第二节 多元函数的偏导数

偏导数是微积分中重要的概念之一，用来描述多元函数在某个特定变量上的变化率。

多元函数是指依赖于多个自变量的函数，比如 f(x, y) 或者 g(x, y, z) 等。

在计算偏导数时，我们只关注其中一个自变量的变化对函数值的影响，而将其他自变量视为常数。

偏导数的计算方法与单变量函数的导数计算类似，我们只需要将其他所有自变量视为常数，然后对目标变量求导即可。

以二元函数 f(x, y) 为例，偏导数可以表示为∂f/∂x 和∂f/∂y，分别表示函数在 x 和 y 方向上的变化率。

对于一般函数 f(x, y)，偏导数的计算方法如下：1.对于目标自变量 x，将 y 视为常数，然后对 f(x, y) 求关于 x 的导数，即为∂f/∂x。

2.对于目标自变量 y，将 x 视为常数，然后对 f(x, y) 求关于 y 的导数，即为∂f/∂y。

在实际计算过程中，可以使用基本的导数规则，如乘法规则、链式法则等，来计算偏导数。

例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以按照上述方法计算出偏导数为：∂f/∂x = 2x + 2y∂f/∂y = 2x + 2y这样，我们就可以得到关于 x 和 y 的偏导数的表达式。

需要注意的是，偏导数计算中有一个重要的概念叫偏导函数。

偏导函数是指将多元函数的偏导数作为自变量构成的新函数。

例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以求得偏导函数：fx(x, y) = 2x + 2yfy(x, y) = 2x + 2y偏导函数的计算能够帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。

通过分析偏导函数，我们可以判断函数在某个点的变化趋势、最大值和最小值等信息。

除了二元函数，我们还可以推广偏导数的计算到更高维度的函数，比如三元函数、四元函数等。

对于 n 元函数f(x1, x2, …, xn)，我们可以依次求各个自变量的偏导数，即∂f/∂x1、∂f/∂x2、…、∂f/∂xn。

多元函数偏导数公式多元函数偏导数公式是对多元函数进行求导的一种工具。

偏导数表示了函数在其中一方向上的变化率，它是求导数的一个特殊形式，即将变量除了所求导变量之外都视为常数。

在多元函数中，一个自变量的变化不会影响其他自变量的取值，因此我们只需分别对每个自变量求导即可。

对于一个二元函数f(x,y)，它包含两个自变量x和y。

我们可以通过对每个自变量分别求导的方式来求得偏导数。

具体来说，偏导数表示了函数在其中一自变量的变化方向上的变化率。

偏导数的求导公式如下：1.对于单个自变量的偏导数：a)对于自变量x的偏导数：∂f/∂xb)对于自变量y的偏导数：∂f/∂y通过对f(x,y)分别对x和y求偏导数，我们可以得到函数在x和y 方向上的变化率。

2.对于多个自变量的偏导数：a)对于变量x1的偏导数：∂f/∂x1b)对于变量x2的偏导数：∂f/∂x2c)对于变量x3的偏导数：∂f/∂x3...对于一个n元函数，我们可以分别对每个自变量求偏导数，得到函数在每个自变量方向上的变化率。

需要注意的是，对于一个多元函数，偏导数的计算顺序是无关紧要的。

也就是说，我们可以先对自变量x求偏导数，再对自变量y求偏导数，或者先对y求偏导数，再对x求偏导数，最终得到的结果是相同的。

除了偏导数外，我们还可以求高阶偏导数。

高阶偏导数表示了函数在多个变量上的变化率。

对于二阶偏导数，我们可以通过将一阶偏导数再次进行求导来得到。

例如，对于函数f(x,y)，我们可以先对x求偏导得到∂f/∂x，然后再对x求偏导，得到∂²f/∂x²。

同样，我们也可以对y求偏导得到∂f/∂y，然后再对y求偏导，得到∂²f/∂y²。

此外，我们还可以求混合偏导数，即对一个自变量求偏导后再对另一个自变量求偏导。

例如，对函数f(x,y)，我们可以先对x求偏导后再对y求偏导，得到∂²f/∂x∂y。

综上所述，多元函数偏导数公式提供了计算函数在各个自变量方向上的变化率的工具。

一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。

多元函数二阶偏导数多元函数二阶偏导数是关于多元函数的导数的高阶导数，用来分析多元函数形态和变化特征，是深入理解和研究多元函数的重要工具。

通俗来讲，多元函数二阶偏导数指的是多元函数H（x1，x2，x3，…xn），在（x1，x2，x3，…xn）中，任意两个变量xi，xj的二阶偏导数。

定义：如果存在多元函数H（x1，x2，x3，…xn），其偏导数存在且连续，则多元函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）中，任意两个变量xi，xj的二阶偏导数可定义为：H2（xi，xj）=2H/xixj=2H/xjxi。

多元函数二阶偏导数具有丰富的几何意义。

多元函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处的二阶偏导数可表示为H2（xi，xj），其余向量（x1，x2，x3，…xn）的组合也可以使用二阶偏导数的符号表示。

例如：H（x，y）的二阶偏导数可表示为H2（x，y）=h2（x，y）（x），其余两向量（x，z）可用H2（x，z）=H2（x，y）（x）表示。

此外，多元函数二阶偏导数具有重要的应用意义，主要表现在一下几个方面：一是决定极值点，多元函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处的极值可由满足条件：H2（xi，xj）> 0（xi，xj至少有一个可以改变）的不等式定义出来。

二是决定曲线的切线问题，求多变量函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处切线斜率t[H(x1,x2,x3,...,xn)]，则有t[H(x1,x2,x3,...,xn)] = H2(x1,x2) + H2(x1,x3) + + H2(xn-1,xn) 三是求积分，求多变量函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处的不定积分，则有∫H(x1,x2,...,xn)dx1dx2...dxn=H2(x1,x2)[1/3(x1-a1)(x2-a2)^3+1 /2(x2-a2)(x1-a1)^2]+H2(x2,x3)[1/3(x2-a2)(x3-a3)^3+1/2(x3-a3 )(x2-a2)^2]+...+H2(xn-1,xn)[1/3(xn-1-an-1)(xn-an)^3+1/2(xn-an)(xn-1-an-1)^2]以上，就是多元函数二阶偏导数的定义、意义和应用的一些基本概念，多元函数二阶偏导数的重要性不言而喻。