第07讲(三次函数的导数问题)(解析版)
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第07讲（三次函数的导数问题）【目标导航】运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。
【例题导读】例1、若13x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．【解析】 令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f ′(x )＝x 2－2x ＋a .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x )极大值＜0或者f (x )极小值＞0. ①f ′(x )＝0的Δ≤0，解得a ≥1；②当a ＜1时，设x 1，x 2为f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0的两个根(x 1＜x 2)，x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．1° 若f (x )极大值＜0，即f (x 1)＜0，∴f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1－a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ＝23[(a －1)x 1－a ]＜0， ∴x 1＞a a －1，即1－1－a ＞aa －1，解得(1－a )1－a ＜1，即(1－a )3＜1，得0＜a ＜1；2° 若f (x )极小值＞0，即f (x 2)＞0，同理f (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]＞0.∴x 2＜a a －1，即1＋1－a ＜aa －1，解得－(1－a )1－a ＞1，即(1－a )3＜－1，无解．综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．另解：令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f ′(x )＝x 2－2x ＋a .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x 1)·f (x 2)＞0(x 1，x 2是f (x )的极值点)． ①f ′(x )＝0的Δ≤0，解得a ≥1；②由x 1，x 2为f ′(x )＝0的两个根，得⎩⎨⎧x 21－2x 1＋a ＝0⇒x 21＝2x 1－a ，x 22－2x 2＋a ＝0⇒x 22＝2x 2－a ，(a ＜1)于是f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1－a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＝⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ， 同理可得f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 2－23a ，于是有f (x 1)·f (x 2)＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23a －23x 2－23a ＞0.当a ＜1时，⎝⎛⎭⎫x 1－a a －1⎝⎛⎭⎫x 2－a a －1＞0⇒x 1x 2－a a －1(x 1＋x 2)＋⎝⎛⎭⎫a a －12＞0，又∵x 1，x 2是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，化简可得a (a 2－3a ＋3)＞0，解得0＜a ＜1； 综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞).例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13－kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．【解析】 ∵f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，∴f (x )＝g (x )有三个不等实根．令h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－k ＋12x 2＋kx －13，则h ′(x )＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＝(x －k )(x －1)，根据题意得k ≠1且h (1)·h (k )＜0，化简可得k －12⎝⎛ －16k 3＋12k 2－⎭⎫13＜0， 即－k －112(k －1)(k 2－2k －2)＜0，∴k 2－2k －2＞0，解得k ＞1＋3或k ＜1－3，∴实数k 的取值范围是(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞).例3、设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围．【解析】∵f ′(x )＝x 2－ax ，设切点为(t ，f (t ))，切线方程为y ＝(t 2－at )(x －t )＋13t 3－a 2t 2＋1，代入(0,2)化简可得23t 3－a 2t 2＋1＝0，设g (t )＝23t 3－a 2t 2＋1，令g ′(t )＝0，有t 1＝0，t 2＝a2＞0.∵过点(0,2)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，∴g (t )＝0有三个不同的根，故⎩⎪⎨⎪⎧g 0＞0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＜0，解得a ＞324，∴实数a 的取值范围是(324，＋∞)．例4、已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．【解析】(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f (83)＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]．由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.g ′(x )，g (x )的情况如表7-1所示.x －2 (－2,0) 0 (0，83) 83 (83，4)4 g ′(x ) ＋ －＋g (x )－6－6427所以g (x )的最小值为－6，最大值为0.故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a ＜－3时，M (a )≥F (0)＝|g (0)－a |＝－a ＞3；当a ＞－3时，M (a )≥F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a ＞3； 当a ＝－3时，M (a )＝3综上，当M (a )最小时，a ＝－3.例5、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；【解析】(1) 当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－2x ，x≥0.①当x<0时，f′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上递减；(2分) ②当x≥0时，f′(x)＝e x －2，可得f(x)在[0，ln 2]上递减，在[ln 2，＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和[0，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)．(5分) (2) 当x>0时，f(x)＝e x －ax ，此时－x<0，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2. 所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有实数解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x ＋1－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2.(7分) 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)＝5，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.(9分) 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(10分)例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；【解析】 （1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<，即332715a a <->或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【解析】（1）2'()32f x x ax b =++有零点，24120a b ∆=->，即23a b >，又''()620f x x a =+=，解得3a x =-，根据题意，()03a f -=，即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2239b a a =+，又203a a b >⎧⎨>⎩，所以3a >，即223(3)9b a a a=+>； （2）设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a=-=-+=--，而3a >，故()0g a >，即23b a >； （3）设12,x x 为()f x 的两个极值点，令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-，法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a=-+=-++=． 记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ，12()()0f x f x +=，2'()33a a fb -=-，则221237()()()'()3392a a a S a f x f x fb a =++-=-=--≥，而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-，故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称，233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a a x b x f =++-++-， 所以()()2()0333a a af x f x f --+-+=-=，所以12()()0f x f x +=，下同法一．例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．【解析】 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12.(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2.令g(x)＝2ln xx 2，x ＞0，则g′(x)＝2（1－2ln x ）x 3.令g′(x)＝0，解得x ＝e .当x ∈(0，e )时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，e )上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(e ，＋∞)上单调递减． 所以g(x)max ＝g(e )＝1e ，所以－(a ＋1)≥1e ，即a≤－1－1e，所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－1－1e . (3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a)，令f′(x)＝0，则x ＝1或x ＝a.f(1)＝3a －1，f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a≤53时，当x ∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0，所以h(a)在⎝⎛⎦⎤1，53上单调递减， 所以当a ∈⎝⎛⎦⎤1，53时，h(a)的最小值为h ⎝⎛⎭⎫53＝827. ②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝⎛⎭⎫53，2上单调递增， 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫53，2时，h(a)＞h ⎝⎛⎭⎫53＝827. ③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(2)＝4， 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5， 所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1. 综上，h(a)的最小值为827.【反馈练习】1、若函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x 在(－1,1)内有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴根据题意f ′(－1)·f ′(1)＜0，解得a ＞14或a ＜－14. 