角形.①用“同角(或等角)的余角相等”，可以得到几个直角三角形的一个锐角相等，因此图中的所有的直角三角形都相似的. ②由Rt △BEA ∽Rt △AEF ，得到EFAEAE BE =，因为E 为AD 的中点，所以AE=ED ，则EFEDED BE =， 在△FED 与△DEB 中，因为EDBFEF ED =，∠FED=∠DEB ，所以△FED ∽△DEB. ③根据△FED ∽△DEB ，得到∠EDF=∠EBD ，它们的余角相等(∠FDC=∠BGA)，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠FCD=∠BAG ，所以△CFD ∽△ABG . ④△ADF 与△CFB 的形状不同，不能相似. 答案：D深化升华 ①如图27.2-21，若DE 2=EF·EB 时，则△DFE ∽△EBD ； ②比例中项问题通常换成比例式，转化为相似三角形中的对应线段的比.例6 (2006安徽中考) 汪老师要装修自己带阁楼的新居(图27.2-22，右图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m.他量得客厅高AB=2.8 m ，楼梯洞口宽AF=2 m ，阁楼阳台宽EF=3 m.请你帮助汪老师解决下列问题：(1)要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？ (2)在(1)的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20 cm ，每个台阶宽要大于20 cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？图27.2-22思路解析：根据图中的字母与尺寸，把实际问题数学化.本题的数据集中在△ABC 和△GFA 中，可以看出这两个三角形的相似的，用相似三角形的性质解决问题.台阶宽度之和等于楼梯的总长，高度之和等于楼梯的总高，根据题目中的要求，可以列出不等式组，用不等式组解决问题.解：(1)根据题意，有AF ∥BC ，∴∠ACB=∠GAF. ∵∠ABC=∠AFG=90°，∴△ABC ∽△GFA. ∴FGABAF BC =.得BC=3.2(m)，CD=(2+3)-3.2=1.8(m). (2)设楼梯应建n 个台阶，则⎩⎨⎧<>.2.32.0,8.22.0n n 解得14<n<16.楼梯应建15个台阶.方法归纳 生活中，有很多直角三角形相似问题，而直角三角形相似的条件只要有一组锐角相等即可.找到能解决问题的三角形是关键，尽量把数据集中到少数三角形中.。