2、已知函数f (x )＝14x 4＋a 3x 3＋12x 2(a ∈R ，a ≠0)有且仅有3个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】可转化为f ′(x )＝x 3＋ax 2＋x 有三个不同的零点，从而x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的非零实根，故Δ＝a 2－4＞0，∴a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3、若函数f (x )＝a 3x 3－12(a ＋1)x 2＋x －13(a ＞0)在[0,2]上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，12 【解析】f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)， ①当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＞0，做表7-2如下：x (－∞，1) 1 ⎝⎛⎭⎫1，1a 1a ⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 增 极大值 减 极小值 增表7-2 (ⅰ)当2a ≤1，即0＜a ≤12时，1a ≥2，f (2)＝13(2a －1)≤0，因为f (x )在区间[0,1]上为增函数，在[1,2]上为减函数，∴f (x )在区间[0,1]和(1,2]上各有一个零点，即在[0,2]上有两个零点；(ⅱ)当2a ＞1，即12＜a ＜1时，1＜1a＜2，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a 2＋3a －16a 2＝－2a －1a －16a 2＞0，f (2)＝13(2a －1)＞0，∴x ∈[1,2]，f (x )＞0.∵f (x )在[0,1)上为增函数，∴f (x )在区间(0,1)有一个零点，即在[0,2]上有一个零点，不满足题设； ②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[0,2]上不可能有两个零点；③当1a ＜1，即a ＞1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＜0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a －1a －16a 2＜0，f (2)＝13(2a －1)＞0， 做表7-3如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，1a 1a⎝⎛⎭⎫1a ，1 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 增 极大值 减 极小值 增∴x ∈[0,1]，f (x )＜0，∵f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )在区间(1,2]有一个零点，即在[0,2]上有一个零点，不满足题设．综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.4、设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求实数m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．【答案】 (1)－34；(2)(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵x ∈R ，∴f ′(x )≥m 即3x 2－9x ＋6－m ≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34. (2)∵当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上递增； 当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )在(1,2)上递减；∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (1)＜0或f (2)＞0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a ＜2或a ＞52.(或由f (1)f (2)＞0，亦可解得a ＜2或a ＞52.5、已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R .(1)若函数g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；(2)当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，求满足条件的正整数a 的取值集合．【答案】(1)当a ≥1时，有两个解；当－1＜a ＜1时，有三个解；当a ≤－1时，有两个解；(2){1}． 【解析】 (1)f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4，∴x 4－ax 3＝|x －a |，∴x 3(x －a )＝|x －a |，即x ＝a 或{ x ＞a ，x ＝1或{ x ＜a ，x ＝－1， ①当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；②当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1,1； ③当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a,1.(2)当a ＞0时，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，∴函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0，∴当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1 024f x ∈⎣⎡⎦⎤1 024f a ＋2，1 024f a ，当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[f (a ＋2)，＋∞)．∵对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)， 使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，∴⎣⎡⎦⎤1 024f a ＋2，1 024f a ⊆[f (a ＋2)，＋∞)， ∴ 1 024f a ＋2≥f (a ＋2)， ∴f 2(a ＋2)≤1 024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32，∵a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足． ∴满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． 6、已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．解后反思 在第(2)题中，也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外，由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点，可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开，得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t 2＝0，－st 2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f′(x)＝3x 2＋2x. 令f′(x)>0，解得x>0或x<－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)． (2)法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a ，因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0， 即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以b a ＝3.法二：由于a≠0，所以f(0)≠0， 由f(x)＝0得，b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x(x≠0)．设h(x)＝4x 2－x ，h′(x)＝－8x3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2，当x ∈(－∞，－2)时，h′(x)<0，h(x)递减；当x ∈(－2，0)时，h′(x)>0，h(x)递增， 当x ∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x>0时，h(x)的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1. (3)当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x ， 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x >0)，当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0， 所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12b 递增，在⎝⎛⎭⎫12b ，＋∞递减， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12b ＝ln 12b －12， 要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e. ① 又因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b >0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln22，所以12e >ln24，所以由①和②得，ln39≤b ＜ln24.7、若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点． 设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组． 规范解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx.由f′(x)＝0，得x ＝0，或x ＝23t.因为函数f(x)在(0，1)上无极值点，所以23t≤0或23t≥1，解得t≤0或t≥32.(2)令f′(x)＝3x 2－2tx ＝p ，即3x 2－2tx －p ＝0，Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t 23时，Δ＞0，此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1，x 2.设这两条切线方程为分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1. 若两切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1， 即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3，化简得x 1·x 2＝t 29，此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，与x 1≠x 2矛盾，所以，这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行． (3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1，f′(x)＝3x 2－6x. 由(2)知x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1＞x 2，则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.所以，两条平行线间的距离d ＝|2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）|1＋9（x 21－2x 1）2＝|（x 2－x 1）|1＋9（x 21－2x 1）2＝4， 化简得(x 1－1)6＝1＋92，令(x 1－1)2＝λ(λ＞0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解． 因为x 1－1＞0，所以x 1有3解， 所以满足此条件的平行切线共有3组．8、已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.规范解答 (1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ，令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下：所以x ＝－a －1时，f(x)取得极小值． 因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0，得a≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a≠－32. (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以 F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3，令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3. 列表如下：所以x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时，h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0， 令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下：所以x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值． 所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e－a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1， 则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1. 因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5， 所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增． 所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73，即M(a)<－73.。
